给定形式 ax + by = cz 的线性方程 E,其中 a, b, c 是正整数, k 色 R_k(E) 是最小的正整数 n,如果它存在,使得正整数 {1, 2, ..., n} 的每个 k 着色都包含 E 的单色解。 在本文中,我们考虑 k = 3 和线性方程 ax + by = bz 和 ax + ay = bz。 使用SAT求解器,我们计算了一些与这些方程对应的以前未知的Rado数字。 我们证明了对 Rado 数字的新的一般界限,灵感来自 SAT 求解器发现的令人满意的作业。 我们的证明需要广泛的基于案例的分析,这些分析很难用手检查正确性,所以我们通过使用我们开发的新方法自动检查证明的正确性,该方法支持符号定义集的操作 - 例如,表单{f(1),f(2),...,f(a)}的集合的工会或交叉点,其中a是一个符号变量,f是可能依赖于a的函数。 我们所知的计算机代数系统目前对符号集有足够能力的支持,导致我们开发了一个支持符号集的工具,使用Python符号计算库SymPy加上可满足性模块理论解决器Z3。
A graph class 𝒞 is monadically dependent if one cannot interpret all graphs in colored graphs from 𝒞 using a fixed first-order interpretation. We prove that monadically dependent classes can be exactly characterized by the following property, which we call flip-separability: for every r∈ℕ, ε>0, and every graph G∈𝒞 equipped with a weight function on vertices, one can apply a bounded (in terms of 𝒞,r,ε) number of flips (complementations of the adjacency relation on a subset of vertices) to G so that in the resulting graph, every radius-r ball contains at most an ε-fraction of the total weight. On the way to this result, we introduce a robust toolbox for working with various notions of local separations in monadically dependent classes.
辩证进化产生了复杂的系统发育网络,使他们的解释具有挑战性。 一个典型的方法是在这样的网络中提取树木。 自弗朗西斯和钢铁的开创性论文以来,“哪些物理发育网络是只有额外的弧度?” (2015),基于树木的系统发育网络及其支持树(与给定网络具有相同的根和叶的树)已经进行了广泛的研究。 然而,并非所有的系统发育网络都是基于树木的,对于重新调节进化的研究,识别支持网络而不是树木通常更具生物学相关性。 这项研究概括了Hayamizu对根植二叉系统发育网络的结构定理,该定理为支撑树的各种计算问题提供了最佳算法,以扩展支持树的理论框架以支持网络。 这使我们能够获得三个集合中的每个直接产品特征:所有,最小和最小支持网络,对于给定网络。 每个表征都会产生用于计数和生成每种类型的支持网络的最佳算法。 应用程序包括用于查找具有最少重调(即最小层)的支持网络的线性时间算法。 我们还提供精确和指导性的算法,用于寻找具有最低水平的支持网络,既在指数时间运行,但在相当广泛的重调数字中实用。
我们考虑了一个追逐逃避游戏,它描述了在无方向图的节点上熄灭燃烧火灾的过程。 我们表示ffn(G)所需的最小消防员人数,并为ffn(G)=1和ffn(G)=2的图形以及完整的二叉树的几乎锐利的界限提供表征。 我们表明,决定给定 G 和 m 的 ffn(G) ≤ m 是否为 NP-hard。 此外,我们表明最短的策略可以具有超多项式长度,从而打开问题是否在NP中。 基于一些合理的猜想,我们也证明这个决策问题对于具有边界树荫的图形来说既不是NP-hard,也不是恒定m。
图形的正确薄度是一个不变的,它概括了适当的间隔图的概念。 每个图形都有适当的薄度的数值,具有适当薄度的图形1正是适当的间隔图。 图形是适当的k-薄,如果它的顶点可以排序,这样顶点有一个分区的顶点到k类满足,对于每个三重顶点r < s < t,这样r和t之间有一个边缘,这是真的,如果r和s属于同一个类,那么s和t之间有一个边缘,如果s和t属于同一个类,那么有一个边缘。 适当的薄度是k的最小值,因此图形是适当的k-薄。 在这项工作中,我们专注于计算树木的适当薄度。 我们表征了适当的薄度2,无论是结构上还是通过其最小的禁止诱导子图。 获得的表征导致了多项式时间识别算法。 我们还展示了为什么为适当薄的树木2获得的结构结果不能直接推广到适当的薄度3的树木。
图形的正确薄度是一个不变的,它概括了适当的间隔图的概念。 每个图形都有适当的薄度的数值,具有适当薄度的图形1正是适当的间隔图。 图形是适当的k-薄,如果它的顶点可以排序,这样顶点有一个分区的顶点到k类满足,对于每个三重顶点r < s < t,这样r和t之间有一个边缘,这是真的,如果r和s属于同一个类,那么s和t之间有一个边缘,如果s和t属于同一个类,那么有一个边缘。 适当的薄度是k的最小值,因此图形是适当的k-薄。 在这项工作中,我们专注于计算树木的适当薄度。 我们表征了适当的薄度2,无论是结构上还是通过其最小的禁止诱导子图。 获得的表征导致了多项式时间识别算法。 我们还展示了为什么为适当薄的树木2获得的结构结果不能直接推广到适当的薄度3的树木。
我们在两个新的方向上扩展了硬核模型的占用率的研究。 一个方向在单个顶点度方面给出了一个紧密的下界,扩展了Sah,Sawhney,Stoner和Zhao的工作,它限制了分区功能。 另一个限制从模型中提取的独立集大小的方差,这严格比占用分数限制要强。 在无三角形图形的设置中,我们在最近的Buys,van den Heuvel和Kang的猜想上取得了进展,该猜想是Shearer在独立号上的经典边界扩展到硬核模型的占用部分。 预期和无三角形图的方差上具有足够大的下界,有可能改善外对角线Ramsey数字R(3,t)上的已知边界,并阐明在稀疏随机图中观察到的独立集合的算法屏障。
让 P 成为 R^d 中的有限全维点配置。 我们表明,如果一个点配置 Q 的属性具有所有有限脊椎类通过向 P 添加(通用)点来实现的属性,则通过向 Q 添加点来实现,那么 P 和 Q 等于直接的亲和变换。 我们还表明,对于任何点配置 P 和任何 ε>0,有一个具有以下属性的 P 的有限(通用)扩展 P 的扩展 P:如果可以扩展 P 的 chirotope 的另一个实现 Q,以便实现 P 的脊椎,那么存在一个直接的 affine 变换,映射到 P 的相应点 ε 距离 ε 内的每个 Q 点。
我们表明,线性编程和线性二价方程组合的提升和项目层次结构并没有解决近似的图形着色。 证明是基于组合张量理论。
一个网络可以包含许多跨越的树木。 如果两个跨树 T_i,T_j 没有共享任何共同的边缘,则 T_i 和 T_j 被认为是双双边缘脱节的。 对于跨越树T_1,T_2,...,T_m,如果它们中的每两个都是双双边缘脱节的,它们被称为完全边缘独立的树(简称CEISTs)。 CEIST可以促进许多网络功能,在给定网络中尽可能最大限度地构建CEIST是一项有价值的工作。 在本文中,我们建立了局部扭曲的立方体网络中CEIST的最大数量,并提出了一个算法,在LTQ_n中构造⌊n/2⌋ CEISTs,即n维局部扭曲的立方体。 提议的算法已经实际实现,我们介绍了输出。 LTQ_n 中的网络广播使用 ⌊n/2⌋ CEISTs 进行模拟,并且与使用单个树的广播相比,性能。
深入研究的直径问题是找到给定连接图的直径。 我们首次以结构化的方式调查Diameter对无H图的复杂性,即不包含固定图H作为诱导子图的图形。 我们首先表明,如果H不是具有小组件的线性森林,那么Diameter无法在SETH下的H-free图形的亚夸德拉时间解决。 对于一些小线性森林,我们确实展示了用于解决Diameter的线性时间算法。 对于其他线性森林H,我们通过考虑特定的直径值,在线性时间算法方面取得进展。 如果 H 是线性森林,则连接 H 的无图类中任何图形的直径的最大值是一些仅依赖于 H 的恒定 dmax。 我们提供线性时间算法,用于决定连接的无H图是否具有直径dmax,用于几个线性森林H。 相反,对于一个这样的线性森林H,直径不能在SETH下的H-free图形的亚四度时间解决。 此外,我们甚至表明,对于其他几个线性森林H,人们无法在亚基尺度的时间内决定一个连接的无H图是否在SETH下具有直径dmax。
计算(0,1)矩阵的永久是一个众所周知的#P-complete问题。 在本文中,我们以图及其子图的决定因素为双部分图形的永久表示,通过连续删除与顶点-脱接4k-循环所涉及的顶点对应的行和列而获得。 我们的公式在任何双份图的永久和决定因素之间建立了一般关系。 由于计算双邻矩阵的永久值相当于计算其完美匹配的数量,因此这种方法还提供了一种更有效的方法来计算某些类型的双体图中的完美匹配。
我们考虑了一个追逐逃避游戏,它描述了在无方向图的节点上熄灭燃烧火灾的过程。 我们表示ffn(G)所需的最小消防员人数,并为ffn(G)=1和ffn(G)=2的图形以及完整的二叉树的几乎锐利的界限提供表征。 我们表明,决定给定 G 和 m 的 ffn(G) ≤ m 是否为 NP-hard。 此外,我们表明最短的策略可以具有超多项式长度,从而打开问题是否在NP中。 基于一些合理的猜想,我们也证明这个决策问题对于具有边界树荫的图形来说既不是NP-hard,也不是恒定m。
在本文中,我们研究(a)同步对基本细胞自动机动力学的影响。 在我们的研究框架内,我们选择了五个不同的更新方案,从定期更新模式的家族中选择:并行、顺序、块顺序、块并行和本地时钟。 我们衡量复杂性的主要尺度是每个规则动力学中极限周期的最大周期。 在这方面,我们介绍了非洲经委会规则格局的分类。 我们将最基本的规则分为三种不同的制度:常数、线性和超多项式。 令人惊讶的是,虽然有些规则在更广泛的更新方案下表现出更复杂的行为,但其他规则在所有考虑的更新方案中表现出类似的行为。 尽管我们能够在大多数情况下在极限周期的最大周期内得出上限和下限,但对一些规则的分析仍然开放。 为了补充88基本规则的研究,我们引入了基于两个主要测量的数值模拟框架:配置的能量和密度。 在这种情况下,我们观察到一些规则根据更新方案表现出显着的可变性,而另一些规则保持稳定,证实了在理论分析中获得的分类所观察到的结果。
d 维度框是笛卡产品 R_i×⋯× R_d,其中每个 R_i 是真实线上的闭合间隔。 图形的盒状性,表示为 box(G),是最小整数d≥0,使得G是d维框集合的交叉图。 与代数结构相关的图形类的研究是一个迷人的领域,图论和代数相遇。 与戒指相关的一类著名的图形是Beck在1988年推出的零分形图形类。 从那时起,这个图类已经被几个研究人员广泛研究。 表示 Z(R) 的一组零除数 R。 环 R 的零分隔图 Γ(R) 被定义为带有顶点集 V(Γ(R))=Z(R) 和 E(Γ(R))={{a_i,a_j}:a_ia_j∈ Z(R) 和 a_ia_j=0 } 的图。 让 N=Π_i=1^ap_i^n_i 成为 N 的主要因子化。 在Discrete Applied Mathematics 365(2025),第2页。 260-269,显示 box(Γ(Z_N))≤Π_i=1^a(n_i+1)-Π_i=1^a(⌊ n_i/2⌋+1)-1。 在本文中,我们确切地确定了Γ(Z_N)的盒装率:我们表明,当N≡ 2 4和N不能用p^3对任何素分形p进行分割时,我们有box(Γ(Z_N))=a-1。 否则 box(Z_N)=a。 假设R是一个非零交换环,其身份也是一个缩小的环,让k是R的最小素数理想的大小。 在同一篇论文中,显示该方框(Γ(R))≤2^k-2。 我们通过在R上显示⌊ k/2⌋≤ box(Γ(R))≤ k来改进此结果。 在本文中,我们还展示了a-1≤_TH(Γ(Z_N))≤a和⌊ k/2⌋≤TH(Γ(R))≤k,其中_TH是与称为阈值维度的图形相关联的另一个尺寸参数。
在Levenshtein距离中一个单词W的d邻域是距离W最多d的所有单词的一组。 生成一个单词W的邻域,或相关的单词集,如凝聚的邻域或超凝聚的邻域,在近似模式匹配算法的设计中有应用。 因此,给定长度的单词邻域的最大大小边界可用于这种近似模式匹配算法的复杂性分析。 在本说明中,我们提出了一个单数单词的压缩和超冷凝社区大小的精确公式,对于给定长度的任意单词的压缩社区的最大大小,我们再次证明了一个给定长度的任意单词的压缩社区的最大大小。
图 G 是多区间 PCG,如果存在一个边缘加权树 T,具有非负实值和非负实实线的不连接间隔,因此 G 的每个节点与 T 的叶子唯一关联,并且 G 中的两个节点之间存在边缘,并且只有当 T 中的相应叶子之间的加权距离位于任何此类区间内时,则 G 中的两个节点之间是否存在边缘。 如果间隔数为 k,则我们称图为 k-interval-PCG;在符号中,G = k-interval-PCG (T, I1, 。 . . Ik )。 众所周知,2-interval-PCG不包含所有图形,并且该类之外的最小已知图形有135个节点。 在这里,我们证明,所有最多8个节点的图形都是2个区间的PCG,因此朝着确定n的最小值迈出一步,这样存在一个不是2间-PCG的n节点图。
整数线性系统是一组具有整数约束的不等式。 整数线性系统的解决方案图是在整数线性系统的可行解决方案集上定义的无方向图。 在这个图中,如果它们之间的Hamming距离是一条,则通过边缘连接一对可行的解决方案。 在本文中,我们考虑了一个条件,在这个条件下,任何右侧向量都连接了解决方案图。 首先,我们证明,如果溶液图连接任何右侧向量,那么系统的系数矩阵不包含一些禁止的模式作为子矩阵。 接下来,我们证明,如果至少(i)的行数最多为3,(ii)列数最多为2,(iii)行数为4,列数为3持,那么系统系数矩阵不包含禁止模式的条件是一个足够的条件,在这个条件下,溶液图连接任何右侧向量。 这个结果比已知的必要和充分的条件更强,因为系数矩阵尺寸的集合严格地大。
在基于位置的社交网络(LBSN)中,用户在附近感知城市兴趣点(PoI)信息,并在在线社交网络中与朋友分享此类信息。 鉴于用户有限的社交联系和向所有人传播新鲜PoI的严重滞后,主要的LBSN旨在通过从m用户中选择k作为热点并向整个用户社区广播他们的新PoI信息来增强用户的社交PoI共享。 这激励我们研究一个新的组合优化问题,涉及城市传感网络和在线社交网络之间的相互作用。 我们证明这个问题是NP-hard,也使现有的近似解决方案不可行。 通过分析两个网络之间的相互作用效应,我们成功地将跨两个网络所涉及的PoI共享过程转换为矩阵计算,以得出一个闭合形式目标,以持有理想的属性(例如,子模块化和单调性)。 这一发现使我们能够开发一种多项式时间算法,保证1-m-2/m(k-1/k)^k)近似最佳。 此外,我们允许每个选定的用户移动并感知更多的PoI信息,以共享并提出具有良好性能保证的增强适应算法。 最后,我们的理论结果被我们使用合成和真实世界数据集的模拟发现所证实。
这项工作研究了ReLU神经网络的表现力,重点是它们的深度。 一系列以前的工程表明,⌈log_2(n+1) ⌉ 隐藏层足以计算 R^n 上的所有连续分段线性(CPWL)函数。 Hertrich,Basu,Di Summa和Skutella(NeurIPS'21)推测,这个结果是最佳的,因为R^n上有CPWL函数,就像最大函数一样,需要这个深度。 我们反驳猜想,并表明 ⌈log_3(n-1)⌉+1 隐藏层足以计算 R^n 上的所有 CPWL 函数。 证明的一个关键步骤是具有两个隐藏层的ReLU神经网络可以准确地代表五个输入的最大功能。 更一般地说,我们显示 ⌈log_3(n-2)⌉+1 隐藏层足以计算最大 n≥ 4 个数字。 我们的构造几乎与 Averkov、Hojny 和 Merkert (ICLR'25) 的 ⌈log_3(n)⌉ 下界相匹配,在 ReLU 网络的特殊情况下,权重为小数分数。 这些结构通过将简单的多面体细分为“更容易”的聚表位进行几何解释。
本文讨论了在尺寸为 m × n 的王图中独立集合的枚举,基于引用 <cit.> 给出的张量网络收缩算法。 我们将问题转换为(m+1)×(n+1)矩形内的王平刻,并使用张量网络收缩算法计算m + n ≤ 79的所有情况的结果,并为较大的m,n提供了近似值。 使用相同的算法,我们还列举了具有顶点数限制的独立集合。 根据结果,我们分析了顶点数,使每对(m,n)的枚举最大化。 此外,我们计算相应的加权枚举,其中每个独立集合都根据其顶点的数量(即所有独立集合的顶点总和)进行加权。 较大的 m, n 的近似值也给出。 我们的结果为OEIS序列A089980和A193580增加了数千个新项目。 此外,上述组合问题与物理学中的硬核模型密切相关。 我们根据现有结果估计了一些重要的常数,我们估计熵常数与现有结果之间的相对误差小于10^-9。
给定形式 ax + by = cz 的线性方程 E,其中 a, b, c 是正整数, k 色 R_k(E) 是最小的正整数 n,如果它存在,使得正整数 {1, 2, ..., n} 的每个 k 着色都包含 E 的单色解。 在本文中,我们考虑 k = 3 和线性方程 ax + by = bz 和 ax + ay = bz。 使用SAT求解器,我们计算了一些与这些方程对应的以前未知的Rado数字。 我们证明了对 Rado 数字的新的一般界限,灵感来自 SAT 求解器发现的令人满意的作业。 我们的证明需要广泛的基于案例的分析,这些分析很难用手检查正确性,所以我们通过使用我们开发的新方法自动检查证明的正确性,该方法支持符号定义集的操作 - 例如,表单{f(1),f(2),...,f(a)}的集合的工会或交叉点,其中a是一个符号变量,f是可能依赖于a的函数。 我们所知的计算机代数系统目前对符号集有足够能力的支持,导致我们开发了一个支持符号集的工具,使用Python符号计算库SymPy加上可满足性模块理论解决器Z3。
通过统一交替符号矩阵(ASM)的各种早期扩展,我们引入了前缀边界矩阵(PBM)的概念。 结果表明,这些矩阵的凸壳体形成两个特殊(称为层流)g-多基体的交集。 这意味着(以更一般的形式)Behrend和Knight以及Striker为描述交替符号矩阵的多顶点而给出的线性不等式系统是TDI,证实了Edmonds最近的猜想。 通过依靠多母体方法,我们得出了前缀边界矩阵的存在特征,这些矩阵在其条目上满足上下边界要求。 此外,我们指出,描述PBM(特别是ASM)凸壳体的线性系统的约束矩阵是一个网络矩阵。 这意味着(a)标准网络流技术可用于管理通过g-polymatroids获得的PBM上的算法优化和结构结果,(b)线性系统实际上是box-TDI,(c)PBM的凸壳体具有(一种锐化形式)整数Carathéodory属性,特别是整数分解属性。 后一种特征使得(以扩展形式)可以确认Brualdi和Dahl关于所谓的k-regular交替符号矩阵作为k pattern-sjoint ASM的总和的可分解性的优雅猜想。
辩证进化产生了复杂的系统发育网络,使他们的解释具有挑战性。 一个典型的方法是在这样的网络中提取树木。 自弗朗西斯和钢铁的开创性论文以来,“哪些物理发育网络是只有额外的弧度?” (2015),基于树木的系统发育网络及其支持树(与给定网络具有相同的根和叶的树)已经进行了广泛的研究。 然而,并非所有的系统发育网络都是基于树木的,对于重新调节进化的研究,识别支持网络而不是树木通常更具生物学相关性。 这项研究概括了Hayamizu对根植二叉系统发育网络的结构定理,该定理为支撑树的各种计算问题提供了最佳算法,以扩展支持树的理论框架以支持网络。 这使我们能够获得三个集合中的每个直接产品特征:所有,最小和最小支持网络,对于给定网络。 每个表征都会产生用于计数和生成每种类型的支持网络的最佳算法。 应用程序包括用于查找具有最少重调(即最小层)的支持网络的线性时间算法。 我们还提供精确和指导性的算法,用于寻找具有最低水平的支持网络,既在指数时间运行,但在相当广泛的重调数字中实用。
图中的源定位涉及通过利用结构图属性来识别现象或事件的起源,例如流行病爆发或错误信息源。 在这种情况下,一个关键的概念是度量维度,它量化了根据距离唯一识别所有顶点所需的战略位置传感器的最小数量。 虽然强大,但传统的公制尺寸要求每个顶点都必须被唯一识别,通常需要大量传感器。 在这项工作中,我们放松了度量维度,并允许在小于k的图形距离上共享与传感器相同的距离剖面。 这种放松减少了所需的传感器数量,同时保持了足够的分辨率,用于实际应用,如源定位和网络监控。 我们提供两个主要的理论贡献:分析确定性树中的k-放松度量维度,揭示结构属性和传感器放置之间的相互作用,以及分支过程产生的随机树的扩展,提供对随机设置的见解。 我们还在各种图形类型中进行数值实验,包括随机树、随机几何图形和真实世界网络。 结果表明,宽松的公制尺寸比传统公制尺寸要小得多。 此外,与任何给定目标顶点无法区分的顶点数量始终保持小。 最后,我们提出并评估一个两步的本地化战略,平衡分辨率和所需传感器数量之间的权衡。 该策略确定了最佳放松水平,可最大限度地减少两个步骤的传感器总数,为源定位提供实用和高效的方法。