数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
我们证明了詹尼希在不完全设置中张量分解的独一性定理。 我们的独特性定理基于标准张量分解的替代定义,我们称之为矩阵向量分解。 此外,在我们的唯一性定理适用的相同设置中,我们还设计和分析一种高效的随机算法来计算唯一的最小矩阵-矢量分解(从而计算最小等级的张量排名分解)。 作为我们的唯一性定理和高效算法的应用,我们展示了如何计算矩阵的某些通用向量空间中最小等级(高达标量倍数)的所有矩阵。
根植树对于通过所谓的B系列描述数值方案至关重要。 它们也被广泛用于粗糙分析,用于扩展单数随机部分差分方程(SPDE)的解决方案。 当人们考虑标量值方程时,最有效的组合集是多指标。 在本文中,我们研究了中间组合集的存在,这些组合集将位于多颌骨和根树之间。 我们提供了一个负面结果,说明没有组合集编码维度d≠1中的基本差分,并且与根树以外的根树和多镁相兼容。 这并没有结束关于这种组合集存在的争论,但它表明它不能通过天真和自然的方法获得。
Littlewood-Richardson,Kronecker和plethysm coefficients是代表性理论和代数组合学中兴趣的基本多样性。 确定Kronecker和plethysm系数的组合解释是一个主要开放问题,并促使考虑其计算复杂性。 最近,它们表明在量子计算方面表现相对较好,对于一些大家庭来说,有多项式时间量子算法[Larocca,Havlicek,arXiv:2407.17649](也[BCGHZ,arXiv:2302.11454])。 在本文中,我们表明,对于其中许多情况,Kronecker和plethysm系数也可以通过经典算法在多项式时间计算,从而驳斥了[LH24]中的一些猜想。 这极大地限制了实现所需的超多项式量子加速的情况。
计算同源或同理学本质上是一个高度组合复杂性的问题。 最近,我们提出了一种新的高效算法,用于计算Lie代数和超代数的同源。 该算法基于将整个共链复合物分割成最小的子复合物。 该算法被实现为C程序LieCohomology。 在本文中,我们介绍了将程序LieCohomology应用于汉密尔顿矢量场H(2|0)代数的结果。 我们证明,与直接的方法相比,新方法的效率要高得多。 特别是,我们的计算揭示了代数H(2|0)的一些新的同源类(以及Poisson代数Po(2|0))。
我们简要回顾了以前关于3 x 3 x 3数组不变理论的工作。 然后,我们回忆如何生成具有 hyperdeterminant 0 的任意大小 m_1 x... x m_k 的数组。 我们的主要结果是3 x 3 x 3超定型的显式公式,作为6,9和12度的基本不变性中的多项式,用于Lie组SL(3,C)x SL(3,C) x SL(3,C)的作用。 我们将计算应用于 Nurmev 对 3 x 3 x 3 数组的正常表单的分类。
将对称性纳入微分方程的数值解一直是过去40年研究的支柱,然而,一个方面不太为人所知和利用不足:用对称动作(如旋转,反射或排列)通勤的偏微分方程的离散可以通过将知识从表示理论中合并到可以并行解决的独立系统中。 我们通过速成表示理论的速成课程来介绍这个美丽的主题,重点是对称方体和立方体对称组的实践示例,以及它在构建所谓的对称适应基数中的利用。 舒尔的Lemma,这在应用数学中并不为人所知,在证明由此产生的离散性方面起着强大的作用,从而表明偏微分方程确实脱钩。 使用薛定谔方程作为激励的例子,我们证明对称适应的基础导致独立线性系统的数量显著增加。 与直觉相反,这种方法的有效性实际上对于对称性较少的偏微分方程更有效,例如薛定谔方程,其中电位仅在排列下不均匀,但在旋转或反射下则不不变。 我们还探讨了这种现象,因为偏微分方程的维度变得很大,暗示了高维度显著节省的潜力。
当一个群体在一个布景上行动时,它自然地将其分割成轨道,从而产生轨道问题。 这些是自然的算法问题,因为对称性在物理学,数学,计算机科学,优化等众多问题和结构中都是核心。 因此,了解其计算复杂性是高度感兴趣的。 最近,Bürgisser等人给出了第一个关于轨道问题的多项式时间算法,即欧几里得空间上的交换连续组的行动。 在这项工作中,在理论和实际应用的激励下,我们研究了这些轨道问题的稳健泛化的计算复杂性,这相当于将C^n的轨道距离近似到一个因素 γ>1。 特别是,这允许决定两个输入是否大约在同一轨道上或远非如此。 一方面,我们通过减少离它最近的向量问题,证明 γ = n^Ω(1/loglog n) 此问题的 NP 硬度。 另一方面,我们描述了为近似因子 γ = exp(poly(n))解决这个问题的算法。 我们的算法结合了不变理论和算法格子理论的工具,它们也提供了见证给定轨道接近的群元素(与先前工作的代数算法相反)。 我们证明,只有当著名的数字理论abc猜想的版本成立时,它们才会在多项式时间运行 - 在计算复杂性和数论之间建立一种新的令人惊讶的联系。
张力是数学、计算机科学和物理学的基础。 他们通过代数几何和表示理论的研究在代数复杂性理论和量子信息的背景下被证明是非常有成效的。 特别是,人们理解了多面体发挥关键作用。 在量子信息中,瞬间多顶点(也称为纠缠聚物)为单粒子量子边缘问题提供了一个框架,并提供了纠缠的几何表征。 在代数复杂性中,它们支撑着捕获渐近张量关系的量子功能。 最近,瞬间聚体也成为计算机科学和优化中扩展算法新兴领域的基础。 尽管它们从多个角度具有根本作用和兴趣,但这些多面体仍然未知,特别是对于C^2⊗C^2⊗C^2和C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2⊗C^2的张量。 我们给出了一种新的算法,用于计算张量(实际上是用于一般还原代数组的瞬时聚位)的计算,该算法基于Franz(J.)的数学描述。 谎言理论2002年)。 该算法使我们能够计算比先前方法大一个数量级大小的时钳的瞬间多顶,使我们能够首次在C^3⊗C^3⊗C^3中确定所有时刻的时位器多顶,并且C^4⊗C^4⊗C^4中的高概率计算(包括2×2矩阵乘法张量)。 我们讨论这些明确的瞬间多面如何导致几个新的理论方向和结果。
线性分解攻击揭示了在组内操作的加密算法中存在漏洞,或者具有过小表示的单体。 表示间隙,定义为最小的非平凡表示的大小,因此作为评估这些算法安全性的指标。 本文将证明,图解Motzkin单体表现出很大的表示差距,将它们定位为强大的加密算法的有希望的候选者。
我们改进了Solovay-Kitaev定理和算法,用于在qudit上作用的一般有限,反向闭合的生成集。 该算法的先前版本有效地找到一个长度 O(n^3+δ) 的单词,以近似任意的目标门到 n 位的精度。 使用两个新想法,每个想法分别减少指数,我们对单词长度的新绑定是O(n^1.44042...+δ)。 我们的结果更普遍地适用于任何密集生成任何连接的、半简单的实列组的有限集,在非紧凑的情况下有一个额外的长度,以到达远离身份的组元素。
隐式模型(一个新兴的模型类)通过将单个参数块迭代到固定点来计算输出。 这种架构实现了一个无限深度、重量连接的网络,它训练有恒定的内存,与显式模型相比,显著降低了相同性能水平的内存需求。 虽然从经验上知道,这些紧凑的模型通常可以通过分配更多的测试时间计算来匹配甚至超过更大的显式网络,但底层机制仍然知之甚少。 我们通过表达力的非参数分析来研究这个差距。 我们提供严格的数学表征,表明一个简单而常规的隐式运算符可以通过迭代逐步表达更复杂的映射。 我们证明,对于广泛的隐式模型,这个过程允许模型的表达功率尺度与测试时间计算,最终匹配一个更丰富的函数类。 该理论在三个领域进行了验证:图像重建,科学计算和运营研究,证明随着测试时间迭代的增加,学习映射的复杂性上升,而解决方案质量同时提高和稳定。
我们引入了不可简化字符比率的加权总和,作为交换概率的估计值。 当应用于常规表示时,估计器产生Frobenius公式
量子舒尔变换已经成为一种基础量子算法,但即使在培根、庄和哈罗(BCH)2005年的论文发表开创性论文以来的二十年后,这种变换的某些方面仍然知之甚少。 此外,Krovi在2018年提出的替代方法最近被发现包含一个关键的错误。 在本文中,我们介绍了Krovi算法的校正版本以及BCH Schur变换的高维版本的详细处理。 这种高维焦点使得转换的两个版本适用于qudits n小于局部维度d的子制,Krovi的算法缩放为O(n^4),BCH为O(min(n^5,nd^4)。 我们的工作解决了文献中的一个关键空白,加强了在量子信息理论和量子计算中依赖Schur-Weyl二元性的广泛结果的算法基础。
我们得出了一个新的Rademacher复杂性,用于使用Koopman运算符,组表示和复制内核Hilbert空间(RKHS)的深度神经网络。 拟议的绑定描述了为什么具有高重量矩阵的模型很好地推广。 虽然有现有的边界试图描述这种现象,但这些现有的边界可以应用于有限的模型类型。 我们引入了神经网络的代数表示和内核函数来构建RKHS,以便为更广泛的现实模型导出绑定。 这项工作为基于库普曼的理论铺平了道路,因为Rademacher的复杂性边界适用于更实际的情况。
尽管对称性在科学线性系统中普遍存在，但这些结构特性往往未被标准计算软件充分利用。本文介绍了PySymmetry，一个开源的Sage/Python框架，它实现了经典表示论来简化G-等变线性系统。PySymmetry使用投影算子生成对称适应基，将等变算子转换为更高效的块对角形式。其功能包括定义和约化表示、计算多重度以及获取显式块结构。我们通过三个案例研究展示了PySymmetry的多功能性：一个化学应用、一个关于非厄米薛定谔方程的数值基准测试（相比标准方法实现了超过17倍的性能提升），以及一个符号研究，该研究首次实现了天体力学中一个具有挑战性问题的完整解析分类。PySymmetry设计用于与NumPy和SciPy等库无缝集成，为理论和应用背景下的对称性探索提供了一个强大、用户友好的工具。
机器学习探索可以在解决纯数学难题方面取得重大进展。 这种方法的一个优点是数学数据集不会受到噪声的影响,但挑战在于训练这些模型所需的数据量,并且这些数据的计算成本很高。 主要挑战进一步包括难以对统计模型进行后验解释和深入和抽象的数学问题的实现。 我们提出了一种可扩展任务的方法,通过这种方法,在任务的简单版本上训练的模型可以推广到完整的任务。 具体来说,我们证明,一个训练用于预测对称组S_10中一般换位形成的单词排列的变压器神经网络可以以接近100%的精度向对称组S_25进行概括。 我们还表明,如果我们只使用相邻的换位,S_10泛化到具有类似性能的S_16。 我们使用身份增强作为管理可变字长度的关键工具,以及用于相邻换位训练的分区窗口。 最后,我们比较使用的方法的变体,并讨论将该方法扩展到其他任务的潜在挑战。
近年来,机器学习(ML)已成为数学研究的强大工具。 本文将ML技术应用于对颤动的研究 - 一种在代数,组合学,计算机科学和数学物理学中具有显着相关性的定向多图。 具体来说,我们专注于在4个顶点上确定颤动的突变-环路的挑战性问题,这是一个关键属性,因为突变-环路通常是涉及路径代数和聚类代数的定理的必要条件。 虽然这种分类以最多3个顶点的颤动而闻名,但对超过3个顶点的颤动知之甚少。 我们给出了一个定理的计算机辅助证明,以证明突变-环路对于4个边缘重量最多为2的颤动者来说是可决定的。 通过利用神经网络(NN)和支持向量机(SVM),我们然后将更一般的4顶点颤动准确分类为突变-琉球或非突变-谭。 我们的结果表明,ML模型可以有效地检测突变-环路,为这个组合问题提供了一个有前途的计算方法,从中,经过训练的SVM方程为指导未来的理论发展提供了一个起点。
我们表明,有限紧框架的大部分理论可以概括为四分体上的矢量空间。 这包括变化特征,组框以及投影和统一等价的特征。 我们对一组等距线(等离子体子空间)和与之相关的组特别感兴趣,以及如何在空间之间移动它们,以及 。 我们讨论了 Zauner 对等角线的猜想的类似性。
神经PDE求解器的精度通常由于表达性有限而崩溃,而是因为由于调节不良引起的优化不良,特别是在多保真和僵硬的问题中。 我们在物理-输入极端学习机器(PIELMs)中研究这个问题,这是神经PDE求解器的凸变体,并表明调节方程中的渐近成分可以产生高度条件条件化的激活矩阵,严重限制了收敛。 我们引入了Shifted Gaussian Encoding,这是一个简单而有效的激活过滤步骤,可增加矩阵等级和表达性,同时保持凸度。 我们的方法将稳定adection-diffusion方程中Peclet数字的可解范围扩展了两个数量级以上,在多频函数学习上实现了高达6个数的错误,并且比具有超过一百万个参数的深层网络更准确,更快地适合高保真图像向量。 这项工作突出表明,条件反射,而不是深度,往往是科学神经解决器的瓶颈,简单的架构变化可以释放实质性的收益。
我们研究中央配置时,一组位置是对称的。 我们使用有限群表示理论的定理来探索中心配置方程的对称性特性。 这种方法通过考虑任意数量的体,对称组和维度来简化中央配置方程。 我们讨论了如何使用这个定理来获得比以前给出的更精细的方程分解。 这里介绍的分解使用对称适应的基础方法。 作为应用程序,我们完整地描述了存在以及两个嵌套的常规四面体,两个嵌套的常规八面体和两个嵌套的常规立方体的中央配置。 为此,我们采用了一些多变量多项式零的理性参数化和隔离方法。 获得的分解允许使用符号计算来研究表达式。 通过这种方式,我们总结了以前的讨论,并通过完成对立方体案例的分析来扩展它们,无论是逆问题还是直接问题。
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