Numerical cubature using error-correcting codes
Greg Kuperberg (UC Davis)
我们提出了一种改进数值立方体公式与相等的权重和卷积结构,特别是等重产品公式,使用线性纠错代码。 该建筑在低度下最有效,具有扩展的BCH代码。 使用它,我们获得几个序列的显式,正,内部立方体公式与良好的渐近性每个固定度t作为维度n →∞。 使用间隔的特殊二次公式[arXiv:math.PR/0408360],我们在具有O(n^t/2)点的n-cube上获得一个相等重量的t孵化公式,该公式位于Stroud下限的常数内。 我们还在 n-sphere、n-ball 和 Gaussian ^n 获取 t 孵化公式,当 t 奇数时,具有 O(n^t-2) 点。 当μ是球形对称的,t=5时,我们获得O(n^2)点。 对于每个 t ≥ 4,我们也获得具有 O(n^t-1)点的 n-simplex 的显式、正向的内部公式;对于 t=3,我们获得 O(n) 点。 这些结构无症状地改善了非构造的Tchakaloff绑定。 Victoir最近独立发现了一些相关结果,他还指出,基本结构更直接地使用正交阵列。
We present a construction for improving numerical cubature formulas with equal weights and a convolution structure, in particular equal-weight product formulas, using linear error-correcting codes. The construction is most effective in low degree with extended BCH codes. Using it, we obtain several sequences of explicit, positive, interior cubature formulas with good asymptotics for each fixed degree t as the dimension n →∞. Using a special quadrature formula for the interval [arXiv:math.PR/0408...
