Computing moment polytopes – with a focus on tensors, entanglement and matrix multiplication
Maxim van den Berg, Matthias Christandl, Vladimir Lysikov, Harold Nieuwboer, Michael Walter, Jeroen Zuiddam
张力是数学、计算机科学和物理学的基础。 他们通过代数几何和表示理论的研究在代数复杂性理论和量子信息的背景下被证明是非常有成效的。 特别是,人们理解了多面体发挥关键作用。 在量子信息中,瞬间多顶点(也称为纠缠聚物)为单粒子量子边缘问题提供了一个框架,并提供了纠缠的几何表征。 在代数复杂性中,它们支撑着捕获渐近张量关系的量子功能。 最近,瞬间聚体也成为计算机科学和优化中扩展算法新兴领域的基础。 尽管它们从多个角度具有根本作用和兴趣,但这些多面体仍然未知,特别是对于C^2⊗C^2⊗C^2和C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2的张量。 我们给出了一种新的算法,用于计算张量(实际上是用于一般还原代数组的瞬时聚位)的计算,该算法基于Franz(J.)的数学描述。 谎言理论2002年)。 该算法使我们能够计算比先前方法大一个数量级大小的时钳的瞬间多顶,使我们能够首次在C^3⊗C^3⊗C^3中确定所有时刻的时位器多顶,并且C^4⊗C^4⊗C^4中的高概率计算(包括2×2矩阵乘法张量)。 我们讨论这些明确的瞬间多面如何导致几个新的理论方向和结果。
Tensors are fundamental in mathematics, computer science, and physics. Their study through algebraic geometry and representation theory has proved very fruitful in the context of algebraic complexity theory and quantum information. In particular, moment polytopes have been understood to play a key role. In quantum information, moment polytopes (also known as entanglement polytopes) provide a framework for the single-particle quantum marginal problem and offer a geometric characterization of enta...
