数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
我们提出了基于喷气式函子和Weil代数的自动分化(AD)差分几何配方。 在这个框架中,前向和反向模式分化自然产生为推移和共通回调,而高阶分化对应于Weil代数中的评估。 这种结构提供了统一的、无坐标的衍生传播视图,并明确了AD背后的代数结构。 所有结果都在现代JAX代码中实现,其中Weil-mode公式在单个前向传递中计算所有混合衍生物,在代数尺寸中具有成本线性。 由此产生的实现实现了代数精确和数值稳定的差异化,具有可预测的缩放,表明几何抽象可以产生更高效和透明的计算差异化系统。 代码可查阅https://git.nilu.no/geometric-ad/jet-weil-ad。
薛定谔桥为分布之间的随机过程建模提供了一个原则框架;然而,现有方法受到能量保护假设的限制,这限制了桥梁的形状,使其无法模拟不同能量现象。 为了克服这一点,我们介绍了非保守的广义薛定谔桥(NCGSB),这是一种基于接触哈密顿力学的新型能量变化的重新配方。 通过允许能量随着时间的推移而变化,NCGSB提供了更广泛的现实世界随机过程,捕获更丰富和更忠实的中间动力学。 通过参数化Wasserstein流形,我们将桥梁问题提升到有限维空间中可处理的大地测量计算。 与计算昂贵的迭代解决方案不同,我们的联系人Wasserstein Geodesic(CWG)通过ResNet架构自然实现,并依赖于具有近线性复杂性的非迭代求解器。 此外,CWG通过调节特定任务的距离度量来支持引导生成。 我们验证了我们在多方面的操作框架,包括多路导航、分子动力学预测和图像生成,展示了其实际优势和多功能性。
微分方程中的对称揭示了不变性,并提供了一种降低模型复杂性的强大手段。 谎言群分析通过无穷小数生成器表征这些对称性,这些生成器为不变性提供了局部线性标准。 然而,直接从分散的数据中识别谎言对称性,而没有明确关于支配方程的知识,仍然是一个重大挑战。 这项工作引入了一个数值方案,它近似于在未知平滑流形上采样的数据中的无穷小微量生成器,无需微分方程的分析形式即可恢复连续对称。 我们使用一种多方面的学习技术,即通用移动最小二乘法,以延长数据,从中构建一个线性系统,其空空间编码代表对称的无穷小生成器。 提出了拟议方法的趋同界限。 几个数值实验,包括普通和偏微分方程,证明了该方法的准确性,稳健性和收敛性,突出了其在动态系统中数据驱动发现对称性的潜力。
人们普遍认为,对于确定一个系统是否总体上是分差的,没有任何必要和充分的条件。 但是,具体案例确实提供了这样的条件。 例如,有两个输入的无漂移系统已经知道必要和充分的条件。 对于具有三个或更多输入的无漂系统,可用的条件仅足够。 本文提出了确定具有m输入和2m或2m-1状态的系统是否通过纯延长(差异平坦度的特定子类)平整的新发现。 虽然这种情况比一般差分扁平度更具限制性,但计算平面输出的算法仍然非常简单,验证要求相对宽松。 此外,这项工作中提出的条件扩大了公认的差异平坦的系统类别,因为我们的充分条件与现有标准不同。
著名的Takens'嵌入定理为从部分观测中重建动力系统的全部状态提供了理论基础。 然而,经典定理假设底层系统是确定性的,并且观测是无噪声的,限制了它在现实世界场景中的适用性。 在这些限制的激励下,我们制定了一个度量理论的概括,它采用了欧勒对动力学的描述,并将嵌入作为概率度量空间之间的推进图。 我们的数学结果利用了最佳运输的最新进展。 基于拟议的测量-理论时间延迟嵌入理论,我们开发了一种计算过程,旨在从时间滞后的部分观测中重建动态系统的全部状态,以稳健性设计,以处理稀疏和嘈杂的数据。 我们通过几个数值示例评估基于测量的方法,从经典的Lorenz-63系统到现实世界的应用,如NOAA海面温度重建和ERA5风场重建。
高维二态映射的传统方法经常与维度的诅咒作斗争。 我们提出了一个为n维映射问题设计的无网格学习框架,将变异原理与准共体理论无缝结合。 我们的方法通过调节构象失真和体积失真,确保精确、双子节映射,从而对变形质量进行稳健控制。 该框架本质上与基于梯度的优化和神经网络架构兼容,使其高度灵活,可扩展至更高维度的设置。 合成和真实世界医学图像数据的数字实验验证了复杂注册场景中拟议方法的准确性、鲁棒性和有效性。
我们表明,E_0(M)类型表面上的积分曲率能量:= ∫_M f(x,n_M(x),D n_M(x)) dH^2(x)具有三角形复合物的离散版本,其中形状运算符D_M被分段边缘导体的分段梯度所取代。 我们将无 ansatz 的无症状下限结合,用于任何具有三角形复合物的表面的均匀近似值和由极限序列的任何常规三角测量和边缘调节的几乎最佳选择组成的恢复序列。
在这篇关于圆形弧形和弧形拼接的的后续文章中,从纯粹的几何角度考察了弧形几何。 两个给定的点及其在平面中相关的切向向量足以定义两个定向,连续的圆形弧。 然而,仍然有一个程度的自由来确定两个弧线的连接点。 文献中对此有各种方法。 一本小说在这里介绍。
我们确定Stiefel流形上最短的非平凡大地测量回路的长度,该流形具有Hüper等人介绍的黎曼指标单参数家族的任何成员。 (2021年)。 这个家庭特别包括规范和欧几里德指标。 通过在节段曲率上结合现有和新边界,我们确定在公制家族的广泛成员下Stiefel流形的注射半径的确切值。
本文提出了一种新的机器学习范式,超越了传统的参数优化。 与在固定几何空间内搜索最优参数的传统方法不同,我们的核心思想是将模型本身视为可塑性几何实体。 具体来说,我们在具有预定义拓扑结构的流形上优化了公制张量场,从而动态地塑造了模型空间的几何结构。 为了实现这一目标,我们构建了一个变体框架,其损失函数仔细平衡了数据保真度与流形的内在几何复杂性。 前者确保模型有效地解释观察到的数据,而后者充当正则器,惩罚过度弯曲或不规则的几何形状,以鼓励更简单的模型并防止过拟合。 为了解决这个无限维优化问题的计算挑战,我们引入了一种基于离散微分几何的实用方法:连续流形被离散微分几何分解成三角形网格,度量张量按边缘长度参数化,使用自动分化工具实现高效优化。 理论分析揭示了我们的框架与广义相对论中的爱因斯坦 - 希尔伯特行动之间的深刻类比,为“数据驱动的几何”概念提供了优雅的物理解释。 我们进一步认为,即使使用固定拓扑,度量优化也比具有固定几何形状的模型提供更大的表达能力。 这项工作为构建能够自主进化其几何和拓扑的完全动态的“元学习者”奠定了坚实的基础,并指出了科学模型发现和稳健的表示学习等领域的广阔应用前景。
本调查通过探索外部衍生物的广义视角,重新审视了矢量微积分和分析中的经典结果,将其解释为“无限通量”的度量。 这种观点导致了平均价值定理的更高维度的类似物,适用于差分k形式,并提供了斯托克斯定理的自然公式,反映了微积分基本定理的确切假设 - 不需要差分形式的完全 C^1 平滑度。 作为一个数值应用程序,我们提出了一种在R^n中外部分化的算法,该算法仅依赖于对差分形式的黑箱访问,提供了一个实用的计算工具,而不需要网格离散化或显式符号表达式。
本文介绍了神经微分形结构(NDM),这是一种新颖的神经网络架构,明确地将几何结构纳入其基本设计中。 从传统的欧几里得参数空间出发,NDM将神经网络重新概念化为可区分的歧管,其中每个层作为局部坐标图,并且网络参数在每个点上直接参数化黎曼度量张量。 该架构被组织成三个协同层:一个通过受规范化流启发的可倒挂变换实现平滑图转换的坐标层,通过辅助子网络动态生成流形指标的几何图层,以及通过双目标损失函数优化任务性能和几何简单性的进化层。 这种几何正则化惩罚了过度的曲率和体积扭曲,提供了内在的正则化,增强了概括性和鲁棒性。 该框架可实现与学习流形几何图形对齐的自然梯度下降优化,并通过赋予具有清晰几何含义的内部表示提供前所未有的可解释性。 我们分析了这种方法的理论优势,包括其在科学发现和可控生成建模中实现更高效优化、增强持续学习和应用的潜力。 虽然仍然存在重大的计算挑战,但神经差分流形代表了向几何结构,可解释和高效的深度学习系统的根本转变。
几何数据分析和学习已成为一个独特且快速发展的研究领域,因其在各种应用中的有效性而日益认可。 这个领域的核心是曲率,这是一个强大而可解释的概念,它捕获了内在的几何结构,并支撑着从社区检测到几何深度学习的众多任务。 已经提出了广泛的离散曲率模型,用于各种数据表示,包括图形,简单复合物,立方复合物和从流形采样的点云。 这些模型不仅提供了数据几何学的有效表征,而且还构成了几何学习框架中的基本组成部分。 在本文中,我们提出了对现有离散曲率模型的第一次全面审查,涵盖了它们的数学基础,计算公式以及数据分析和学习中的实际应用。 特别是,我们讨论了黎曼和度量几何视角的离散曲率,并提出了曲率驱动的数据分析的系统管道。 我们进一步研究了不同数据表示的相应计算算法,提供了详细的比较和见解。 最后,我们回顾了曲率在监督式和非监督式学习中最先进的应用。 这项调查为研究人员提供了一个概念和实践路线图,以更好地了解离散曲率作为几何理解和学习的基本工具。
表现出内在低维结构的高维数据在机器学习和数据科学中无处不在。 虽然各种方法允许从有限样本中学习相应的数据流形,但直接在这些学习流形上执行下游任务(如优化)是一项重大挑战。 这项工作引入了一个原则性框架,用于使用 iso-Riemannian 几何学优化学习数据流形。 我们的方法解决了经典黎曼优化的关键限制,特别是Levi-Civita连接无法产生恒定速度的大地测量,并且大地测量凸假设在通常在实践中常用的学习回调结构下分解。 为了克服这些挑战,我们提出了针对异米-黎曼设置的单调性和Lipschitz连续性的新概念,并提出了io-Riemannian下降算法,我们为此提供了详细的收敛分析。 我们展示了这些算法在合成和真实数据集上的实际有效性,包括在学习回调结构下的MNIST。 我们的方法可以产生可解释的融星中心,改进的聚类,以及可证明的通用解决方案,即使在高维设置中也是如此。 这些结果证明,在 iso-Riemannian 几何学下的优化可以克服学习流形映射固有的失真。
我们提出了一个新颖的公式,用于在嵌入 ^3 的定向三角形网格上对正常矢量的第二顺序总广义变异 (TGV)。 正常的向量被认为是多形值函数,在单位球体上取值。 我们的配方扩展了以前的离散TGV模型,用于利用Raviart-Thomas功能空间的分段恒定标量数据。 为了将这个公式扩展到流形设置,在这项工作中构建了一个定制的切线Raviart-Thomas类型有限元空间。 新的正则器与网格去角质实验中的现有方法进行了比较。
我们考虑在从流形𝒳到向量丛ℰ的映射中寻找零点的牛顿法。在此设置下，需要在ℰ上定义一个联络以使牛顿方程良定义，并在𝒳上需要一个回缩来计算牛顿更新。我们使用黎曼距离的巴拿赫空间变体，基于合适的可微性概念讨论局部收敛性。我们还将仿射协变阻尼策略推广到我们的设置中。最后，我们将通过将结果应用于广义非对称特征值问题并提供数值示例来阐明我们的结果。
复杂性和同质学,传统上是拓扑学的核心,已成为应用数学和科学的基本工具。 本调查探讨了他们在不同领域的角色,从偏微分方程和连续力学到爱因斯坦方程和网络理论的重新计算。 受兼容和结构保护离散化(如有限元素外部微积分(FEEC))的进步激励,我们研究了微分复合物如何编码关键特性,如微分方程解决方案的存在,唯一性,稳定性和刚性。 我们证明,固体和流体力学中的各种基本概念和模型本质上是在微分复合物方面制定的。
本文提出了在多旋翼飞行器(MAV)中实现全向性的新概念,该飞行器仅使用6个输入,并确保平衡没有内部力量。 这个概念集成了一个单一的主动倾斜螺旋桨和3个钟摆状链接,每个连接都带有一个螺旋桨,通过被动的通用接头连接到主体。 我们表明,这种设计确保了全向性,同时最大限度地减少了内部力量,并且不会过度驱动(即超过6个输入)。 多链路MAV的详细动态模型首先开发。 之后,分析确定了均衡配置,并说明了MAV主平台的每个姿势都存在强制均衡。 为了使闭环系统这种平衡无症状稳定,使用动态反馈线性化和后退技术构建几何非线性控制器,主要平台配置错误是SE(3)上的左琐碎错误。 然后通过采用关于零动力学的标准Lyapunov参数来调查闭环系统的稳定性。 最后,我们提供数值模拟,验证拟议方法。 它们展示了MAV在非零初始条件下执行解耦姿态和转换动作的能力,参数不确定性和执行器噪声。
我们发现平滑曲线的扭动数与铭刻内刻字的多边形的扭动数之间的差异。 证明是基于富勒的扭动公式与多边形曲线的差异的延伸。 结果建立了在计算令状时有用的错误边界。
对于形式 y"=P(x,y)+3 Q(x,y) y'+3 R(x,y) y'^2 +S(x,y) y'^2 +S(x,y) y'^3 的方程,考虑了点变换的类等价性问题。 建议确定给定方程的点等的类别的有效程序。 此过程基于不变性的显式公式。
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