A finite difference method with symmetry properties for the high-dimensional Bratu equation
Muhammad Luthfi Shahab, Hadi Susanto, Haralampos Hatzikirou
由于存在多个和尖锐的解决方案,解决三维(3D)布拉图方程极具挑战性。 这个方程的研究始于20世纪90年代末,但至今没有令人满意的结果。 为了解决这个问题,我们引入了一种对称有限差法方法(SFDM),该方法将解决方案的对称性属性嵌入到有限差法方法(FDM)中。 此SFDM主要用于获得3D Bratu方程的更准确的解和分叉图。 此外,我们建议修改Bratu方程,采用新的约束,促进分叉图的构建并简化处理转折点。 提出的方法,结合使用稀疏矩阵表示,成功地解决了高达301^3点的网格上的3D Bratu方程。 结果表明,SFDM优于3D Bratu方程的所有先前使用的方法。 此外,我们还为1D,2D,4D和5D情况提供分叉图,并准确识别所有维度的第一个转折点。 所有模拟都表明,立方体域上的Bratu方程的分叉图与Joseph和Lundgren描述的球域上公认的行为非常相似[1]。 此外,当SFDM应用于线性稳定性分析时,它产生与标准FDM相同的最大真实特征值,尽管非线性系统中的方程和变量较少。
Solving the three-dimensional (3D) Bratu equation is highly challenging due to the presence of multiple and sharp solutions. Research on this equation began in the late 1990s, but there are no satisfactory results to date. To address this issue, we introduce a symmetric finite difference method (SFDM) which embeds the symmetry properties of the solutions into a finite difference method (FDM). This SFDM is primarily used to obtain more accurate solutions and bifurcation diagrams for the 3D Bratu ...
