Parallelisation of partial differential equations via representation theory
Sheehan Olver
将对称性纳入微分方程的数值解一直是过去40年研究的支柱,然而,一个方面不太为人所知和利用不足:用对称动作(如旋转,反射或排列)通勤的偏微分方程的离散可以通过将知识从表示理论中合并到可以并行解决的独立系统中。 我们通过速成表示理论的速成课程来介绍这个美丽的主题,重点是对称方体和立方体对称组的实践示例,以及它在构建所谓的对称适应基数中的利用。 舒尔的Lemma,这在应用数学中并不为人所知,在证明由此产生的离散性方面起着强大的作用,从而表明偏微分方程确实脱钩。 使用薛定谔方程作为激励的例子,我们证明对称适应的基础导致独立线性系统的数量显著增加。 与直觉相反,这种方法的有效性实际上对于对称性较少的偏微分方程更有效,例如薛定谔方程,其中电位仅在排列下不均匀,但在旋转或反射下则不不变。 我们还探讨了这种现象,因为偏微分方程的维度变得很大,暗示了高维度显著节省的潜力。
Incorporating symmetries into the numerical solution of differential equations has been a mainstay of research over the last 40 years, however, one aspect is less known and under-utilised: discretisations of partial differential equations that commute with symmetry actions (like rotations, reflections or permutations) can be decoupled into independent systems solvable in parallel by incorporating knowledge from representation theory. We introduce this beautiful subject via a crash course in repr...