A roadmap for curvature-based geometric data analysis and learning
Yasharth Yadav and Kelin Xia
几何数据分析和学习已成为一个独特且快速发展的研究领域,因其在各种应用中的有效性而日益认可。 这个领域的核心是曲率,这是一个强大而可解释的概念,它捕获了内在的几何结构,并支撑着从社区检测到几何深度学习的众多任务。 已经提出了广泛的离散曲率模型,用于各种数据表示,包括图形,简单复合物,立方复合物和从流形采样的点云。 这些模型不仅提供了数据几何学的有效表征,而且还构成了几何学习框架中的基本组成部分。 在本文中,我们提出了对现有离散曲率模型的第一次全面审查,涵盖了它们的数学基础,计算公式以及数据分析和学习中的实际应用。 特别是,我们讨论了黎曼和度量几何视角的离散曲率,并提出了曲率驱动的数据分析的系统管道。 我们进一步研究了不同数据表示的相应计算算法,提供了详细的比较和见解。 最后,我们回顾了曲率在监督式和非监督式学习中最先进的应用。 这项调查为研究人员提供了一个概念和实践路线图,以更好地了解离散曲率作为几何理解和学习的基本工具。
Geometric data analysis and learning has emerged as a distinct and rapidly developing research area, increasingly recognized for its effectiveness across diverse applications. At the heart of this field lies curvature, a powerful and interpretable concept that captures intrinsic geometric structure and underpins numerous tasks, from community detection to geometric deep learning. A wide range of discrete curvature models have been proposed for various data representations, including graphs, simp...