数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
非线性动力学系统在各种科学和工程领域广泛遇到。 尽管在理论理解方面取得了重大进展,但开发分析和设计这些系统的完整和集成框架仍然具有挑战性,这强调了高效线性化方法的重要性。 在本文中,我们引入了一个通用的线性化框架,重点是卡勒曼线性化和卡勒曼-傅里叶线性化。 为动力系统提供了关于有限段近似于提升的无限维动力系统的详细案例研究,其支配功能是一级三角学多项式。
深度学习革命刺激了在科学中使用人工智能的进步。 在物理科学中,主要重点是从观测数据中发现动态系统。 然而,学习代理和符号模型的可靠性往往被非独特性的根本问题所破坏。 生成的模型可能完全适合可用数据,但缺乏真正的预测能力。 这就提出了一个问题:在什么条件下,从一组有限的观测中可以唯一地识别管辖方程的系统? 我们反直觉地表明,通常与不可预测性相关的混乱对于确保系统在连续或分析功能的空间中被发现至关重要。 基准数据集中混沌系统的流行可能无意中掩盖了这一基本限制。 更具体地说,我们表明,在其整个域上混沌的系统可以从连续函数空间内的单个轨迹中被发现,在吸引器的几何条件下,在一个奇怪的吸引器上混沌的系统在分析上是可分析发现的。 因此,我们首次证明经典的洛伦兹系统在分析上是可发现的。 此外,我们确定,在第一个整体的存在下,分析可发现性是不可能的,在现实世界中系统中很常见。 这些发现有助于解释数据驱动方法在天气预报等固有混乱领域的成功,同时揭示了数字孪生等工程应用的重大挑战,需要稳定,可预测的行为。 对于这些非混杂系统,我们发现,虽然仅凭轨迹数据是不够的,但某些先前的物理知识可以帮助确保可发现性。 这些发现需要批判性地重新评估支撑纯粹数据驱动发现的基本假设。
从生物体到机器,自主系统依靠测量的感官线索来估计有关自身或环境的未知信息。 对于非线性系统,可以利用精心挑选的传感器运动来提取其他不可用的信息,即主动传感。 需要经验丰富但数学严谨的工具,以(1)量化传感器运动如何有助于估计性能,(2)利用这些知识来提高状态估计。 在这里,我们介绍了“BOUNDS:Uncertain Unlinear Dynamic Systems的Bounding Observability”和Python包pybounds,它可以发现传感器运动的模式,增加单个状态变量的信息。 至关重要的是,它适用于部分可观测的非线性系统,用于传感器噪声,可以应用于模拟或观察到的轨迹。 我们通过针对传感器有限的飞行剂的案例研究演示了BOUNDS,展示了如何利用主动传感来估计地面速度、高度和环境风向等关键变量。 最后,我们提出了一个框架,以完善来自活动传感的零星估计,该估计值将人工神经网络的数据驱动状态和可观测性估计与基于模型的估计相结合,我们称之为增强信息卡尔曼滤波器(AI-KF)。 我们使用来自室外四轴飞行器飞行的GPS否认数据的高度估计来验证我们的框架。 总的来说,我们的工作将有助于解码主动传感策略,并为感觉运动系统中的估计算法设计提供信息。
避免障碍和路径规划对于引导无人驾驶地面车辆(UGV)通过人口稠密的环境至关重要。 本文开发了一种新颖的方法,结合了基于切线的路径规划和外推方法,为本地路径规划创建了一个新的决策算法。 在假设的情景中,UGV在动态环境中对其初始和目标点有先验知识。 已经计算了一个全局路径,并且机器人沿着这条路径提供了航点。 当UGV在这些航点之间行进时,该算法旨在避免与动态障碍物的碰撞。 这些障碍物遵循多项式轨迹,它们的初始位置在本地地图中随机化,速度随机化在O和机器人允许的物理速度极限之间,以及一些随机加速度。 开发的算法在几个场景中进行测试,许多动态障碍在环境中随机移动。 模拟结果表明,拟议的本地路径规划策略的有效性,通过逐步生成无碰撞路径,使机器人能够在初始位置和目标位置之间安全导航。
该论文调查了与深度线性神经网络相关的梯度流方程的动力学和损失图景的最新进展,即深度神经网络的梯度下降训练动力学(在步数大小达到0时的限制),缺少激活函数并受到二次损失函数的影响。 当以神经网络的相邻矩阵来表述时,正如我们在论文中所做的,这些梯度流方程形成了一类趋同矩阵ODE,即nilpotent,polynomial,isospectral和具有保护定律。 详细描述了损失景观。 它的特点是无限多的全球最小值和马鞍点,既严格又不严格,但缺乏局部最小值和最大值。 损失函数本身是梯度流的正半确定性Lyapunov函数,其水平集是无边界的瞬态临界点集,其临界值对应于梯度沿着一定轨迹所学的输入输出数据的奇数值。 我们在论文中使用的相邻矩阵表示允许突出显示一个引数空间结构的存在,其中损失函数的每个临界值仅表示一次,而所有其他具有相同临界值的临界点都属于与引子空间相关联的光纤。 它还允许在马鞍点轻松确定稳定和不稳定的子歧管,即使Hessian未能获得它们。
注意力机制支撑着Transformer模型的计算能力,这些模型在不同领域取得了显着的成功。 然而,理解和扩展自我关注的基本原则仍然是推进人工智能的关键挑战。 从生物注意力的多尺度动力学和动力学系统理论中汲取灵感,我们引入了分形神经注意力(FNA),这是一个有原则的,神经科学启发的多尺度信息处理框架。 FNA模型通过由分数拉普拉西亚(Lévy)拉普拉西亚(Lévy)扩散(Lévy diffusion)进行代币交互,本质上实现了跨多个尺度的短期和长期依赖。 这种机制产生更大的表现力和更快的信息混合,提高了变形金刚的基础容量。 从理论上讲,我们表明FNA的动力学受分数扩散方程的支配,由此产生的注意力网络表现出更大的光谱间隙和更短的路径长度 - 增强计算效率的机械性特征。 在经验上,FNA即使使用单层和单头也能实现具有竞争力的文本分类性能;它还提高了图像处理和神经机器翻译的性能。 最后,来自几何谐波的扩散图算法实现了FNA权重的维度降低,同时保持嵌入和隐藏状态的内在结构。 这些结果共同建立了FNA作为连接自我注意力,随机动力学和几何学的原理机制,为强大的神经科学启发的人工智能提供了可解释的生物学基础。
本文通过具有部分已知源动力学的传感器网络进行了自适应估计。 我们介绍了并行的连续时间和离散时间设计,其中每个节点运行一个本地自适应观察者,并在定向图上交换信息。 对于这两个时间尺度,我们建立了网络耦合运算符的稳定性,证明了所有内部信号的界限,并显示每个节点估计与源的收敛,尽管模型的不确定性和干扰。 我们进一步得出输入状态稳定性(ISS)边界,量化对边界过程噪声的鲁棒性。 一个关键的区别是,离散时间设计使用恒定的自适应增益和每个步骤的回归规范化来处理采样效果,而连续时间设计则没有。 统一的Lyapunov框架将局部观察者动态与图形拓扑联系起来。 恒星、循环和路径网络上的模拟证实了分析,证明了准确的跟踪、稳健性和可伸缩性以及传感节点的数量。
本文介绍了使用图形处理单元(GPU)对实时卡曼滤波器和平滑器进行实验评估。 特别是,本文评估了不同的全前缀算法,即通过两种方式对卡尔曼滤波器和平滑器进行时间并行化的并行扫描算法:通过模拟计算所需的操作次数,以及通过测量真实GPU硬件上算法的实际运行时间。 此外,还提出了一种新的并行双过滤器平滑器,并对其进行实验评估。 所有算法的Metal和CUDA实现的Julia代码都是公开的。
吸引者的概念在动力学系统理论中有各种定义。 在紧凑性假设下,其中一些定义是一致的,理论相当完整。 然而,没有紧凑,画面就变得模糊。 为了提高我们的理解,我们在这项工作中表征了一个封闭,不一定是紧凑的,在本地紧凑的度量空间上相对稳定的吸引器,相当于其吸引力域。 这能够进一步对相应的反馈稳定问题进行结构研究。
中平江将大部分工作投入到了互联系统的稳定性特性的研究上。 在这篇短文中,我们通过研究一类特殊的互联系统家庭来庆祝中平江的60岁生日:所谓的字符串。 我们开发基于轨迹和Lyapunov的工具,允许验证字符串稳定性到同质双向字符串。 获得的结果适用于一系列车辆的巡航控制器设计问题。
无人驾驶航空器(UAV)广泛用于航空摄影和遥感应用。 其中一个主要挑战是将多个图像拼接成覆盖大面积的单个高分辨率图像。 基于特征的图像拼接算法通常被使用,但在特征检测和匹配方面可能会受到错误和模糊的影响。 为了解决这个问题,已经提出了几种方法,包括使用捆绑调整技术或直接图像对齐。 在本文中,我们提出了一种新的方法,该方法使用IMU数据和计算机视觉技术的组合来缝合无人机捕获的图像。 我们的方法涉及几个步骤,例如估计无人机在连续图像之间的位移和旋转,校正透视失真,以及计算同源矩阵。 然后,我们使用标准的图像拼接算法将图像对齐并混合在一起。 我们提出的方法利用IMU数据提供的额外信息,纠正各种失真源,并可以轻松集成到现有的无人机工作流程中。 我们的实验证明了我们方法的有效性和稳健性,在准确性和可靠性方面优于一些现有的基于特征的图像拼接算法,特别是在诸如大位移,旋转和相机姿势变化等具有挑战性的场景中。
如果只允许本地处理,确定任意二进制序列的属性是一项具有挑战性的任务。 在这些特性中,通过分布式共识确定1的均等是自动机网络背景下反复进行的努力。 在其最标准的配方中,一维细胞自动机规则应该处理任何奇数大小的循环配置,并引导晶格收敛到0的均匀固定点,如果1s的奇偶校验是偶数,则引导晶格收敛到0s的均匀固定点,否则。 唯一已知的单一规则解决这个问题的方法是Betel,de Oliveira和Flocchini(在作者的首字母缩写后被创造的BFO规则)。 然而,三年后,BFO规则的作者意识到该规则在某些特定配置中将失败,并提出了一个计算声音修复,但无法解决一个证据。 在这里,我们提供了BFO规则的另一个解决方案以及完整的证明,因此保证问题的真正存在单一规则解决方案。
从观测数据中准确预测复杂的高维动力学系统对于跨科学和工程的几种应用至关重要。 然而,一个关键的挑战是,现实世界的测量常常被噪声破坏,这严重降低了数据驱动模型的性能。 特别是,在混沌动态系统中,小错误迅速放大,从嘈杂的数据中识别数据驱动的模型是具有挑战性的,该模型实现了短期的准确性,同时保持长期不变的属性。 在本文中,我们建议使用弱公式作为数据驱动时间序列预测模型的经典强配方的补充方法。 具体来说,我们专注于神经普通微分方程(NODE)架构。 与依赖于NODE的离散化然后优化的标准强公式不同,弱公式限制了模型使用一组集成的残余物在时间子域上。 虽然这种配方产生了有效的NODE模型,但我们发现,通过使用这种弱配方作为惩罚,以及经典的基于配方的强配方学习,可以进一步提高NODE的性能。 通过数值演示,我们展示了我们提出的培训策略,即我们创造的弱惩罚节点(WP-NODE),在基准混沌动力学系统中实现了最先进的预测准确性和卓越的稳健性。
瓦瑟斯坦梯度和哈密尔顿流已成为自然科学中复杂动力学建模的基本工具,其应用范围从偏微分方程(PDE)和最佳传输到量子力学和信息几何。 尽管它们很重要,但这些流背后的潜在函数和交互内核的反向识别仍然相对未探索。 在这项工作中,我们通过解决同时从密度流的离散观察中恢复潜在函数和交互内核的逆问题来解决这一挑战。 我们将问题制定为优化任务,将损失函数最小化,专门用于执行Wasserstein流的底层变化结构,确保与密度流的几何特性保持一致。 我们的框架采用基于内核的操作员方法,使用相关的Reproduction Kernel Hilbert Space(RKHS),它提供了未知组件的封闭形式表示。 此外,还进行了全面的误差分析,在自适应正则化参数下提供收敛率,因为时间和空间离散化网格大小趋于零。 最后,提出了稳定性分析,以弥合Wasserstein Hamiltonian流的离散轨迹数据和连续时间流动力学之间的差距。
Koopman运算符作为非线性动态系统的完全线性表示,如果在复制内核Hilbert空间(RKHS)上定义良好,可以从数据中有效地学习。 对于稳定性分析和与控制相关的问题,希望库普曼运算符的RKHS的定义应同时考虑均衡点(作为本地属性)的稳定性和状态空间(作为全局属性)的动态的规律性。 为此,我们表明,通过使用由线性内核和Wendland径向内核形成的产品内核,在Koopman运算符的作用下(在某些平滑条件下),生成的RKHS是不变的。 此外,当平衡在渐近稳定时,Koopman运算符的光谱被证明限制在单元圈内,并在分叉时从中逃脱。 因此,具有可证明的概率错误绑定的学学入库曼运算符提供了一个稳定性证书。 除了数值验证之外,我们还进一步讨论了这种基本频谱-稳定性关系如何对基于库普曼的控制有用。
本文探讨了基于视觉的系统识别技术在四旋翼建模和控制中的应用。 通过实验和分析,我们解决了四旋翼建模的复杂性和局限性,特别是在推力和阻力系数方面。 灰盒建模用于减轻不确定性,并评估板载视觉系统的有效性。 LQR控制器基于使用板载视觉系统数据的系统识别模型设计。 结果表明模型之间的性能一致,验证了基于视觉的系统识别的功效。 这项研究强调了基于视觉的技术在增强四旋翼建模和控制方面的潜力,有助于提高性能和操作能力。 我们的发现提供了对这些技术的可用性和一致性的见解,为未来在四旋器性能增强、故障检测和决策过程方面的研究铺平了道路。
控制动态接触环境的机器人是一个紧迫的挑战。 无论是腿部机器人与地板的破损接触,还是操纵者抓住物体,接触无处不在。 不幸的是,在接触边界上切换动力学使控制变得困难。 预测控制器在涉及接触时面临非凸优化问题。 在这里,我们通过应用Koopman运算符将由于接触变化而将分段动力学纳入嵌入空间中的统一,全局线性模型来克服这一困难。 我们表明,机器人环境相互作用的粘弹性接触支持了Koopman操作员的使用,而无需近似控制输入。 这种方法使腿机器人的凸模型预测控制成为可能,并实时控制参与动态推动的机械手。 在这项工作中,我们表明,我们的方法允许机器人在实时范围内发现复杂的控制策略,并具有多次接触变化,该方法适用于机器人以外的广泛领域。
给定一个“数据流唜唁”M⊂R^n和“延迟空间”R^l,自动解码器是一对连续的地图,由“encoder”和“解码器” DR^n→R^n 组成,这样“往返”地图D∘E尽可能接近M上的身份图_M。 我们介绍了寻找自动编码器所固有的各种拓扑限制和电容器,并描述了将M作为不变流形的自动编码动态系统的能力。
著名的Takens'嵌入定理为从部分观测中重建动力系统的全部状态提供了理论基础。 然而,经典定理假设底层系统是确定性的,并且观测是无噪声的,限制了它在现实世界场景中的适用性。 在这些限制的激励下,我们制定了一个度量理论的概括,它采用了欧勒对动力学的描述,并将嵌入作为概率度量空间之间的推进图。 我们的数学结果利用了最佳运输的最新进展。 基于拟议的测量-理论时间延迟嵌入理论,我们开发了一种计算过程,旨在从时间滞后的部分观测中重建动态系统的全部状态,以稳健性设计,以处理稀疏和嘈杂的数据。 我们通过几个数值示例评估基于测量的方法,从经典的Lorenz-63系统到现实世界的应用,如NOAA海面温度重建和ERA5风场重建。
Koopman操作员和扩展动态模式分解(EDMD)作为其近似数据驱动的技术,作为复杂动态系统建模,分析和控制的关键工具,引起了相当大的关注。 然而,对控制亲和系统扩展,导致双线性代理模型,容易产生苛刻的数据要求,使其适用性错综复杂。 在本文中,我们提出了一个控制亲和映射数据拟合框架,以增加相关系统识别问题的鲁棒性边缘,从而提供更可靠的双线性EDMD方案。 特别是,根据子空间角度的输入选择准则被推导出,以确保对最小奇异值的预期阈值。 此外,我们得出了必要和足够的最优条件,以最大化最小单值。 此外,我们展示了使用双线性EDMD对非全息机器人控制的拟议方法的有用性。
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