本研究探索了基于神经网络的方法，用于在BlackScholes和Heston模型下对多维美式看跌期权进行定价，维度扩展至五维。我们重点关注两种方法：Time Deep Gradient Flow(TDGF)方法和Deep Galerkin Method(DGM)。我们将TDGF方法扩展用于处理美式期权固有的自由边界偏微分方程。在训练过程中，我们精心设计了采样策略以提高性能。TDGF和DGM都实现了高精度，同时在计算速度上优于传统的蒙特卡洛方法。特别是，TDGF在训练过程中往往比DGM更快。
给定从嵌入欧几里得空间的低维流形M上支撑的分布中采样的i.i.d.样本X_n ={ x_1, …, x_n }，我们考虑与X_n上ε-邻近图相关联的图拉普拉斯算子Δ_n，并研究其特征值围绕其均值的渐近波动。特别地，令λ̂_l^ε表示Δ_n的第l个特征值，在数据生成模型和ε衰减速率的适当假设下，我们证明√(n ) (λ̂_l^ε - 𝔼[λ̂_l^ε] )是渐近高斯的，其方差可以明确表征。通过形式论证，我们可以将此渐近方差解释为某种能量梯度流关于Fisher-Rao几何的耗散。这种几何解释反过来使我们能够从统计角度解释该渐近方差，即将其视为估计某些加权拉普拉斯-贝尔特拉米算子特征值的克拉美-罗下界。后一种解释表明了图拉普拉斯算子特征值的一种渐近统计效率形式。我们还提出了多重特征值的中心极限定理，并通过多个数值实验探讨了当我们理论分析中的某些假设放宽时，我们结果的有效性。
我们研究了对数凹采样的零阶查询复杂度，特别是使用成员资格预言从凸体中进行均匀采样。我们提出了一个简单的近端采样器变体，该变体在初始预热和输出保证之间实现了匹配的Rényi阶查询复杂度。具体来说，对于任何ε>0和q≥2，采样器从π_0初始化，输出一个样本，其法律在q-Rényi散度中ε-接近于π，即ℝ^d中凸体上的均匀分布，使用O(qM_q^q/(q-1)d^2 ‖covπ‖log1/ε)成员资格查询，其中M_q=‖dπ_0/dπ‖_L^q(π)。我们进一步引入了一个简单的退火方案，该方案在q-Rényi散度中产生一个预热开始（即M_q=O(1)）使用O(qd^2R^3/2 ‖covπ‖^1/4)查询，其中R^2=𝔼_π[|·|^2]。这在总变差和Rényi-无穷散度中预热开始生成的已知复杂度之间进行了插值。为了在退火方案中传递Rényi预热，我们建立了在同时热流下的超收缩性，并将其转化为在对数Sobolev不等式下近端采样器的改进混合保证。这些结果自然地扩展到通过评估预言可访问的一般对数凹分布，产生额外的二次查询。
来自相关物理层观测的秘密密钥协议是信息理论安全的基石。 本文提出并严格分析了使用稀疏回归代码(SPARC)从高斯来源的秘密密钥协议的完整,建设性的协议。 我们的协议系统地利用了SPARCs对速率扭曲和Wyner-Ziv(WZ)编码的已知最优性,这得益于其固有的嵌套结构。 这项工作的主要贡献是全面的端到端分析,表明拟议的计划通过强烈的保密保证实现了近乎最佳的秘密关键率,通过消失的变异距离量化。 我们明确描述了与最优速率的差距,揭示了关键利率与所需公共通信开销之间的基本权衡,这是由可调量化参数控制的。 此外,我们发现了该参数的非平凡约束优化,表明SPARC代码参数的实际约束会导致可实现的秘密密钥速率的峰值。 这项工作将SPARCs作为一个可行的和理论上合理的安全密钥生成框架,为现有方案提供了一个引人注目的低复杂性替代方案,并为此类协议的实际设计提供了新的见解。
我们解决粗糙、非均匀采样和高斯噪声下的数值分化。 获得具有高阶导数上L_2-norm约束的最大可能性估计器,产生基于spline的解决方案。 我们引入了二次延展线的非标准参数化,并开发了递归在线算法。 两种配方 - 二次和零序 - 提供平滑度和计算速度之间的权衡。 在粗采样和高噪声下,模拟显示比高增益观察者和超扭曲的差异化性能更高,使采样率较高的系统受益。
本文研究了在无限整数网格图上近似欧几里得距离的问题。虽然图的拓扑结构固定，但我们可以控制边权赋值w:E→ℝ_≥0，希望网格距离能渐进等距于欧几里得距离，即对所有网格点u,v满足dist_w(u,v) = (1± o(1))u-v_2。我们提出了三种解决方法，各具特色。* 第一种构造基于Radin和Conway提出的递归非周期性风车平铺在整数网格中的嵌入。风车图中的距离渐进等距于欧几里得距离，但此前未知收敛速率的具体界限。我们证明风车图的乘法失真为(1+1/Θ(log^ξlog D))，其中D为欧几里得距离，ξ=Θ(1)。风车平铺方法概念简单，但可定量改进。* 第二种构造基于"高速公路"的层次化排列，方法简单，能达到(1 + 1/Θ(D^1/9))的拉伸，其收敛速度比风车平铺方法快双指数级。* 前两种方法都是确定性的。更简单的方法是独立地从共同分布𝒟中采样边权。是否存在使网格距离在期望中渐进等于欧几里得距离的分布𝒟^*，是首次通过渗流理论中的主要开放问题。先前实验表明，当𝒟为费希尔分布时，网格距离与欧几里得距离的误差在1%以内。我们通过实验证明，这种精度水平可以通过简单的两点分布实现：以44%和56%的概率分别赋予权重0.41或4.75。
在[Becchetti et al., SODA 2020]中引入了一种称为RAES的随机分布式算法，用于从稠密的n顶点扩展图G = (V, E)中提取有界度扩展器。该算法依赖于一个简单的基于阈值的处理过程。[Becchetti et al., SODA 2020]中的一个关键假设是输入图G是静态的——即其顶点集V和边集E在整个过程中保持不变——而对RAES在动态模型中的分析被列为一个主要开放问题。在本工作中，我们研究了RAES在由流式节点流失过程(也称为滑动窗口模型)诱导的动态图模型下的行为，其中在每个离散轮次中，一个新节点加入图而最旧的节点离开。这个过程产生一个有界度动态图𝒢 ={ G_t = (V_t, E_t) : t ∈ℕ}，它捕捉了对等网络的关键特性——特别是节点流失和每个节点可管理连接数的阈值。我们证明动态图序列中的每个快照G_t以高概率具有良好的扩展特性。此外，我们利用这一特性建立了在动态图𝒢上著名的PUSH和PULL谣言传播协议完成时间的对数上界。
我们解决粗糙、非均匀采样和高斯噪声下的数值分化。 获得具有高阶导数上L_2-norm约束的最大可能性估计器,产生基于spline的解决方案。 我们引入了二次延展线的非标准参数化,并开发了递归在线算法。 两种配方 - 二次和零序 - 提供平滑度和计算速度之间的权衡。 在粗采样和高噪声下,模拟显示比高增益观察者和超扭曲的差异化性能更高,使采样率较高的系统受益。
在本周文中,我们认为后贝叶斯完全连接和前馈的深度神经网络具有依赖权重。 特别是,如果可能性是高斯,我们确定宽宽极限的分布,并提供从网络中采样的算法。 在浅薄的情况下,我们显式计算输出的分布,证明它是高斯混合物。 所有理论结果都是经过数值验证的。
给定受控扩散和连接,边界,Lipschitz集,何时可以保证受控设置不变与概率一? 在这项工作中,我们通过在某些日志可能性的梯度(又名分数向量字段)的梯度方面得出必要和足够的条件来回答这个问题:给定的有限时间视界和无限时间视界。 演绎的条件包括基于分数的测试,可证明或伪造马尔科维控制器的存在,用于给定的受控集不变问题数据。 我们的结果具有建设性,当问题数据通过建议的测试时,我们表征所有控制器,保证所需的设置不变性。 当问题数据在提议的测试中失败时,不存在一个控制器,它可以用概率实现所需的设置不变性。 拟议测试中的计算涉及解决某些Dirichlet边界值问题,在有限视界的情况下,还可以考虑在终端时间击中目标子集的额外约束。 我们用几个半分析性和数值例子来说明结果。
次线性期望的规范理论,在模棱两可下随机演算的基础,对原始不确定性模型的非凸几何不敏感。 本文为此类非凸模型的结构化类开发新的随机微积分。 我们引入了一类完全耦合的均场前向-反向随机微分方程,其中BSDE驱动程序由依赖于法律的非凸集的点最大化定义。 数学可牵引性是通过对控制变量的驱动器的均匀强凹度假设来实现的,这确保了优化允许一个独特而稳定的解决方案。 一个中心贡献是建立Lipschitz稳定性的优化器从原始的几何和规律性条件,这支撑了整个良好的构图理论。 我们证明了 FBSDE 系统的局部和全球良好构图定理。 由此产生的估值功能,即Θ-预期,被证明在动态上是一致的,而且最关键的是违反了亚成瘾的公理。 这,连同它未能翻译不变,表明它的根本偏离凸范式。 这项工作为在一类非凸、内生的模棱两可下下提供了严格的随机演算基础。
Jalali and Poor引入了一个无症状框架,用于压缩随机过程的压缩传感,表明任何严格大于平均信息维度的速率都是按规范化的L^2规范测量(通用)几乎无损恢复ψ^*混合过程所需的随机线性测量数量的上限。 在这项工作中,我们表明,如果随机线性测量的标准化数严格小于平均信息维度,那么任何解压缩器序列都不可能 ψ^*- 混合过程几乎无损地恢复。 这就确立了平均信息维度作为这种设置中压缩传感的基本极限(事实上,也是问题的精确阈值)。 为此,我们引入了一个新的数量,与几何测量理论的技术有关:相关性维率,这被证明是压缩感应任意固定随机过程的下界。
本文提出了一种新的混合模型,用于预测德国电价。 该算法基于高斯过程回归(GPR)和支持矢量回归(SVR)的组合。 虽然GPR是数据中学习随机模式和插值的合格模型,但其样本外数据的性能并不十分乐观。 通过选择合适的数据依赖性协方差功能,我们可以为正在测试的德国小时电价增强GPR的性能。 然而,由于样本外预测依赖于训练数据,因此预测容易受到噪声和异常值的影响。 为了克服这个问题,使用SVR计算一个单独的预测,SVR应用基于保证金的优化。 这种方法在处理非线性过程和异常值时是有利的,因为训练数据中只有某些必要点(支持向量)负责回归。 然后使用均匀的权重线性组合单个预测。 当对历史悠久的德国电力价格进行测试时,这种方法优于公开的基准,即LASSO估计的自动回归回归模型,深度神经网络在最近的研究中提供[1]。
我们考虑一个无限数量的加泰罗尼亚数字产品家族,由树木索引。 我们证明这些总和是具有合理系数的1/π中的多项式;证明是有效的,并提供了一种算法来显式计算这些总和。 在此过程中,我们引入了我们的总和的参数提升,并表明它们是第一和第二种完整椭圆积分中的多项式。 而且,这些多项式的程度最多是树顶点数的一半。 这些树索引总和的计算是由大型测谎系统的研究驱动的,这些系统是平面中循环的非交叉配置。
我们探索莱维过程的信息几何。 作为起点,我们得出两个Lévy过程之间的α-divergence。 随后,Fisher 信息矩阵以及与 Lévy 过程几何形状相关的 α 连接从 α-divergence 计算。 此外,我们讨论此信息几何的统计应用。 作为示例,我们研究了与财务建模相关的各种利维过程的差分几何结构,包括钢化稳定过程,CGMY模型和方差伽马工艺。
经典结果表明，n个元素的随机排列平均具有约log n个循环。我们将这一事实推广到所有n个顶点上的有向d-正则图，证明此类图的随机环因子平均具有𝒪((nlog d)/d)个环。这一结果在常数因子范围内是紧的，并改进了Vishnoi先前提出的𝒪(n/√(log d))形式的最佳边界。我们的结果还给出了随机多项式时间算法，用于寻找这样的环因子，以及当图连通时寻找长度为(1+𝒪((log d)/d))·n的环游。这对Magnant和Martin的猜想以及Vishnoi、Feige、Ravi和Singh研究的问题取得了进展。我们的证明使用熵的语言来利用正则二分图中完美匹配数量上下界极其接近这一事实。
给定从嵌入欧几里得空间的低维流形M上支撑的分布中采样的i.i.d.样本X_n ={ x_1, …, x_n }，我们考虑与X_n上ε-邻近图相关联的图拉普拉斯算子Δ_n，并研究其特征值围绕其均值的渐近波动。特别地，令λ̂_l^ε表示Δ_n的第l个特征值，在数据生成模型和ε衰减速率的适当假设下，我们证明√(n ) (λ̂_l^ε - 𝔼[λ̂_l^ε] )是渐近高斯的，其方差可以明确表征。通过形式论证，我们可以将此渐近方差解释为某种能量梯度流关于Fisher-Rao几何的耗散。这种几何解释反过来使我们能够从统计角度解释该渐近方差，即将其视为估计某些加权拉普拉斯-贝尔特拉米算子特征值的克拉美-罗下界。后一种解释表明了图拉普拉斯算子特征值的一种渐近统计效率形式。我们还提出了多重特征值的中心极限定理，并通过多个数值实验探讨了当我们理论分析中的某些假设放宽时，我们结果的有效性。
我们研究了对数凹采样的零阶查询复杂度，特别是使用成员资格预言从凸体中进行均匀采样。我们提出了一个简单的近端采样器变体，该变体在初始预热和输出保证之间实现了匹配的Rényi阶查询复杂度。具体来说，对于任何ε>0和q≥2，采样器从π_0初始化，输出一个样本，其法律在q-Rényi散度中ε-接近于π，即ℝ^d中凸体上的均匀分布，使用O(qM_q^q/(q-1)d^2 ‖covπ‖log1/ε)成员资格查询，其中M_q=‖dπ_0/dπ‖_L^q(π)。我们进一步引入了一个简单的退火方案，该方案在q-Rényi散度中产生一个预热开始（即M_q=O(1)）使用O(qd^2R^3/2 ‖covπ‖^1/4)查询，其中R^2=𝔼_π[|·|^2]。这在总变差和Rényi-无穷散度中预热开始生成的已知复杂度之间进行了插值。为了在退火方案中传递Rényi预热，我们建立了在同时热流下的超收缩性，并将其转化为在对数Sobolev不等式下近端采样器的改进混合保证。这些结果自然地扩展到通过评估预言可访问的一般对数凹分布，产生额外的二次查询。
我们提出并研究了一个由凸函数f、马尔可夫生成器有限集ℬ（或其凸包）和目标分布π定义的 probabilist 与 Nature 之间的二人零和博弈。probabilist 选择混合策略μ∈𝒫(ℬ)（ℬ上的概率测度集），而 Nature 采用纯策略并选择一个π可逆的马尔可夫生成器M。probabilist 获得的收益等于f-divergence D_f(M L)，其中L根据μ抽取。我们证明该博弈总存在混合策略纳什均衡且满足极小极大恒等式，但纯策略均衡可能不存在。我们开发了具有可证明收敛保证的投影次梯度方法来计算近似混合策略均衡。文中还讨论了与信息质心、切比雪夫中心和贝叶斯风险的联系。本文将早期关于f-divergence的极小极大结果推广到马尔可夫生成器场景。
具有参数κ : ℝ_≥1→ [0,1]的对称二进制感知器（SBP_κ）问题是一个平均情况下的搜索问题，定义如下：给定一个随机高斯矩阵𝐀∼𝒩(0,1)^n × m作为输入，其中m ≥ n，输出一个向量𝐱∈{-1,1}^m，使得|| 𝐀𝐱 ||_∞≤κ(m/n) ·√(m)。数字划分问题（NPP_κ）对应于设置n=1的特殊情况。有大量证据表明，这两个问题都表现出较大的计算统计差距。在这项工作中，我们展示了这些问题的（近乎）紧平均情况硬度，假设标准近似最短向量问题在格点上的最坏情况硬度。对于SBP，对于大的n，高效算法能够达到的最佳值是κ(x) = Θ(1/√(x))（Bansal和Spencer，Random Structures and Algorithms 2020），这与统计界限相去甚远。该问题在TCS和统计社区中得到了广泛研究，Gamarnik、Kizildag、Perkins和Xu（FOCS 2022）推测Bansal-Spencer是紧的：即，κ(x) = Θ(1/√(x))是计算高效算法能够达到的最优值。我们证明了他们的猜想，假设近似格点上最短向量问题的最坏情况硬度。对于NPP，Karmarkar和Karp的经典差分算法达到κ(m) = 2^-O(log^2 m)。我们证明Karmarkar-Karp几乎是紧的：即，没有多项式时间算法可以达到κ(m) = 2^-Ω(log^3 m)，再次假设近似格点上最短向量问题的最坏情况亚指数硬度在一个亚指数因子内。
本研究探索了基于神经网络的方法，用于在BlackScholes和Heston模型下对多维美式看跌期权进行定价，维度扩展至五维。我们重点关注两种方法：Time Deep Gradient Flow(TDGF)方法和Deep Galerkin Method(DGM)。我们将TDGF方法扩展用于处理美式期权固有的自由边界偏微分方程。在训练过程中，我们精心设计了采样策略以提高性能。TDGF和DGM都实现了高精度，同时在计算速度上优于传统的蒙特卡洛方法。特别是，TDGF在训练过程中往往比DGM更快。
来自相关物理层观测的秘密密钥协议是信息理论安全的基石。 本文提出并严格分析了使用稀疏回归代码(SPARC)从高斯来源的秘密密钥协议的完整,建设性的协议。 我们的协议系统地利用了SPARCs对速率扭曲和Wyner-Ziv(WZ)编码的已知最优性,这得益于其固有的嵌套结构。 这项工作的主要贡献是全面的端到端分析,表明拟议的计划通过强烈的保密保证实现了近乎最佳的秘密关键率,通过消失的变异距离量化。 我们明确描述了与最优速率的差距,揭示了关键利率与所需公共通信开销之间的基本权衡,这是由可调量化参数控制的。 此外,我们发现了该参数的非平凡约束优化,表明SPARC代码参数的实际约束会导致可实现的秘密密钥速率的峰值。 这项工作将SPARCs作为一个可行的和理论上合理的安全密钥生成框架,为现有方案提供了一个引人注目的低复杂性替代方案,并为此类协议的实际设计提供了新的见解。
在非凸优化的背景下,我们让一个朗格文扩散的温度取决于扩散自身的密度函数。 理由是诱导密度在一定程度上揭示了非凸函数施加的景观,以最小化,因此密度依赖温度可以提供位置明智的随机扰动,例如,局部最小化器的位置和深度。 由于Langevin动力学现在由其自身的密度进行自我调节,因此它形成了Nemytskii类型的均场随机微分方程(SDE),不同于标准的McKean-Vlasov方程。 依靠Wasserstein亚差分微积分,我们首先表明相应的(非线性)福克-普朗克方程有一个独特的解。 接下来,由Trevisan的叠加原理构建了Fokker-Planck方程的弱解。 随着时间进入无穷大,我们进一步表明SDE诱导的密度收敛到不变分布,该分布在Lambert W函数方面承认一个显式公式。
基于亚成瘾性的随机微积分理论对非凸不确定性结构不敏感,导致可识别性僵局。 本文开发了一个数学框架,用于对非凸几何敏感度的可识别微积分。 我们引入了θ-BSDE,一类向后随机微分方程,其中驱动程序由原始,可能是非凸的不确定集合的点最大化决定。 该系统的可操作性不是基于凸性,而是基于全局分析假设:存在一个独特的全球Lipschitz最大化映射驱动程序函数。 在这个假设下,我们通过定点参数建立了良好的构图。 对于一个独特的,几何上常规的模型类别,我们证明了独立兴趣的结果:在Malliavin演算的非退行性条件下,最大化器在任何解决方案路径上都是独特的,确保了模型的内部一致性。 我们澄清了这种病态属性与我们存在证明所要求的全球规律性之间的基本逻辑差距。 由此产生的估值运算符定义了动态一致的期望,我们通过 Feynman-Kac 公式建立其与完全非线性 PDE 的连接。
几乎确定可到达性是指随机系统的特性,从任何初始条件来看,系统状态达到具有概率设定的给定目标。 在本文中,我们研究了使用漂移和变态条件的离散时间随机系统中几乎确定可访问性的问题。 虽然这些条件在理论上既必要又充分,但计算方法通常依赖于将搜索限制在固定模板上,例如多项式或二次函数。 我们表明,这种限制损害了完整性:存在一个多项式系统,给定的目标集几乎可以确定可以达到,但承认没有多项式证书,并且有一个线性系统,其起源的邻域几乎可以到达,但承认没有二次证书。 然后,我们为具有添加剂噪声的线性系统提供了可访问性证书的完整表征。 我们的分析产生了存在有效证书的系统矩阵的条件,并显示了系统的结构和尺寸如何确定对非二次模板的需求。 我们的结果将经典的随机行走行为推广到更广泛的随机动力学系统。
