Tracing AG Codes: Toward Meeting the Gilbert-Varshamov Bound
Gil Cohen, Dean Doron, Noam Goldgraber, Tomer Manket
编码理论中最古老的问题之一是将Gilbert-Varshamov与显式二进制代码绑定。 在更大但仍然是恒定大小的领域,代数几何代码已知可以击败GV绑定。 在这项工作中,我们利用这种现象,获取 AG 代码的痕迹。 我们的希望是,AG代码超过GV绑定的余量将承受从恒定的字段扩展到二进制字段的跟踪所产生的参数损失。 与通常的字母减少方法concatenation相反,我们对AG(TAG)代码的跟踪分析使用AG代码的代数结构 - 包括在字母减少步骤中。 我们的主要技术贡献是一个适合分析TAG代码的Hasse-Weil型定理。 经典定理(及其Grothendieck微量公式扩展)在这种设置中是不充分的。 虽然我们没有得到改进的构造,但我们表明,不断强化我们的界限就足够了。 我们还分析了TAG代码在我们约束下的局限性,并证明在高距离制度中,它们不如代码连接。 我们的 Hasse-Weil 型定理比分析 TAG 代码所需的要广泛得多。 特别是,我们对指数金额得出新的估计。
One of the oldest problems in coding theory is to match the Gilbert-Varshamov bound with explicit binary codes. Over larger-yet still constant-sized-fields, algebraic-geometry codes are known to beat the GV bound. In this work, we leverage this phenomenon by taking traces of AG codes. Our hope is that the margin by which AG codes exceed the GV bound will withstand the parameter loss incurred by taking the trace from a constant field extension to the binary field. In contrast to concatenation, th...