计算机科学
Computer Science
人工智能
Artificial Intelligence
计算与语言
Computation and Language
计算复杂性
Computational Complexity
图G是一个圆图,如果它是一个单位圆的和弦的交叉图。 我们给出一个算法,它以输入一个n顶点圆图G,在最多n^O(log n)时运行,并找到一个适当的3色G,如果存在的话。 因此,我们获得了具有相同运行时间的算法,以确定给定的有序图形(G,≺)是否具有3页的书嵌入。 这就部分解决了众所周知的Dujmović和Wood[Disc雷特]的公开问题。 数学。 原。 计算。 科幻。 2004年],Eppstein [2014],和Bachmann,Rutter和Stumpf [J. Graph Algorithms 应用。 2024] 圆图上的3色是否承认多项式时间算法。
我们在一个主要理想领域研究点自由且有限生成的持久性模块,该模块由(可能是无限)完全有序的poset类别索引。 我们表明,如果并且只有当每个结构图都有免费的焦内核时,这些持久化模块才会允许间隔分解。 我们还表明,在无躯干设置中,拓扑空间过滤的整数持久同源模块承认间隔分解,只有当相关的持久性图与系数字段的选择不一时。 这些结果概括了索引类别有限时之前的工。
我们考虑图 G 的可嵌入性问题,即将图形 G 嵌入到二维简单复合 C:给定 G 和 C,决定 G 是否承认拓扑嵌入 C。 问题是NP-hard,即使在C是顺态到表面的限制情况下。 我们通过提供 O(2^poly(c).n^2)-time 算法,在二维复合物的大小中证明问题是固定参数可处理的。 如果 G 嵌入到 C 中,我们可以在相同的时间内计算嵌入的表示。 此外,我们表明,几个已知的问题减少到这个,如交叉数和平面数问题,以及,在某些情况下,嵌入扩展问题。 我们的方法是减少G通过无关顶点方法限制分支宽的情况,并应用动态编程。 我们不依赖于现有线性时间算法的任何组件在固定表面上嵌入图形,而只依赖于图形小理论的算法。 然而,通过将我们的结果与用于在表面上嵌入图形的线性时间算法以及无关顶点方法的最近结果相结合,我们可以决定G是否在f(c).O(n)时间中嵌入到C中,对于某些函数f。
3D Gaussian Splatting(3DGS)的最新进展为新颖的视图合成取得了最先进的结果。 然而,在复杂的场景中有效地捕获特定物体的高保真重建仍然是一个重大挑战。 现有主动重建方法的一个关键限制是它们依赖于场景级的不确定性指标,这些指标通常受到不相关的背景混乱的偏见,并导致以对象为中心的任务的低效视图选择。 我们介绍了OUGS,这是一个新颖的框架,通过更原则,物理基础的3DGS不确定性配方来应对这一挑战。 我们的核心创新是直接从3D高斯原语的显式物理参数(例如位置、尺度、旋转)中获取不确定性。 通过渲染Jacobian传播这些参数的协方差,我们建立了一个高度可解释的不确定性模型。 这个基础允许我们无缝集成语义分割掩码,以产生有针对性的、感知对象的不确定性评分,从而有效地将对象与其环境区分开来。 这允许更有效的主动视图选择策略,优先考虑对提高对象保真度至关重要的观点。 对公共数据集的实验评估表明,与现有的先进方法相比,我们的方法显着提高了3DGS重建过程的效率,并为目标对象实现了更高的质量,同时也作为全球场景的强大不确定性估算器。
制图描绘了与定量数据成比例的地理区域。 然而,当使用密度相等的地图投影创建时,如果仅使用由直线连接的有限顶点集绘制边界多边形,则制图可能会显示无效的拓扑结构。 在这里,我们介绍了一种拓扑保护线致密化的方法,该方法可确保使用密度相等的地图投影时,制图区域保持连接和非重叠。 通过将我们的致密技术与基于流的制图生成器相结合,我们提出了严格的拓扑结构保护制图结构的稳健框架。 定量评估表明,拟议的算法比替代方法更准确和更快地产生手推车图,同时保持可比的形状保真度。
许多近似算法和找公平聚类的思潮算法已经出现。 在本文中,我们定义了公平聚类问题的新自然变体,并设计了一个多项式时间算法来计算最优的公平聚类。 让P是平面上的一组n点,并且每个点在C中有一个颜色,对应于一个组。 对于 C 中的每个颜色 q,给出一个下限 l(q) 和一个上界 u(q)。 然后我们定义公平聚类问题如下。 公平的 k 集群问题是将 P 的分区找到一组 k 群集,成本最低,因此每个群集至少包含 l(q) 和 P 中的最多 u(q) 点。 通过 l(q) 和 u(q),每个群集不能包含太少或太多具有特定颜色的点。 如果我们认为一种颜色属于性别或少数民族群体,则聚类对应于公平的聚类。
自动组装的刻影拼图提出了一个经典的曲线匹配问题,从根本上受到从数字化获得的离散和嘈杂轮廓数据的挑战。 处理这些数据所需的常规平滑方法通常会扭曲用于匹配的基于曲率的标准,并导致关键信息丢失。 本文提出了克服这些问题的方法,演示了54件拼图的自动重建。 我们使用新颖的旋转光束旋转来重建每件作品的轮廓,该光束将边界建模为具有固定弹簧支撑的柔性光束,在测量数据点。 一个显着的特征是这些点的动态重新索引;随着它们计算的定位被改进,它们根据它们投影到计算轮廓上重新编号。 另一个贡献是确定与点预测之间的距离成比例的春季遵守情况的方法。 这种方法独特地确保了相应曲线的统一平滑度,使匹配过程与点密度的变化一致,并且仅依赖于测量精度。 实际计算和拼图的成功自动重建证明了建议的方法的有效性。
我们研究大多数自然基对象家族的交集图上的施泰纳树问题,例如,磁盘,正方形,多边形等。 给定平面中的一组 n 个对象和 t 终端对象的子集 T,任务是找到 k 对象的子集 S,以便连接 S∪ T 的交集图。 鉴于平面图和几何交叉图上的典型参数化问题如何表现,我们预计存在对解决方案大小或终端数量具有某种形式的亚指数依赖性的确切算法。 与这种预期相反,我们表明,假设指数-时间假说(ETH),即使对于单位磁盘或单位正方形,也没有 2^o(k+t)· n^O(1) 时间算法,即Steiner树的大小没有FPT算法次指数。 然而,亚指数依赖可以以不同的形式出现:我们表明Steiner Tree可以在时间 n^O(√(t)) 中解决许多自然类的对象,包括:任意大小的磁盘。 任意大小的轴平行方块。 类似大小的脂肪多边形。 这尤其显著改善并概括了最近的两个结果:(1) 单位磁盘上的施泰纳树可以在时间n^(√(k + t))中解决(Bhore,Carmi,Kolay和Zehavi,Algorithmicica 2023)和(2)平面图上的Steiner Tree可以在时间n^O(√(t))(Marx,Pilipczuk和Pilipczuk,FOCS 2018)中解决。 我们用下限来补充我们的算法,证明对象的类不能显著扩展,即使我们允许运行时间 n^o(k+t)/log(k+t)。
我们给出维度0的界限持久同源和编纂1的Vietoris-Rips,alpha和立方体复杂过滤的有限集相关的浓缩(添加新元素),ss rsification(去除元素),并调整到网格(统一离散元素)。 对于富集,我们使用重中子分区,为了稀散,我们使用迭代最小分离距离过程,并且为了对齐一个网格,我们在将每个坐标值除以固定步数时采取报价。 我们的动机是应用于生物学,其中物种的状态通过其“超体积”推断,这是一个高维空间,环境变量作为维度。 超体积具有几何(体积,凸度)和拓扑(连接性,同源性),已知与物种的当前和潜在未来状态有关。 我们提供一种具有拓扑保证的方法,与计算超体积的现代方法互补,在Viedoris-Rips和alpha复合物的持久性图之间提供精确的界限,以及立方体复合物的二元性标识。 我们的方法(称为 TopoAware)的实现以 C++、Python 和 R 为基础,建立在 GUDHI 库的基础上。
隐性神经表示(INRs)已成为在低维空间中表示信号的一个有前途的框架。 本调查回顾了关于表面场景近似签名距离函数(SDF)的专用INR问题的现有文献,使用定向点云或一组图景。 我们指的是神经自付费用SDF,它们在其损失函数中加入了微分几何工具,如正态和曲率,作为几何INR。 这种3D重建方法背后的关键思想是在损失函数中包括额外的正则化术语,确保INR满足该函数应持有的某些全局属性 - 例如在自开发中具有单位梯度。 我们探索关键的方法论组件,包括INR的定义,几何损失函数的构建,以及从微分几何学角度的采样方案。 我们的审查强调了几何INR在定向点云和图景表面重建中取得的重大进步。
双升模块M的纤维化条形码F(M)是将每个非负斜线l⊂R^2发送到M沿l的限制的条形码的映射。 F(M)的简单性、可计算性和稳定性使其成为数据分析应用不常的自然选择。 在早期的预印本[arXiv:1512.00180]中,我们引入了一个用于F(M)实时交互式可视化的框架,它允许用户通过GUI选择一行l,然后绘制相关的条形码。 这种可视化是我们软件RIIt的一个关键特征,用于双渗透同源的可视化和分析。 这种交互式可视化需要一个框架来有效地查询F(M),即沿着给定的行l快速获取条形码。 为了实现这样的查询,我们引入了一种基于平面线排列的新型数据结构,称为增强排列。 本文的目的是更新和改进我们预印本[arXiv:1512.00180]的部分关于增强排列的数学及其计算。 值得注意的是,通过将输入视为最小的演示而不是链式复合体,我们能够大大简化我们的主要算法及其复杂性分析。
条形包装问题是一个经典的优化问题,其中一组矩形必须打包,没有重叠,成固定宽度和无限高度的条带,同时最小化包装的总高度。 对这个问题的一种简单而广泛研究的方法是左下角。 它包括迭代地将每个矩形置于给定的顺序中,在条带中的最低可行位置,并在领带的情况下,在最左边的位置。 由于其简单性和良好的经验性能,这种方法论被广泛应用于实际应用中。 这种启发式方法的最有效率的实现是由Chazelle在1983年提出的,需要O(n^2)时间和空间来放置n矩形。 然而,尽管查泽尔的原始描述在很大程度上是正确的,但它省略了几个正式的细节。 此外,我们的分析揭示了原始运行时分析的一个关键缺陷,在某些情况下,该 Ω(n^3) 运行时间会导致Ω(n^3)。 在这一发现的激励下,本文对实施进行了严格和纠正的介绍,解决了不精确的论点并解决了已识别的缺陷。 由此产生的分析建立了Chazelle实施的正式验证版本,并证实了其二次时间复杂性。
平面分离定理指出，任何平面图𝒢都存在一个由O(√(n))个节点组成的分离器，其移除可将𝒢划分为大小至多为2n/3的分量，这是获得平面图上快速算法的广泛使用工具。圆盘的交图（推广了平面图）不允许这样的分离器。最近研究表明，圆盘图确实允许所谓的基于团的分离器，由O(√(n))个团组成。这一结果已推广到各种其他类型圆盘状对象的交图。不幸的是，线段交图不允许小的基于团的分离器，因为它们可能包含任意大的双团。即使在简单的轴对齐线段情况下也是如此。因此，本文引入基于双团的分离器（特别是基于星的分离器），即由少量双团（或星）组成的分离器。我们证明平面上任何c向的n条线段集合（其中c为常数）允许由O(√(n))个星组成的基于星的分离器。实际上，我们的结果更为一般，因为它适用于任何被划分为c个子集的n条伪线段集合，其中同一子集中的伪线段两两不相交。我们将结果扩展到c向多边形的交图。这些结果立即导致对此类交图的几乎精确距离预言机，具有O(n√(n))存储和O(√(n))查询时间，并且可以报告任意两个查询节点在交图中的跳数距离，其加性误差至多为2。这是此类交图的第一个具有次二次存储、次线性查询时间且仅具有加性误差的距离预言机。
2D嵌套问题是最具挑战性的切割和包装问题之一。 然而,尽管它们具有实际意义,但过去十年的研究进展明显甚微。 一个合理的解释可能是,嵌套问题已经解决到接近最优,几乎没有改进的余地。 然而,正如我们的论文所表明的,我们毕竟没有达到极限。 本文介绍了解决2D不规则条包装问题的开源方法,以及十个新的真实世界基准测试实例。 我们的方法将优化问题分解成一系列可行性问题,其中项目之间的碰撞逐渐得到解决。 持续优于最先进的状态 - 在某些情况下出人意料地大幅度。 因此,我们深信,上述停滞性好因进入壁垒高和普遍缺乏可重复性而得到解释。 通过发布源代码,我们直接解决了这两个问题。 与此同时,我们相信,在进一步的算法改进方面仍有巨大的空间。 本文的最终目标不仅是向前迈出一步,而是重新启动该领域的研究文化,并实现持续,可重复的进展。
随机几何图形是在度量空间上定义的随机图形模型。 随机几何图由来自度量空间的先采样点生成,然后独立连接每对采样点,其概率取决于它们的距离。 在最近黄、Jidilok和Mossel <cit.>的实验中,作者研究重建嵌入式流形的问题,形成了一个从流形中取样的随机几何图形,其中边缘概率单调地依赖于嵌入点之间的欧几里得距离。 他们表明,在流形,采样量和连接概率函数的轻度规律性假设下,随着顶点数量的增长,可以恢复嵌入采样点的成对欧几里得距离,以减小误差。 在这项工作中,我们考虑了一个类似的,可以说是更自然的问题,其中指标是流形上的黎曼指标。 再次从流形中采样点,并生成一个随机图,其中连接概率在黎曼距离中是单调的。 也许令人惊讶的是,我们在这个设置中获得了更有力的结果。 与以前只考虑致密图的工作不同,我们提供具有平均度 n^1/2 polylog(n) 的稀疏图的重建算法,其中 n 表示顶点的数量。 我们的算法也是用于距离重建的更高效算法,具有改进的错误边界。 算法的运行时间为 O(n^2 polylog(n)),其高达 polylog 因子与输入图的大小相匹配。 我们的距离误差也几乎与距离估计的体积下限数相匹配。
加权欧拉特性变换(WECT)和欧拉特性函数(ECF)已被证明是各种应用中有用的工具。 然而,目前计算这些函数的方法既没有针对速度进行优化,也没有扩展到更高维度的设置。 在这项工作中,我们提出了使用张量运算计算此类拓扑变换的矢量化框架,该框架针对GPU架构进行了高度优化,并在任意维度的几何简单复合物(或立方体复合物)中完全通用地工作。 在实验上,该框架在计算各种图像数据集的WECT和ECF时,比现有方法显示出显着的加速(高达180×)。 这些变换的计算是在一个名为pyECT的公开可用的Python包中实现的。
构建自适应六面体曲面的曲面,以适应输入三角形边界,是基于网格的方法中的一个关键挑战。 常规方法首先移除外部元素(RO),然后将轴对齐边界投射到输入三角形边界上,这不能保证改善初始交叉线对联(IoU)和Hausdorff距离比(HR,w.r.t边界框对角线)。 拟议的MCHex方法用Marching Cubes方法MCHex取代RO。 鉴于相同的计算预算(使用相同的预计算签名距离场,主导运行时),MCHex提供了更好的边界近似(更高IoU和更低的HR),同时保证了更低,但仍然积极的最小缩放Jacobian(>0 vs. RO >0.48。
Voronoi图是必不可少的几何结构,具有许多应用,特别是天体物理学驱动的有限体积方法。 虽然构建这些实体的串行算法是完善的,但并行构建仍然具有挑战性。 在分布式内存系统中尤其如此,每个主机只管理输入点的一个子集。 这个过程需要跨主机重新分配点,并准确计算相应的Voronoi单元。 在本文中,我们引入了一种新的分布式构建算法,该算法在我们的开源C++三维Voronoi构建框架中实现。 我们的方法利用Delaunay三角测量作为中间步骤,然后将其转化为Voronoi图。 我们介绍了我们为精确构造和负载平衡方法实现的算法,并将运行时间与其他最先进的框架进行比较。 MadVoro是一种多功能工具,可以应用于各种科学领域,如网格分解,计算物理,化学和机器学习。
内核差异是分析准蒙特卡洛(QMC)方法中最坏情况错误的有力工具。 基于优化此类差异措施的最新进展,我们将子集选择问题扩展到内核差异的设置,从大小为 n≫ m 的庞大种群中选择一个 m 元素子集。 我们引入了一种适用于一般内核差异的新型子集选择算法,通过采用内核差异,从单元超立方体上的均匀分布,传统设置的经典QMC以及使用内核Stein差异的已知密度函数的更通用分布F中有效地生成低差异样本。 我们还探讨了经典L_2星差异与其L_∞对应物之间的关系。
拓扑数据分析是一种通过拓扑学研究数据集形状的方法。 它的主要研究对象是持久性图,它代表了数据集在不同空间分辨率下的拓扑特征。 可以通过图表的相似性来比较多个数据集,以了解它们相对于彼此的行为。 瓶颈和Wasserstein距离通常被用作指示相似性的工具。 在本文中,我们介绍了余辛相似性,作为持久性图和调查其属性之间相似性的新指标。 此外,它导致了持久性图之间的正交性的新概念。 事实证明,正交性是指余烬相似性下的持久性图之间的完美差异。 通过数据演示,显微相似性比标准距离更准确,以测量持久性图之间的相似性。
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