数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
在本文中,我们提出了一个数学框架,将紧凑的拓扑空间嵌入到欧几里得空间中,并在特定类别的减少尺寸映射下链接嵌入的可分离性。 作为既定理论的应用,我们在深度神经网络的设置中,对深度学习理论中的分类和近似问题提供了一些迷人的见解。
我们引入半帧(代数结构),并研究它们与半拓扑(拓扑结构)的二元性。 分拓扑和半帧都是相对较新的发展,源于拓扑思想研究分散计算系统的新应用。 分词学通过消除开放集合的交叉点必然是开放的条件来概括拓扑。 动机来自于在分布式系统中确定可操作联盟的概念 - 一组参与者有足够的资源让其成员合作采取一些行动 - 开放集; 因为仅仅因为两组是可操作的(有采取行动的资源)并不一定意味着他们的交集是。 我们定义了类别和形态的概念,并证明了(清醒)半帧和(空间)半拓扑之间的绝对二元性,并且我们研究了与理解分散系统相关的关键良好性能,跨二元性转移(或不转移)的关键良好性能。
拓扑学可以解释为可验证性的研究，其中开集对应于半可判定属性。在本文中，我们区分了可验证属性本身和执行验证过程的过程。前者是简单的开集，而我们将后者称为机器。给定一个框架表示 𝒪 X = ⟨ G | R⟩，我们构造了一个机器空间 Σ^Σ^G，其点由对应于 G 中生成器的基本机器的形式组合给出。这配备了一个"评估"映射，使其成为以 Σ 为底、X 为指数的弱指数。当存在时，真正的指数 Σ^X 作为机器空间的收缩出现。我们认为这有助于解释为什么某些空间是指数化的而其他空间不是。然后，我们使用机器空间通过给出 Escardó 算法在有限时间内对紧空间进行全称量化的纯拓扑版本来研究紧性。最后，我们将机器空间的研究与域理论和域嵌入联系起来。
人工智能最近在机器人领域的采用推动了算法的发展,使自主系统能够适应复杂的社会环境。 特别是,安全高效的社交导航是一项关键挑战,要求人工智能不仅避免碰撞和僵局,而且需要直观和可预测的与周围环境进行互动。 基于概率模型和构象安全区域的生成的方法在定义具有受控误差幅度的安全区域方面显示出有希望的结果,主要依靠分类方法和明确的规则来描述无碰撞导航条件。 这项工作通过研究拓扑特征如何有助于在社会导航场景中创建可解释的安全区域来扩展现有视角,从而能够对不同的模拟行为进行分类和表征。 我们不是依靠行为参数来生成安全区域,而是通过拓扑数据分析利用拓扑特征。 我们首先利用基于规则的分类来提供不同模拟行为的可解释特征,根据拓扑特性区分安全和不安全的场景。 接下来,我们定义安全区域,S_ε,表示拓扑特征空间中避免碰撞的区域,最大分类误差为ε。 这些区域使用可调的 SVM 分类器和顺序统计来构建,确保一个健壮且可扩展的决策边界。 我们的方法最初将模拟与没有碰撞分开,优于不包含拓扑特征的方法。 我们进一步完善安全区域,确保无死锁模拟,并集成这两个方面,以定义一个合规的模拟空间,保证安全高效的导航。
R^2 上的数据集 X 是一个有限的拓扑空间。 目前对数据集的研究侧重于统计方法和代数拓扑方法<cit.>。 在<cit.>中,引入了类型拓扑空间的概念,并显示出研究有限拓扑空间(如数据集)的潜力。 从一般拓扑的角度来看,这是一种新方法。 类型的拓扑空间是一个拓扑空间,其开放的集合被分配类型。 拓扑概念和方法可以使用某些类型的开放集合重新定义。 在本文中,我们在数据集X上开发了一组特殊的类型及其相关类型拓扑。 使用它,我们可以研究X的内部结构。 特别是,R^2有一个自然的范围空间,其中X被组织成轨道,每个轨道被分成组件。 这些组件是在一个订单。 此外,它们可以用整数序列表示。 穿过轨道的组件形成分支,这种关系可以用一种伪树(称为 typed-II 伪树)很好地表示。 这种结构为计算凸壳体、孔、聚类和异常检测等问题提供了新的算法平台。
我们在温和假设下提出了从C(X)的Scott空间的平方到其自身的上确界函数连续的若干等价条件，其中C(X)表示𝐓_0拓扑空间的闭子集格。我们还通过n-逼近证明了：一个𝐓_0空间是拟连续(拟代数)的，当且仅当其闭子集格是拟连续(拟代数)域。此外，我们给出了拓扑空间具有Scott完备化的必要条件，这使我们能够提供更多不具有Scott完备化的例子。
拓扑数据分析(TDA)是数据科学和数学领域的一种工具，正开始在环境科学领域产生影响。在这项工作中，我们试图对TDA中一个特别适用于图像分析的工具——persistent homology——提供一个直观易懂的介绍。我们简要讨论了理论背景，但主要侧重于理解该工具的输出并讨论它能获取哪些信息。为此，我们围绕一个指导性案例展开讨论，该案例使用Rasp等人2020年为研究中尺度云组织而创建的Sugar、Fish、Flower和Gravel数据集(arXiv:1906:01906)中的卫星图像分类。我们展示了persistent homology及其向量化形式persistence landscapes如何与简单的机器学习算法结合使用以获得良好结果，并详细探讨了如何从图像层面特征解释这种行为。persistent homology的核心优势之一是其可解释性，因此我们在本文中不仅讨论发现的模式，还解释为什么根据persistent homology理论可以预期这些结果。我们的目标是让读者在阅读本文后能更好地理解TDA和persistent homology，能够识别persistent homology可能有帮助的问题和数据集，并理解通过应用GitHub示例代码获得的结果。
我们引入了半拓扑(semitopologies)，这是点集拓扑(point-set topology)的一种推广，它移除了开集交集必须为开集的限制。直观理解是，点代表某个分布式系统中的参与者，而开集是一组可以通过采取分布式协作行动来更新其本地状态的参与者集合；我们称之为可行动联盟(actionable coalition)。什么构成可行动联盟取决于我们想要建模的行动。直观的例子包括"一群集体力量足以举起石头的人"，其中状态更新非常简单，从"石头低位"到"石头高位"，这个更新对可行动联盟中的所有参与者都是共同的。或者考虑"两个人希望用一罐果汁交换一块巧克力"，在这种情况下，联盟就是任何这样的配对，且参与者之间的状态更新不同，在"有/没有果汁"和"有/没有巧克力"之间切换。这些系统的特点是状态更新局限于联盟内部、自愿的、可能在参与者之间有所不同，并且不假定需要中央权威的许可或同步。点对点(Peer-to-peer)计算机网络，包括文件共享和区块链系统，提供了来自计算领域的激励示例。本专著提出了半拓扑的全面视角，包括受这些考虑启发的点集半拓扑、代数和逻辑。这本身就很有趣，并提供了一个概念框架来理解一类有用的分布式系统。
我们建立了几个结果,结合了离散莫尔斯理论和微局部舍夫理论在有限posets和简单复合物的设置。 我们的主要工具是对亚历山德罗夫拓扑结构上边界衍生的舍的可计算描述。 我们证明,在有限姿势上的每个有界复合物都承认一个独特的(高达同构的复合物)最小的注射分辨率,我们提供算法用于计算注射复合物的最小注射分辨率,以及衍生类别剪切之间的几个有用的致音器。 对于简单复合体上的恒定钞票,我们在使用这些算法计算最小注射分辨率的复杂性上给出了无症状的紧密边界。 我们的主要结果是对有限姿势上黏合的有界复合物的离散微支持的新定义。 我们详细介绍了离散微支持的几个基础属性,以及离散同源摩尔斯定理和莫尔斯不等的微局部概括。
由函数映射到 R^d 的图形组成的数据在许多数据应用程序中产生,包括Reeb图,几何图形和结嵌入等结构。 因此,在数据分析管道中需要比较和聚类这些对象的能力,因此需要它们之间的距离。 在这项工作中,我们研究这些对象离散化的交织距离,当d=1时称为映射图,其中可以通过在它们之间找到一对自然变换来比较数据的函子表示。 然而,在许多情况下,计算交织距离是NP-hard。 出于这个原因,我们从罗宾逊最近的工作中获得灵感,为地图家庭找到质量措施,这些地图不会上升到自然转变的水平,称为任务。 然后,我们将函子图像赋予一个度量空间的额外结构,并定义一个损失函数,该函数测量分配距离制作间歇通勤所需的图表有多远。 最后,我们表明损失函数的计算是多项式的,具有给定的赋值。 我们相信这个想法既强大又可翻译,有可能在广泛的环境中提供近似和边界的交织。
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