数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
在这篇关于圆形弧形和弧形拼接的的后续文章中,从纯粹的几何角度考察了弧形几何。 两个给定的点及其在平面中相关的切向向量足以定义两个定向,连续的圆形弧。 然而,仍然有一个程度的自由来确定两个弧线的连接点。 文献中对此有各种方法。 一本小说在这里介绍。
我们介绍了一种在三个空间中采样紧密受限的随机等边封闭多边形的算法,该多边形在边缘数中具有运行时线性。 使用共称几何,采样这样的多边形减少到采样一个瞬间多顶,在我们的约束模型中,从组合的角度来看,这种多顶是非常自然的。 这种与组合学的联系产生了我们的快速采样算法和关于顶点到起源的预期距离的显式公式。 我们使用我们的算法来研究密闭多边形的预期总曲率,导致对总曲率的渐近进行了非常精确的猜想。
本文针对有限维李群G上具有G不变性的拉格朗日量L:TG→ℝ的系统，发展了Euler-Poincaré和Lie-Poisson约化理论的离散类比。这些离散方程提供了明显保持辛结构的"约化"数值算法。使用流形G×G作为TG的近似，并以保持G不变性的方式构造离散拉格朗日量𝕃:G×G→ℝ。通过G进行约化，得到了约化拉格朗日量ℓ:G→ℝ的新"变分"原理，并给出了离散Euler-Poincaré（DEP）方程。这些方程的重构恢复了<引用>中发展的离散Euler-Lagrange方程，这些方程自然是辛动量算法。此外，DEP算法的解直接导出了离散Lie-Poisson（DLP）算法。研究表明，当G=SO(n)时，对于特定选择的离散拉格朗日量𝕃，DEP和DLP算法等价于广义刚体的Moser-Veselov方案。
对于由（约化）拉格朗日量ℓ确定的李群G上的离散力学系统，我们通过相应勒让德变换将李代数对偶𝔤^*上的李-泊松结构拉回，定义了一个泊松结构。本文证明的主要结果是，该结构与在G × G上规范离散拉格朗日2-形式ω_𝕃在对称群G下的约化相一致。其辛叶随后成为约化离散系统的动态不变流形。我们还建立了我们的方法与群胚和代数胚方法以及约化哈密顿-雅可比方程之间的联系。文中以刚体为例进行了讨论。
本文介绍了对连续和离散力学和场理论的几何变化方法。 使用多对称几何,我们表明基本几何结构的存在以及它们沿解决方案的保存可以直接从变化原理获得。 特别是,我们证明一个独特的多共体结构是通过取一个动作函数的导数获得的,并使用这种结构来证明共性守恒和诺特定理的协变概括。 具有这些重要保存特性的PDE的天然离散化方案,然后选择离散作用功能。 在力学的情况下,我们恢复Veselov类型的变异共体集成体,而对于PDE,我们获得协变时空集成器,这些集成器可以保存相应的离散多对称形式以及对应对称的离散动量映射。 我们表明,通常沿着无限维空间的共性概念可以通过进行时空分割来自然获得。 我们方法的所有方面都用非线性正弦-戈登方程进行演示,包括计算结果和与其他离散化方案的比较。
1991年,摩尔[20]提出了一个关于流体力学是否有能力执行计算的问题。 同样,在2016年,陶[25]询问机械系统,包括流体流动,是否可以模拟通用图灵机。 在这篇说明性文章中,我们回顾了第3号尺寸中“流体计算机”的构造,该构造结合了符号动力学中的技术与Etnyre和Ghrist揭示的稳定欧拉流动和接触几何之间的联系。 此外,我们认为渲染矢量场Beltrami的度量在Chern-Hamilton意义上不能至关重要[9]。 我们还在 [7] 中为 R^3 中的欧几里得度量绘制了完全不同的构造。 这些结果揭示了不可判定的流体粒子路径的存在。 我们以公开问题列表结束文章。
本文深入探讨了量子语境的概念,特别侧重于通过将Pauli可观测值分配给满足给定的换向关系的超图顶点获得的Kocheen-Specker定理的证明。 由这个超图和反交换图组成的抽象结构被命名为超克。 它的标签与保利可观测物概括了众所周知的魔法集。 第一个结果是,给定高克的所有这些正确的量子标签本质上具有相同的上下文性。 然后,我们为这种量子标签的存在提供了一个必要和充分的条件,并找到了其中的一个有效算法。 我们最终在每个可分配的超图上附加了一个抽象的上下文度概念。 通过从图形和矩阵的角度呈现基于可观察的Kocheen-Specker证明的研究,这种抽象为寻找原始上下文配置的新方法开辟了道路。
在这篇文章中,圆形弧形被认为是单独和分段圆曲线的元素。 端点参数化在这里被证明是非常有利的。 共曲几何的视角为圆形弧线提供了新的矢量关系。 曲线被认为是其相邻的圆形元素各有一个共同的终点,或者,此外,一个共同的切线。 这些电弧线被证明是一个单参数曲线家族,因此可以根据各种标准优化此参数。
我们开发了一种在Jacobi流形中为Hamiltonian系统构建结构保护集成器的方法。 哈密尔顿力学植根于共音和Poisson几何学,长期以来一直为经典物理学中保守系统建模奠定了基础。 Jacobi流形,概括接触和Poisson流形,扩展了该理论,适合纳入时间依赖,耗散和热力学现象。 在几何集成商的最新进展的基础上 - 特别是Poisson Hamiltonian Integrators(PHI),它保留了Poisson系统的关键特征 - 我们建议建造Jacobi Hamiltonian集成商。 我们的方法探讨了Jacobi和同质Poisson流形之间的对应关系,目的是扩展PHI技术,同时确保保护同质性结构。 这项工作开发了这种概括所需的理论工具,并概述了与Jacobi动力学兼容的数值集成技术。 通过关注同质的Poisson视角,而不是直接接触实现,我们为Jacobi框架内的时间依赖和耗散系统的结构保护集成提供了明确的途径。
我们开发共称的消除算法。 这种使用简单行操作的算法将共词矩阵还原为对角矩阵。 该算法导致任意矩阵分解为共性矩阵和缩小矩阵的产物。 这种分解类似于长期研究的SR分解,类似于QR分解。
物理学的基本定律本质上是几何的,通过对称和守恒的原理来决定系统的演变。 虽然现代机器学习为从数据中建模复杂动力学提供了强大的工具,但常见的方法通常忽略了这种底层几何结构。 例如,物理信息神经网络可能违反基本的物理原理,导致长期不稳定的预测,特别是对于高维和混沌系统。 在这里,我们介绍了几何汉密尔顿神经网络(GeoHNN),这是一个通过明确编码物理定律固有的几何前序来学习动力学的框架。 我们的方法强制执行两个基本结构:惰性的黎曼几何,通过参数化惯性矩阵在其对称正-定矩阵的自然数学空间中的惯性矩阵,以及相位空间的共性几何,使用受约束的自动机来确保在减少的潜在空间中保存相位空间体积。 我们通过从耦合振荡器到高维可变形物体的系统实验证明,GeoHNN明显优于现有模型。 它实现了卓越的长期稳定性,准确性和能量守恒,证实嵌入物理学的几何学不仅仅是一个理论吸引力,而是创建物理世界强大和可推广的模型的实际必要性。
变形金刚在处理顺序数据时表现出色。 将变压器模型对几何域(如歧头)进行通用化,我们遇到了没有定义明确的全球秩序的问题。 我们提出了一个解决方案,注意头部跟随空间填充曲线。 作为第一个实验示例,我们介绍了Spiroformer,这是一种在2个球体上跟随极螺旋的变压器。
本文在特定黎曼3-流形上构造了纳维-斯托克斯方程的稳态解，这些解展现出图灵完备性，即能够执行通用计算。这种普适性出现在允许非零调和1-形式的流形上，从而表明只要底层几何满足温和的上同调条件，计算普适性不会受到粘性的阻碍。证明利用了非零调和1-形式与余辛几何之间的对应关系，这一关系扩展了接触流形上Beltrami场与Reeb流之间的经典对应。
我们展示了一个新的在辛群胚框架下的预李代数，并由此引入了用于近似任何辛群胚 𝒢⇉ M 上的 Hamilton-Jacobi 解的 Butcher 树的预李形式。这种新的代数方法的意义是双重的。在几何方面，它产生了用于使用 Butcher-Connes-Kreimer Hopf 代数近似 𝒢 的拉格朗日截面的代数运算，并旨在更好地理解 M 的哈密顿微分同胚群。在计算方面，我们定义了一类用于泊松流形上哈密顿动力学的新的泊松积分器。
本文讨论了对称性对于具有非弹性碰撞的自主和非自主强制机械系统的减少。 特别是,我们介绍了广义混合动量图和运动的混合常数的概念,以给出是否可以对受非保守外部力和非弹性冲击的哈密尔顿和拉格朗日系统进行对称还原的一般条件,以及将其扩展到受时间依赖性外力和时间依赖性非弹性碰撞的依赖于时间的机械系统。 我们用示例和数值模拟来说明该方法的适用性。
在 Helmholtz' 方程在 R^1+d 中给出的标量光模型中,我们考虑通过任意的亲和变换(可以将其视为向倾斜的超平面传播)中初始场景(全息图)的变换。 在高频方案中,我们使用微局部和半经典分析来描述传播器是半经典的傅里叶积分运算符,从而从光学中概括了众所周知的Angular Spectrum公式。 然后我们证明新的精确的Egorov定理,包括子原理术语,这表明如何考虑沿几何光学射线的传播。
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