Numerical cubature from Archimedes' hat-box theorem
Greg Kuperberg (UC Davis)
阿基米德的帽子盒定理指出,在球体上均匀测量,以在区间内统一测量。 这一事实可以用来推导出辛普森的规则。 我们介绍了使用 moment maps 作为阿基米德定理的概括的数值立方体公式的各种构造和下界。 我们在简单化上实现了一些众所周知的立方体公式,作为球形设计的投影。 我们结合简单和托利上的立方体公式,在球体上制作新的公式。 特别 S^n 承认一个 7 孵化公式(有时一个 7 种设计)与 O(n^4) 点。 我们使用矩图在简单x上建立PI立方体公式的密度的局部下界。 在此过程中,我们建立了其他独立兴趣的二次和立方的结果。 对于每个 t,我们在 n 尺寸中构建一个带有 O(n^t) 点的格子三角测量(2t+1)-孵化公式。 我们使用向量束导出 Möller 下边界的变体。 我们表明,高斯四边形在正二次公式中是非常局部最优的。
Archimedes' hat-box theorem states that uniform measure on a sphere projects to uniform measure on an interval. This fact can be used to derive Simpson's rule. We present various constructions of, and lower bounds for, numerical cubature formulas using moment maps as a generalization of Archimedes' theorem. We realize some well-known cubature formulas on simplices as projections of spherical designs. We combine cubature formulas on simplices and tori to make new formulas on spheres. In particula...