数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
编码理论中最古老的问题之一是将Gilbert-Varshamov与显式二进制代码绑定。 在更大但仍然是恒定大小的领域,代数几何代码已知可以击败GV绑定。 在这项工作中,我们利用这种现象,获取 AG 代码的痕迹。 我们的希望是,AG代码超过GV绑定的余量将承受从恒定的字段扩展到二进制字段的跟踪所产生的参数损失。 与通常的字母减少方法concatenation相反,我们对AG(TAG)代码的跟踪分析使用AG代码的代数结构 - 包括在字母减少步骤中。 我们的主要技术贡献是一个适合分析TAG代码的Hasse-Weil型定理。 经典定理(及其Grothendieck微量公式扩展)在这种设置中是不充分的。 虽然我们没有得到改进的构造,但我们表明,不断强化我们的界限就足够了。 我们还分析了TAG代码在我们约束下的局限性,并证明在高距离制度中,它们不如代码连接。 我们的 Hasse-Weil 型定理比分析 TAG 代码所需的要广泛得多。 特别是,我们对指数金额得出新的估计。
考虑一个投射的品种X ⊂P^n(在一个代数封闭的特征零领域),以及一个(减少的)简单的正常交叉分体E⊂P^n,其中X和E的度在最多d。 我们显示有一对(n',d'),可以用(n,d)来显式计算,这样(X,E)具有奇点(X',E')的日志分辨率,其中(X',E')可以嵌入P^n',X'和E'在P^n'中最多d'。
线性码等价(LCE)问题被证明等价于点集等价(PSE)问题，即检查有限域上射影空间中两个点集是否仅相差一个线性坐标变换的问题。对于这样的点集𝕏，令R为其齐次坐标环，𝔍_𝕏为其典范理想。那么LCE问题被证明等价于其倍化R/𝔍_𝕏的一个代数同构问题。由于这个倍化是一个Artinian Gorenstein代数，我们可以使用其Macaulay逆系统将LCE问题约化为齐次多项式的多项式同构(PI)问题。在关于码的一些温和假设下，最后一步是多项式时间的。此外，对于不可分解的等偶码，我们可以通过注意到相应的点集是自关联且算术Gorenstein的，从而将LCE搜索问题约化为3次的多项式同构搜索问题，这样我们就可以使用坐标环的Artinian约化的同构问题并构造它们的Macaulay逆系统。
本文研究数论中一个基本问题的计算复杂度：有限域上曲线和曲面的点计数。目前尚无已知的亚指数时间算法，且不清楚该问题是否为NP难。对于给定曲线，我们提出了第一个高效的Arthur-Merlin协议来验证其点计数、雅可比群结构及其Hasse-Weil zeta函数。我们将此结果推广到光滑射影曲面，通过使用计数预言机来验证zeta函数中对应于第一贝蒂数的因子P_1(T)。我们给出了第一个计算P_1(T)的算法：当输入曲面的度D固定时，该算法在poly(log q)时间内运行；在一般情况下，在量子poly(Dlog q)时间内运行。我们在曲线情形下的技术是使用Weil和Riemann-Roch边界采样哈希函数，以验证其雅可比群的阶数。对于高维簇，我们首先约化到曲面的情形，该曲面可纤维化为ℙ^1上超平面截面的Lefschetz铅笔。消失循环的形式体系及其固有的大单值群，使我们能够利用硬Lefschetz定理和Katz的等分布结果证明Deligne的"最大公因式定理"的有效版本。这些将我们的研究约化到计算定义在有限域扩张𝔽_Q/𝔽_q（具有多项式有界次数）上曲线的zeta函数。该理论的显式化给出了计算复杂度的第一个非平凡上界。
本文对狄隆于2006年提出的特征2有限域上的一类六项式函数进行了系统分析，这些函数是几乎完美非线性(APN)函数的潜在候选者。我们的分析比通过部分APN概念在(Budaghyan等人，DCC 2020)中所做的分析推进了很多。这些函数定义在𝔽_q^2上，其中q=2^n，具有形式F(x) = x(Ax^2 + Bx^q + Cx^2q) + x^2(Dx^q + Ex^2q) + x^3q。利用代数数论和有限域上代数簇的方法，我们建立了系数A、B、C、D、E必须满足的必要条件，以使相应函数成为APN函数。我们的主要贡献是一个全面的逐案例分析，基于系数中某些关键多项式的消失模式，系统地排除了狄隆六项式中的大类函数成为APN函数的可能性。通过数论、代数几何技术和计算验证的结合，我们识别了特定的代数障碍——包括相关簇中绝对不可约分量的存在以及多项式分解中的次数不兼容性——这些障碍阻止了这些函数达到最优差分均匀性。我们的结果显著缩小了该家族中新APN函数的搜索空间，并提供了一个适用于其他潜在APN函数类的理论路线图。我们通过大量计算来补充我们的理论工作。通过对𝔽_2^2和𝔽_2^4的穷举搜索，以及在𝔽_2^6和𝔽_2^8上的随机抽样，我们识别了数千个APN六项式，其中许多与已知的Budaghyan-Carlet家族(Budaghyan-Carlet，IEEE Trans. Inf. Th., 2008)不是CCZ等价的。
我们使用几何不变理论(GIT)来研究深度线性网络(DLN)。 Kempf-Ness定理用于确定L^2正则化器在平衡流形上最小化。 这使我们能够将训练动力学分解为两种不同的梯度流:纤维上的正则化流动和平衡流上的学习流。 我们表明,使用时刻图可以完全解决正则的流。 这种方法为深度学习和线性系统理论的平衡性提供了一个共同的数学框架。 我们使用这个框架来解释模型减少和贝叶斯原则方面的平衡性。
介绍了阿基米德二次模块中严格正多项式的计算证书的新结果。 结果建立在(i)Averkov生成严格正多项式的方法的基础上,其中会员证书可以比正在申请证书的输入多项式更容易计算,以及(ii)Lasserre通过连续近似一个非负多项式乘法的平方数来生成证书的方法。 首先,通过提供有关参数的详细信息,给出了基于Averkov结果的完全建设性方法;进一步说,他的结果扩展到任意子集的工作,特别是整个欧几里得空间 R^n, 产生全球严格的正多项式。 其次,Lasserre的方法与扩展的Averkov结构集成以生成证书。 第三,方法已经实施,其有效性得到说明。 给出了现有软件包RealCertify似乎挣扎的例子,而建议的方法成功地生成证书。 确定了几种情况,其中阿基米德多项式不必明确包含在阿基米德二次模块的一组生成器中。 与解决计算证书问题的其他方法不同,所提出的方法/方法更容易理解和实现。
多个数组的 Hadamard-Hitchcock 分解是一个分解,表示后者为几个张量级分解的 Hadamard 产品。 这种分解可以编码概率分布,这些分布来自统计图形模型,这些模型与完成双体图形相关,具有一层观察到的随机变量和一层隐藏的变量,通常称为受限玻尔兹曼机器。 我们通过利用重塑的Kruskal标准进行张量等级分解,建立了Hadamard-Hitchcock分解的通用可识别性。 一种利用现有分解算法进行张量等级分解的灵活算法,用于计算哈达马德-希区柯克分解。 数字实验说明了其计算性能和数值精度。
边界基地是通用的Gröbner基地多项式环。 在这篇文章中,我们介绍了线性差分运算体的非交换环的边界基,即合理的Weyl代数。 我们详细阐述了它们的属性,并提出了与他们一起计算的算法。 我们应用这个理论明确地表示可集成的连接为循环 D 模块。 作为一个应用,我们访问微分方程背后的字符串,一个费曼以及宇宙学积分。 我们还解决了固定全息等级的特定D-ideals的分类,即具有恒定系数的线性PDE以及Frobenius理想的情况。 我们的方法基于希尔伯特在亲和空间中的点方案理论。
令 𝔽_q 为有限域，F ∈ 𝔽_q[X] 为次数 d = deg(F) 的多项式，且满足 (d, q) = 1。本文证明了当 c ≠ 0 时，F 的 c-Boomerang 均匀性具有以下上界：当 c² ≠ 1 时不超过 d²，当 c = -1 时不超过 d·(d-1)，当 c = 1 时不超过 d·(d-2)。对于所有 c 的情况，我们给出了 F ∈ 𝔽_q[X] 的紧示例。此外，在证明 c = 1 的情况时，我们建立了以下结论：对于特征为 p 的域 k 和 a ∈ k∖{0}，二元多项式 F(x) - F(y) + a ∈ k[x,y] 在 p ∤ deg(F) 时是绝对不可约的。
在本文中,我们提出了一种数值方法,用于严格地查找线性微分方程的单数。 从由串流明确给出某些特定解决方案的基础点开始,我们首先使用区间算术计算基本解决方案系统的价值,以严格控制截断和四舍五入错误。 然后,通过严格的集成器,沿着规定的轮廓分析继续解法,包围微分方程的奇异点。 从这些计算中,导出单体矩阵,生成微分方程的单体组。 这种方法建立了一个数学上严格的框架来解决微分方程中的单数问题。 对于一个值得注意的例子,我们应用我们的计算机辅助证明方法来解决与K3 toric hypersurfaces家族相关的Picard-Fuchs微分方程的单数问题。
在这个扩展的抽象中,我们处理了数值/二酚近似和符号/代数几何方法之间的关系,以解决多变量二苯丁二烯多项式系统,获得了从二酚素近似到有效数论的几个连续体。
介绍了三类多项式系统的数字同源延续方法。 对于类的通用实例,每个路径都会导致解决方案,而同源是最优的。 根部的计数反映了用于启动变形的通用系统的分辨率。 软件和应用讨论。
我们介绍了一种通用方法,用于构建对枚举几何学中的一些问题的实际解决方案,该方法提供了最大数量的实际解决方案的下限。 我们应用这种方法来表明,国旗歧管上的两个新的枚举几何问题可能所有的解决方案都是真实的,并修改这种方法,以表明另一个类可能没有真正的解决方案,这是一个新现象。 该方法起源于一种适应Grassmannians上特殊舒伯特演算的数值同源延续算法,原则上提供了最佳的数值同源算法,用于寻找这些其他枚举问题的明确解决方案。
我们提出了一种计算空间L(G)基数的算法,前提是G是非单数绝对不可简化的代数曲线的理性除数器,以及另一种计算P下的Weierstrass半组的算法以及该半组中每个值的函数,前提是P是曲线的单平面模型的理性分支。 该方法基于Brill-Noether算法,以合适的方式结合了Hamburger-Noether扩展理论和虚拟传递条件。 这种算法是通过引入符号汉堡-诺特表达式的概念来给出的。 一切都可以应用于代数几何代码的有效构建以及此类代码的解码问题,包括一点代码的冯和饶方案。
我们给出了一个新的算法,使用线性近似和晶格减小,以有效地计算给定平面曲线C附近的小高度的所有合理点。 例如,当 C 是 Fermat 立方时,我们找到具有 0<x<=y<z<N 时位值 0<x<=y<z<N 的所有整数解决方案,其中 L(X):= (log X)^O(1)] 提供 M>>N,仅使用 O(log N) 空间。 由于解决方案的数量应与M log N(只要M<N^3)成正比,计算成本基本上尽可能低。 此外,该算法易于并行化。 它不仅产生了新的数字例子,而且导致了理论结果,困难的开放问题,以及自然概括。 我们还调整我们的算法来研究霍尔的猜想:我们发现所有具有 x<<X 时间的 0<|x^3-y^2|<<x^(1/2) 的整数解决方案,以及时间 O(X^(1/2) L(X))。 通过用 X=10^18 实现这个算法,我们打破了 x^(1/2)/|x^3-y^2| 的先前记录。 O(X^1/2 L(X) 绑定是严格的;它的证明也产生了任何正理性 c 的 sqrt(cx^3) 分布 mod 1 的新估计。
让 F:=(f_1,...,f_n) 成为一个具有固定 n 元支持的随机多项式系统。 我们的主要结果是在一个区域 U 中 f 的条件数大于 1/epsilon 的概率的上限。 边界取决于托里克歧体上一个微分形式的组成部分,当牛顿多顶(和底层协方差)都相同时,它承认一个简单的显式上界。 我们还考虑具有实系数的多项式,并为实际根数和(受限)条件数的预期数量给出界限。 使用Kahler几何框架,我们还表示区域U内f的预计根数为某种混合体积形式的U的积分,从而在U = (C^*)^n时恢复经典混合体积。
解决多项式系统的同源方法非常适合并行计算,因为由同源体定义的求解路径可以独立跟踪。 静态和动态负载平衡模型在C中实现与MPI,使用gcc调整用Ada编写的PHCpack,并在学术基准和机械应用上进行测试。 我们研究了Pieri同人体的并行化,以计算所有反馈定律来控制线性系统。 为了分配工作负载,我们将poset映射到树上。 随着Pieri同人的尺寸逐渐从树根到叶子逐渐增长,我们发现Pieri同人体非常适合并行计算。
最近,我们开发了一种对角线同源方法,以计算两个不可还原代数集合中所有正维组件的数值表示。 在本文中,我们将这个对角线同源在内在坐标中重写,这减少了变量的数量,通常为一半。 这有可能节省大量的计算,特别是在同源路径跟踪器的迭代求解部分。 数值实验都显示大约二因子的加速。
我们研究一类超确定的代数方程系统。 我们证明,如果并且只有当某些矩阵是通勤和半简单的情况下,不同解决方案的数量等于最大可能。 这给出了多变量拉格朗日插值的正确点系统的表征。
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