Numerically stable evaluation of closed-form expressions for eigenvalues of 3 × 3 matrices
Michal Habera, Andreas Zilian
在Cardano和Viète关于立方代数解决方案的工作的基础上,3×3矩阵的特征值的三角测量公式对于具有重复特征值的矩阵在数值上不稳定。 这项工作通过四个不变性( trace I_1 、离经叛道的不变性 J_2 和 J_3 以及判别 Δ)对真实、对角化 3×3 矩阵的特征值进行数值稳定、封闭式评估。 我们分析这些不变性的调节,并得出紧密的前进误差边界。 对于J_2,我们提出了一个算法并证明其准确性。 我们对所有不变值和由此产生的特征值公式进行基准测试,将观察到的远期误差与派生边界相关联。 特别是,我们表明,对于条件良好的特征基矩阵的特殊情况,新提出的算法在向前稳定范围内存在错误。 性能基准测试表明,对于具有挑战性的测试用例,建议的算法比高度优化的LAPACK库快约10倍,同时保持可比的准确性。
Trigonometric formulas for eigenvalues of 3 × 3 matrices that build on Cardano's and Viète's work on algebraic solutions of the cubic are numerically unstable for matrices with repeated eigenvalues. This work presents numerically stable, closed-form evaluation of eigenvalues of real, diagonalizable 3 × 3 matrices via four invariants: the trace I_1, the deviatoric invariants J_2 and J_3, and the discriminant Δ. We analyze the conditioning of these invariants and derive tight forward error bounds....