Given i.i.d. samples X_n ={ x_1, …, x_n } from a distribution supported on a low dimensional manifold M embedded in Eucliden space, we consider the graph Laplacian operator Δ_n associated to an ε-proximity graph over X_n and study the asymptotic fluctuations of its eigenvalues around their means. In particular, letting λ̂_l^ε denote the l-th eigenvalue of Δ_n, and under suitable assumptions on the data generating model and on the rate of decay of ε, we prove that √(n ) (λ̂_l^ε - 𝔼[λ̂_l^ε] ) is asymptotically Gaussian with a variance that we can explicitly characterize. A formal argument allows us to interpret this asymptotic variance as the dissipation of a gradient flow of a suitable energy with respect to the Fisher-Rao geometry. This geometric interpretation allows us to give, in turn, a statistical interpretation of the asymptotic variance in terms of a Cramer-Rao lower bound for the estimation of the eigenvalues of certain weighted Laplace-Beltrami operator. The latter interpretation suggests a form of asymptotic statistical efficiency for the eigenvalues of the graph Laplacian. We also present CLTs for multiple eigenvalues and through several numerical experiments explore the validity of our results when some of the assumptions that we make in our theoretical analysis are relaxed.
我们提出了一种新的数据驱动方法,用于增强双曲保存定律的非结构化有限体积方法中的梯度重建,特别是2D欧拉方程。 我们的方法通过经过修改的 DeepONet 架构将以前的结构化网格方法扩展到非结构化网格,该架构将神经网络中的本地几何图形集成在一起。 该体系结构采用本地网格拓扑,以确保旋转不变性,同时确保对学习操作符进行一阶约束。 培训方法包括通过熵惩罚、减少惩罚的总变异和参数正则化来了解物理的规范化,以确保物理上一致的解决方案,特别是在受冲击主导的区域。 该模型在高保真数据集上训练,这些解决方案来自正声波和具有周期性边界条件的随机分段常数初始条件,从而为复杂的流量配置或几何形状提供了强大的概括。 文献中的验证测试用例,包括具有挑战性的几何配置,与传统二阶有限体积方案相比,在准确性方面有了很大的提高。 该方法获得20-60的收益
这个简短的说明修改了作者的重建方法(Comm. PDE,45(9):1118-1133,2020),用于重建卡尔德龙问题(电阻抗断层扫描)的分段恒定导电性。 在前一篇论文中,需要分层假设和本地的Neumann-to-Dirichlet地图,因为零碎的恒定分区也被认为是未知的。 在这里,我展示了如何修改方法,以防分区是已知的,对于一般的分段常数导电性和有限数量的部分边界测量。 此外,不需要对未知的导电性进行较低/上限。
同宿蛇行是在许多模式形成系统中观察到的普遍现象。尽管基于模式前沿解的识别已经发展出了强制理论，但在非微扰区域证明其存在性仍然很困难。由于问题的非线性特性，这些异宿解本身也难以分析。本文使用计算机辅助证明方法，在时间可逆系统中寻找平衡点与周期轨道之间参数化的异宿连接环。这导致我们在Swift-Hohenberg和Gray-Scott问题中都证明了同宿蛇行现象的存在。我们的结果表明，非线性动力系统中连续族连接轨道的计算机辅助证明是理解全局动力学及其参数依赖性的有力工具。
本文研究了在Heisenberg群中连接三个给定点的极小长度网络配置问题。在证明了(可能退化的)极小水平triods的存在性后，我们研究了它们的特征刻画。随后，我们提出了一种水平曲线缩短流，可将任何合适的初始triod变形为长度泛函的临界点。基于稳定的全离散有限元格式的数值实验，为我们提供了对这一亚黎曼几何丰富景观的有益见解。
这个简短的说明修改了作者的重建方法(Comm. PDE,45(9):1118-1133,2020),用于重建卡尔德龙问题(电阻抗断层扫描)的分段恒定导电性。 在前一篇论文中,需要分层假设和本地的Neumann-to-Dirichlet地图,因为零碎的恒定分区也被认为是未知的。 在这里,我展示了如何修改方法,以防分区是已知的,对于一般的分段常数导电性和有限数量的部分边界测量。 此外,不需要对未知的导电性进行较低/上限。
本文探讨了时间分流多孔介质方程的巴伦布拉特解,其特征是Caputo型时间导数。 采用整体方程方法,我们严格证明这些解决方案的存在,并建立几个基本属性,包括上下估计,质量节约,规律性和单调性。 为了弥合理论和实践,我们引入了一系列收敛数字方案,专门用于计算巴伦布拉特解决方案,确保可靠和高效的近似值。 理论框架丰富了各种例子,这些例子说明了概念并验证了拟议的数值方法的有效性,增强了对我们结果的理解和适用性。
考虑了在一般高维统计模型中计算后功能的问题,这些模型中可能具有非日志凹痕可能性函数。 基于Nickl和Wang(2022)的证明策略,但仅使用本地可能性条件并且不依赖于M-estimation理论,为基于梯度的MCMC算法提供了非符号统计和计算保证。 给定一个合适的初始化器,这些保证在关键算法量中多项式地缩放。 抽象结果应用于几个具体的统计模型,包括密度估计,非参数回归与广义线性模型和规范统计非线性逆问题从PDE。
我们构造一个扩展的Bony准线性化公式作为张量副产物分解,以获得近似值,É(f),到A(f),其中f ∈tensor-Λ^α([0,1]^2)和A ∈C^2。 A(f)的粗糙含量在Ø(f)的近似值中编码,而残差,Δ(A,f) = A(f) - Ã(f),其正则为tensor-Λ^2 α([0,1]^2),包含A(f)的平滑内容。
神经消息传递是图形结构化数据的基本特征提取单元,考虑从一层到另一层的网络传播中的邻近节点特征。 我们通过具有吸引力和排斥力的相互作用粒子系统以及相变建模中出现的Allen-Cahn力来模拟这一过程。 该系统的动力学是一个反应扩散过程,可以在不爆炸的情况下分离粒子。 这诱导了用于图形神经网络的Allen-Cahn消息传递(ACMP),其中粒子系统解决方案的数值迭代构成了消息传递传播。 使用神经ODE求解器实现简单的ACMP可以将网络深度推进到100层,理论上证明Dirichlet能量的严格正下限。 因此,它提供了GNN的深层模型,绕过了过度平滑的常见GNN问题。 具有ACMP的GNN在亲信和异嗪数据集上实现了现实世界节点分类任务的最先进的性能。 可在https://github.com/ykiiiiii/ACMP查阅。
我们提出了一种新的数据驱动方法,用于增强双曲保存定律的非结构化有限体积方法中的梯度重建,特别是2D欧拉方程。 我们的方法通过经过修改的 DeepONet 架构将以前的结构化网格方法扩展到非结构化网格,该架构将神经网络中的本地几何图形集成在一起。 该体系结构采用本地网格拓扑,以确保旋转不变性,同时确保对学习操作符进行一阶约束。 培训方法包括通过熵惩罚、减少惩罚的总变异和参数正则化来了解物理的规范化,以确保物理上一致的解决方案,特别是在受冲击主导的区域。 该模型在高保真数据集上训练,这些解决方案来自正声波和具有周期性边界条件的随机分段常数初始条件,从而为复杂的流量配置或几何形状提供了强大的概括。 文献中的验证测试用例,包括具有挑战性的几何配置,与传统二阶有限体积方案相比,在准确性方面有了很大的提高。 该方法获得20-60的收益
我们消除了对“热点”猜想的依赖,这两个主要定理是最近论文《尼克尔》(2024年,统计年鉴)。 具体来说,我们描述了Neumann Laplacian产生的过渡运算符P_f的最小最大收敛率,在具有平滑边界的任意凸域上具有扩散系数f,并进一步表明,从H^2→H^2到L^1的逆图P_f↦f的通用Lipschitz稳定性估计值。
我们认为非线性薛定谔方程具有去聚焦非线性,这是质量-(超级)临界和能量亚临界。 我们证明了 Lie-Trotter 时间分割离散化的时间误差估计值。 这种均匀性是由于矢量场获得的,该矢量场为精确和数值解决方案提供时间衰减估计。 这个矢量场在散射理论中是经典的,与之前的错误估计相比,需要几个技术修改。
同宿蛇行是在许多模式形成系统中观察到的普遍现象。尽管基于模式前沿解的识别已经发展出了强制理论，但在非微扰区域证明其存在性仍然很困难。由于问题的非线性特性，这些异宿解本身也难以分析。本文使用计算机辅助证明方法，在时间可逆系统中寻找平衡点与周期轨道之间参数化的异宿连接环。这导致我们在Swift-Hohenberg和Gray-Scott问题中都证明了同宿蛇行现象的存在。我们的结果表明，非线性动力系统中连续族连接轨道的计算机辅助证明是理解全局动力学及其参数依赖性的有力工具。
我们研究了圆环上具有作用于线性色散项的时间非齐次调制的调制Korteweg-de Vries方程(KdV)。通过将范式方法适应于调制情形，我们证明了当调制足够不规则时，调制KdV在L^2(𝕋)空间中解的尖锐无条件唯一性。例如，这一结果表明，如果调制由Hurst指数0 < H < 2/5的分数布朗运动的样本路径给出，则圆环上的调制KdV在L^2(𝕋)中无条件适定。我们的范式方法提供了调制KdV解(及相关的非线性Young积分)的构造，而不需要假设任何时间正则性。作为范式方法的一个有趣副产品，我们将非线性Young积分的构造扩展到更大的函数类，并获得了比经典缝合引理方法更优的欧拉近似方案。我们还为调制Benjamin-Ono方程和具有二次非线性的调制导数非线性薛定谔方程(NLS)建立了类似的尖锐无条件唯一性结果。在附录中，我们证明了圆环上三次调制NLS在H^1/6(𝕋)空间中的尖锐无条件唯一性。
本文研究了在Heisenberg群中连接三个给定点的极小长度网络配置问题。在证明了(可能退化的)极小水平triods的存在性后，我们研究了它们的特征刻画。随后，我们提出了一种水平曲线缩短流，可将任何合适的初始triod变形为长度泛函的临界点。基于稳定的全离散有限元格式的数值实验，为我们提供了对这一亚黎曼几何丰富景观的有益见解。
我们提出了一种无网格策略迭代框架，将经典动态规划与物理信息神经网络(PINNs)相结合，用于求解随机微分博弈和鲁棒控制中出现的高维非凸Hamilton–Jacobi–Isaacs(HJI)方程。该方法在固定反馈策略下求解线性二阶偏微分方程与通过自动微分进行点对点极小极大优化更新控制之间交替进行。在标准的Lipschitz和均匀椭圆性假设下，我们证明了值函数迭代会局部一致收敛到HJI方程的唯一粘性解。分析确立了迭代的等Lipschitz正则性，从而在不需要Hamiltonian凸性的情况下实现可证明的稳定性和收敛性。数值实验证明了该方法的准确性和可扩展性。在一个具有移动障碍物的二维随机路径规划博弈中，我们的方法达到了有限差分基准的相对L^2误差低于
本文研究具有Dirichlet边界条件和无穷远处辐射条件的球外区域中的Helmholtz问题。该微分Helmholtz算子依赖于实部非负的复波数，并针对一般空间维度进行公式化。我们证明了对应Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子的波数显式连续性估计，这些估计对所有考虑的波数都有效，且不会随着波数趋近于零而退化。该外部Helmholtz问题可以在球体人工边界上施加DtN边界条件，等价地重新表述为有界域上的问题。我们推导了解空间在波数索引范数下的波数无关迹不等式和Friedrichs型不等式。
本研究研究用于解决以各种吸附等温为特征的非线性传输问题的数值方法,重点是Freundlich类型的等温。 我们描述和比较二阶准确的数值方案,侧重于隐式方法,以有效地模拟运输现象,而不限制时间步骤的选择。 此外,该方法的高分辨率形式被建议将先验顺序精度限制为一阶精度,以保持数值解决方案的值在物理上可接受的范围内。 通过数值实验,我们证明了高分辨率方法在最大限度地减少不连续附近的振荡方面的有效性,从而提高了解决方案的合理性。 观察到的收敛率证实,二阶精确方案实现了平滑解决方案的预期准确性,并且与第一顺序方案的结果相比,它们产生了显着的改进。 由于紧凑隐式方法的计算成本似乎与具有无条件稳定性明显利润的类似显式方法相当,因此本研究为适用于多孔介质或柱状液相色谱中的污染物传输等各个领域的非线性传输现象的数值模拟提供了实用工具。
我们考虑具有潜力的非线性薛定谔方程,也称为Gross-Pitaevskii方程。 通过引入合适的光谱定位,我们证明了与调整后的Lie-Trotter分裂方案相对应的时间离散化的低规律性误差估计值。 证明基于光谱理论和伪差分微积分的工具,以获得光谱定位的各种估计,包括支持非线性分析的离散Strichartz估计。
本文研究了由抛物线PDE和具有非线性术语的椭圆PDE组成的耦合系统的稳定。 严格的后退设计提供了明确的边界控制定律,并从部分边界测量中呈指数收敛观测器。 几个定理确保了非线性闭环系统的指数稳定性和良好性。
本文详细分析了应用于不可压缩的 Navier-Stokes 方程的阿罗-Hurwicz 迭代,该方程通过无发散混合虚拟元素方法进行离散。 在一组适当的假设下,严格证明该方法表现出几何收敛,收缩因子仍然独立于网格大小。 进行一系列数值实验以验证理论发现和评估拟议方法的计算性能。
细胞尺度决策由信号分子的动力学及其从细胞表面的源到小吸收位点的动态调节。 扩散捕获问题在计算上具有挑战性,因为复杂的几何形状和应用边界条件以及捕获粒子之前发生的内在长瞬态。 本文报告了基于粒子的Kinetic Monte Carlo(KMC)方法,该方法为(i)由具有有限吸收陷阱集合的表面限制的半空间和(ii)具有吸收陷阱的凸单元的域外部再次提供凸单元。 我们通过复制经典结果来验证我们的方法,此外,新开发的边界同质化理论和匹配捕获率上的渐近扩展。 在非球形域的情况下,我们描述了一种新的屏蔽效应,在这种效应中,几何学可以在磨砺扩散源方向上的细胞估计中发挥作用。
我们通过具有周期性时间调节材料参数的亚波长谐振器的一维阵列研究波传播。 专注于高对比度机制,我们使用基于傅里叶扩展和散射矩阵技术的散射框架来捕获事件波和时间变化系统之间的相互作用。 这样,我们得出了与谐振器时间依赖系统相对应的总能量通量。 我们表明,总能量通量是由传输和反射的能量通量组成的,并得出一个光学定理,该定理表征系统的能量平衡。 我们提供多项数值实验,以研究时间依赖性、工作频率和谐振器数量对最大可实现的能量增益和能量损失的影响。 此外,我们展示了拉力点的存在,其中总能量分化。 我们的成果为能源耗散或能量放大系统的设计奠定了基础。
在[ Bailo , Carrillo , Hu 。 SIAM J. Appl. 数学。 作者介绍了一种具有非线性移动性的聚合-扩散方程的有限体积方法。 在本文中,我们证明了这种方法的收敛,由于加卢埃特和拉切,使用奥宾-西蒙斯紧凑度定理。 我们使用合适的离散 H^1 和 W^-1,1 离散规范。 我们提供两个收敛结果。 第一个结果显示与一般熵(U)(包括单数和退化)的收敛,如果初始数据没有自由边界,流动性是Lipschitz,并且约束(V)和聚合(K)电位为W^2,∞_0。 第二个结果显示,当初始数据具有自由边界时,移动性只是连续的,V和K是W^1,∞,但在假设熵U是C^1并且严格凸下。
