数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
我们考虑一维区间中非线性抛物方程的初始边界值问题。 这个问题是由多孔介质中水分传输的数学模型驱动的。 我们通过使用双方程方法建立解决问题的弱解决方案的独特性。 此外,我们证明了使用有限体积方法构建的近似解决方案的收敛。
基里加米是大型机械超材料类别的一部分,具有异国情调的特性。 本文重点介绍rhombi-slits,这是一种特定类型的kirigami。 非线性动力学模型以前被提议为二阶发散形式PDE,具有可能退化和符号变化的系数矩阵。 我们首先建议通过使用限制吸收原理来研究该方程正则化的解决方案的存在。 然后,我们提出了一个具有复杂多项式限的有限元方法,以近似非线性方程的解。 最后,将模拟与实验结果进行比较。
签名内核是最近用于分析高维顺序数据的最新工具,因其理论保证和强大的经验性能而受到重视。 在本文中,我们提出了一种新的方法,通过自适应截断的递归局部功率序列扩展,有效地计算长、高维时间序列的签名内核。 基于将签名内核定性为Goursat PDE的解决方案,我们的方法采用tilewise Neumann系列扩展,通过利用时间序列的几何形状,得出在子域上本地定义的签名内核的快速融合功率序列近似,并在Goursat解决方案的整个域中迭代传播。 从算法上讲,这涉及通过自适应截断的局部功率序列扩展和沿着拓扑顺序中定向图的边界条件的递归传播来解决一个相互依赖的Goursat PDE系统。 该方法在计算成本和准确性之间取得了有效的平衡,比计算签名内核的最先进的方法实现了实质性的性能改进。 它提供了(a) 可调节和卓越的精度,即使对于具有非常高粗糙度的时间序列;(b) 大大降低内存需求;(c) 可扩展性,以有效地处理单个GPU上非常长的时间序列(一百万个数据点或更多)。 正如我们的基准测试所证明的那样,这些优势使我们的方法特别适合粗糙路径辅助的机器学习,财务建模和涉及非常长且高度不稳定的顺序数据的信号处理应用。
我们考虑一个初始边界值问题,其动机是多孔介质中水分输送的数学模型。 我们建立了强大的解决方案的存在,并为有限量方法构建的近似解决方案提供了错误估计。 在误差估计值的证明中,Gagliardo-Nirenberg类型不等式对于连续函数和分段常数函数之间的差异起着重要作用。
在这项工作中,我们研究了一个具有更新边界条件和耦合基板方程的年龄结构的切度模型。 该模型是非线性的,由双曲偏微分方程和普通微分方程组成,其中非线性,非局部项出现在普通微分方程和边界条件中。 两个微分方程都包含一个非负控制输入,而模型的状态要求为正。 在适当的弱解决方案框架下,我们确定该模型的状态空间和输入空间。 我们为所有可接受的初始条件和所有允许的控制输入证明了全球存在和解决方案的独特性。 为此,我们采用了巴拿赫的定点定理与隐式求解公式和有用的求值估计的组合。 最后,我们表明,年龄结构的切度模型在度量空间上给出了一个定义良好的控制系统。
在这项工作中,我们提出了通过正常形式对基于共振的方案进行系统推导。 主要的想法是使用装饰树木上的植树图以及来自非线性相互作用的傍妃运算符的屠夫-康内斯-克列默型共产物和低主导部分分解。 这种低规律性的新家族计划对其系数及其局部误差有明确的公式。 在一个温和的假设下,人们可能会期望这些计划具有与arXiv:2005.01649中提议的低规律性方案类似的局部错误。
本调查描述了一类被称为“快速直接求解器”的方法。 这些算法解决了解决由椭圆PDE或相关积分方程离散化产生的线性方程系统的问题。 Ax=b 当PDE直接离散时,矩阵A将是稀疏的,当使用积分方程公式时会密集。 无论哪种情况,大型问题的行业实践几十年来一直是使用迭代求解器,如多网格,GMRES或共轭梯度。 相反,直接求解器构建对A的反向的近似,或者,一个易于倒置的因子化(例如。 LU 或 Cholesky )。 在过去的几十年中,数值分析的一个主要发展是用于构建此类因子化或在线性时间执行此类反转的算法的出现。 这种方法必须利用矩阵A^-1是“数据稀疏”,通常情况下,它可以被tessellat化为具有低数值等级的块。 本调查为稀疏和致密的快速直接求解器提供了一个统一的上下文,介绍了具有最小符号开销的关键概念,并提供了帮助用户确定用于给定应用程序的最佳方法的指导。
我们提出了一种高定数值方法,用于在二维中解决诺依曼绿色函数。 对于一般的闭合平面曲线,我们的计算方法解决了内部和外部Green的功能,其源放置在体积或表面上 - 产生四种不同的功能。 我们的方法通过分解奇异和常规组件来精确表示绿色函数的奇异性质。 在内部函数的情况下,我们确切地规定了一个整体约束,这是获得一个独特的解决方案所必需的,因为与诺依曼边界条件相关的任意常数解决方案。 我们的实现基于绿色函数常规部分的快速积分方法,该方法允许对一般域进行快速和高精度的离散化。 我们展示了我们方法对于可用闭合表单解决方案的磁盘和椭圆等简单几何形状的方法的准确性。 为了展示这些新例程的有用性,我们展示了几种应用,以打开布朗粒子捕获问题,特别是如何配置小陷阱或边界窗口,以最大限度地提高布朗粒子的捕获率。
近年来,人们对不同类型的对抗扰动在数据分类问题中的影响产生了浓厚的兴趣。 其中许多模型都结合了对抗性功率,这是一个重要的参数,在准确性和稳健性之间具有相关的权衡。 这项工作考虑了在大量数据或人口水平限制下对不利分类问题的一般框架。 在这样的制度中,我们证明,随着对抗强度的归零,最佳分类器在Hausdorff距离中收敛到贝叶斯分类器。 这大大加强了以前的结果,通常侧重于L^1型收敛。 主要论点依赖于直接的几何比较,并受到几何测量理论的技术的启发。
基于分数的扩散模型已成为一类强大的生成方法,实现了跨不同领域的最先进的性能。 尽管它们的经验成功,这些模型的数学基础仍然只是部分理解,特别是关于支配其动力学的基础随机和偏微分方程的稳定性和一致性。 在这项工作中,我们开发了一个严格的偏微分方程(PDE)框架,用于基于分数的扩散过程。 基于Li-Yau对热流的差分不等式,我们证明了良好的构值,并为相关的基于分数的Fokker-Planck动力学得出了尖锐 L^p 的稳定性估计,提供了对其时间演化的数学一致描述。 通过熵稳定性方法,我们进一步表明扩散模型的反向时间动力学集中在数据流形上,用于紧凑支持的数据分布和广泛的初始化方案,其集中率 √(t) 为 t → 0。 这些结果产生了一个理论保证,在精确的评分指导下,扩散轨迹返回到数据流形,同时保持模仿的保真度。 我们的发现还为设计扩散模型提供了实用的见解,包括分数函数构建、损失配方和停止时间选择的原则性标准。 总之,这个框架提供了对生成能力和模仿保真度之间的权衡的定量理解,在统一的数学视角下弥合严格的分析和模型设计。
本文继续分析在[arXiv:2302.04353,arXiv:23100.05816]开始的开放波导网络的散射问题。 在这一部分中,我们提出了明确的,物理动机的辐射条件,以确保解决散射问题的独特性。 这些条件源于2000年的A。 Vasy on 3-body Schrodinger操作工;我们讨论了H 1994年论文中的密切相关的条件。 易萨崎。 Vasy的论文也证明了限制吸收沉降剂的存在,并且限制溶液满足了辐射条件。 这些结果的陈述需要伪差运算符的微积分,称为3体散射演算,这里简单介绍。 我们表明,在arXiv:2302.04353中获得的模型问题的解决方案满足了这些辐射条件,这使得证明该论文中引入的Fredholm积分方程系统具有独特性,因此存在成为可能。
本文继续分析,始于[1](第一部分,arXiv:2302.04353),模型开放波导问题由2个半无限,矩形波导沿着一个共同的垂直线会议定义。 在第一部分中,我们将物理问题的解决减少到传输问题,重新措辞为通用垂直线上的积分方程系统。 在这一部分中,我们表明,如果数据允许,第一部分中引入的积分方程的解具有渐近扩展。 使用这些扩展,我们表明在每个半空间中发现的PDE解决方案满足适当的外向辐射条件。 在第三部分中,我们表明这些条件意味着PDE解决方案的独特性以及我们的积分方程系统的独特性。
在这篇文章中,介绍了一个数值方案,以找到具有扩散(M-V-D)的McKendrick-Von Foerster方程的近似解。 使用标准分析来研究此方案的性质的主要困难是由于在M-V-D中的Robin边界条件下存在非线性和非局部术语。 为了克服这一点,我们使用基于稳定性阈值概念的离散化理论来分析方案。 建立了稳定性和拟议的数字方案的趋同。
在本文中，我们提出了一种分析和数值方法来识别时间多项分数阶微分算子𝐃_t中的标量参数（系数、分数阶导数阶数）。为此，我们分析了与线性亚扩散方程𝐃_tu-ℒ_1u-𝒦*ℒ_2u=g(x,t)相关的附加非局部观测的逆问题，其中ℒ_i是具有时间依赖系数的二阶椭圆算子，𝒦是可求和记忆核，g是外力。在模型给定数据的某些假设下，我们推导了未知参数的显式公式。此外，我们讨论了这些逆问题中关于唯一性和稳定性的问题。最后，通过采用Tikhonov正则化方案和拟最优性方法，我们给出了一种从噪声离散测量中恢复标量参数的计算算法，并通过几个数值测试证明了所提出技术的有效性（在实践中）。
我们研究了一个时间分形的Fisher-KPP方程,该方程涉及Riemann-Louville分数衍生物,作用于扩散术语,由Angstmann和Henry导出(Entropy,22:1035,2020)。 该模型捕获扩散人群动力学中的记忆效应,并作为肿瘤生长建模的框架。 我们首先建立当地对薄弱解决方案的有利地位。 该分析将Ga勒金近似值与基于Bihari-Henry-Gronwall不等式的高级估计值相结合,解决了分数扩散和反应术语之间的非线性耦合。 对于小的初始数据,我们进一步证明了全球的构图和渐近稳定性。 然后提出并验证基于非均匀卷积二次方案的数值方法。 与传统配方相比,模拟表现出不同的动态行为,强调当前模型在描述肿瘤进展时的物理一致性。
我们分析了nematic Helmholtz-Korteweg方程,这是经典亥姆霍兹方程的变体,描述了在nematic order存在的情况下在灾难流体中传播的时间谐波。 一个突出的例子是由nematic液晶给出的,它可以建模为nematic Korteweg流体 - 即压力张量取决于密度梯度的流体和描述各向异分子方向的线状主任。 这些材料表现出各向异的声学特性,可以通过外部电磁场进行调谐,使其对可调声谐振器等潜在应用具有吸引力。 我们以两个和三维空间证明了这个方程的解决方案的存在和独特性,以适合(非共振)波数,并提出其数值解的收敛离散。 这个问题的离散性是微不足道的,因为它需要很高的规律性,并且涉及不熟悉的边界条件;我们通过使用高阶的有限元素和用Nitsche的方法执行边界条件来应对这些挑战。 我们用两个维度的数值模拟来说明我们的分析。
我们研究一类在时间依赖和时间无关的不均匀力下,四阶准线性退化抛物线方程,在“完全润湿”的方案中模拟非牛顿薄膜在固体表面上的流动。 使用正则理论进行高阶抛物线方程和能量方法,我们建立了正弱解的全局存在,并表征了它们的长期行为。 具体来说,对于时间依赖力f(t,x)的功率法薄膜问题,我们证明弱解决方案收敛到 u̅_0 + 1/|Ω|∫_0^t ∫_Ω f(s,x) dx ds,并提供收敛率,其中u̅_0是初始数据的空间平均值。 与<cit.>(Jansen等人,2023)中的同质性案例相比,这一结果清楚地表明了不均匀力对解决方案收敛率的影响。 对于时间无关力 f(x),我们证明弱溶液和线性函数 u̅_0 + t/|Ω|∫_Ω f(x) dx 之间的差是统一边界的。 对于恒定力 f_0,我们表明,在剪切增厚的情况下,弱溶液在有限的时间内与 u̅_0 + tf_0 完全吻合。 在剪切薄和牛顿式的情况下,弱溶液分别以多项式和指数率接近 u̅_0 + tf_0 。 后来,对于埃利斯定律薄膜问题,我们发现它的解决方案表现得像牛顿流体一样。 最后,我们进行数值模拟,以确认我们的主要分析结果。
最近,减少顺序建模方法已被应用于解决频域散射理论中出现的逆边界值问题。 基于投影的简化顺序模型方法的一个关键步骤是使用与前边界值问题相关的sesquilinear形式。 然而,与 R^d 边界值公式中产生的散射问题相反,失去某些结构特性,最明显的是经典的利普曼-施温格积分方程不再可用。 在本文中,我们得出了一个Lippmann-Schwinger类型方程,旨在研究亥姆霍兹边界值问题的解,具有可变折射率和阻抗边界条件。 特别是,我们从边界值问题的变异公式开始,我们获得了一个等效运算符方程,可以看作是经典Lippmann-Schwinger方程的有界域类似物。 我们首先建立我们的变异Lippmann-Schwinger型运算符的分析特性。 根据这些结果,我们随后表明,将折射率映射到相应波场的参数到状态图,当限制在列贝斯格空间的折射率大于2时,将弱收敛序列映射到强收敛序列。 最后,我们使用派生弱到强顺序连续性来显示最小化器的存在,用于基于还原顺序模型的优化方法,旨在解决逆边界值问题以及基于常规数据错误的波形反转方法。
我们表明,E_0(M)类型表面上的积分曲率能量:= ∫_M f(x,n_M(x),D n_M(x)) dH^2(x)具有三角形复合物的离散版本,其中形状运算符D_M被分段边缘导体的分段梯度所取代。 我们将无 ansatz 的无症状下限结合,用于任何具有三角形复合物的表面的均匀近似值和由极限序列的任何常规三角测量和边缘调节的几乎最佳选择组成的恢复序列。
本文研究了三维弹性波的反向随机源问题,其中源被假定由添加剂白噪声驱动。 提出了一种新的计算方法,用于从波场的相关性边界测量中重建随机源的方差。 与现有的多频迭代方法相比,我们的方法是非迭代的,只需要一个频率的数据。 因此,计算成本显著降低。 此外,对建议的方法进行了严格的误差分析,从而给出了定量误差估计。 提出了数字示例,以证明拟议方法的有效性。 而且,这种方法可以直接应用于随机的麦克斯韦方程。
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