Neural Brownian Motion
Qian Qi
本文提出了神经布朗运动(NBM)，这是一类用于在习得不确定性下建模动态的新随机过程。NBM通过用相对于由神经网络参数化的倒向随机微分方程(BSDE)驱动项f_θ生成的神经期望算子ε^θ的非线性期望性质，替代经典的线性期望下的鞅性质，从而公理化地定义。我们的主要结果是关于规范NBM的表示定理，我们将其定义为物理测度下零漂移的连续ε^θ-鞅。我们证明，在驱动项的关键结构假设下，这样的规范NBM存在且是形如d M_t = ν_θ(t, M_t) d W_t的随机微分方程的唯一强解。关键的是，波动率函数ν_θ不是先验假设的，而是由代数约束g_θ(t, M_t, ν_θ(t, M_t)) = 0隐式定义的，其中g_θ是BSDE驱动项的特化。我们为此过程发展了随机微积分，并证明了二次情况下的Girsanov型定理，表明NBM在新的习得测度下获得漂移。该测度的特征(悲观或乐观)由习得参数θ内生决定，为那些将不确定性态度作为可发现特征的模型提供了严格基础。
This paper introduces the Neural-Brownian Motion (NBM), a new class of stochastic processes for modeling dynamics under learned uncertainty. The NBM is defined axiomatically by replacing the classical martingale property with respect to linear expectation with one relative to a non-linear Neural Expectation Operator, ε^θ, generated by a Backward Stochastic Differential Equation (BSDE) whose driver f_θ is parameterized by a neural network. Our main result is a representation theorem for a canonic...