Random unitaries that conserve energy
Liang Mao, Laura Cui, Thomas Schuster, Hsin-Yuan Huang
从Haar测度中采样的随机酉矩阵是通用量子多体动力学的基本模型。在标准密码学假设下，最近的研究构建了多项式大小的量子电路，这些电路在计算上与Haar随机酉矩阵不可区分，从而建立了伪随机酉矩阵(PRUs)的概念。虽然PRUs在多体物理中具有广泛的应用意义，但它们未能捕捉到支配物理系统的能量守恒特性。在这项工作中，我们研究了在固定且已知的哈密顿量H下生成守恒能量的PRUs的计算复杂性。当H具有随机系数的局域且对易特性时，我们提供了守恒能量的PRUs的高效构造。相反地，我们证明对于某些平移不变的一维H，存在高效的量子算法可以区分真正的随机守恒能量酉矩阵与任何多项式大小的量子电路。这表明对于这些哈密顿量，守恒能量的PRUs不可能存在。此外，我们证明确定对于给定的一维局域哈密顿量族是否存在守恒能量的PRUs是一个不可判定的问题。我们的结果揭示了一个意想不到的计算障碍，从根本上将生成通用随机酉矩阵与那些遵守能量守恒这一基本物理约束的酉矩阵分离开来。
Random unitaries sampled from the Haar measure serve as fundamental models for generic quantum many-body dynamics. Under standard cryptographic assumptions, recent works have constructed polynomial-size quantum circuits that are computationally indistinguishable from Haar-random unitaries, establishing the concept of pseudorandom unitaries (PRUs). While PRUs have found broad implications in many-body physics, they fail to capture the energy conservation that governs physical systems. In this wor...