Stable non-minimal fixed points of threshold-linear networks
Jesse Geneson
在阈值线性网络(TLN)中,如果其支持没有适当的子集也是固定点,则称为最小点。 Curto等人(应用数学的进步,2024年)推测,任何TLN的每个稳定固定点都必须是最小的固定点。 我们为这个猜想提供了一个反例:在3个神经元上有一个显性竞争的TLN,它表现出一个稳定的固定点,其支持不是最小的(它包含另一个稳定固定点的支持)。 我们证明2个神经元上没有竞争性的TLN,其中包含一个稳定的非最小定点,所以我们的3神经元构造是最小的这样的例子。 通过扩展我们的基本示例,我们显示任何正整数 i, j 与 i < j-1 存在一个具有稳定固定点支持 τ⊊σ 的竞争 TLN,其中 |τ| = i 和 |σ| = j。 使用我们的基础示例的不同扩展,我们还表明,在竞争的TLN中嵌套稳定固定点的链可以任意长。
In threshold-linear networks (TLNs), a fixed point is called minimal if no proper subset of its support is also a fixed point. Curto et al (Advances in Applied Mathematics, 2024) conjectured that every stable fixed point of any TLN must be a minimal fixed point. We provide a counterexample to this conjecture: an explicit competitive TLN on 3 neurons that exhibits a stable fixed point whose support is not minimal (it contains the support of another stable fixed point). We prove that there is no c...