度量几何研究快报
用 AI 跟踪日新月异的度量几何领域进展
没有鲁珀特性的凸多面体
如果一个三维凸体的副本可以通过该体内的直孔，则称其具有鲁珀特性。在这项工作中，我们构造了一个可证明不是鲁珀特的多面体，从而反驳了2017年的一个猜想。我们还发现了一个是鲁珀特但不是局部鲁珀特的多面体。
用于功能神经网络构建的量子状态富达
神经科学家在分析密集功能网络的高维神经记录数据方面面临挑战。 如果没有地面真相参考数据,找到恢复神经相关网络的最佳算法仍然是一个悬而未决的问题。 我们实现了混合量子算法来构建功能网络,并将其与记录的经典技术的结果进行比较。 我们证明,我们的量子态保真方法可以通过揭示不同的功能网络来为经典指标提供有竞争力的替代品。 我们的研究结果表明,量子计算为神经科学中的数据驱动建模提供了一种可行且具有潜在优势的替代方案,强调了其在高维图推理和复杂系统分析中的更广泛适用性。
octahedron的大地测量复杂性,以及凸多面体上切割位点的算法
长度空间 X 的大地测量复杂性量化了所需的案例区分数量,以持续选择连接任何给定起点和终点的最短路径。 我们证明了通过将简单化嵌入到 X× X 中获得的 X 的地缘复杂度的局部下限。 我们还创建并证明了算法的正确性,以便在凸多面体表面上找到切割位点,因为空间切割位点的结构与其大地测量复杂性有关。 我们用这些技术来证明八面体的大地测量复杂性是4。 我们的方法受到Recio-Mitter和Davis早期工作的启发,因此分别恢复了对n-torus和四面体的大地测量复杂性的结果。
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没有鲁珀特性的凸多面体
如果一个三维凸体的副本可以通过该体内的直孔，则称其具有鲁珀特性。在这项工作中，我们构造了一个可证明不是鲁珀特的多面体，从而反驳了2017年的一个猜想。我们还发现了一个是鲁珀特但不是局部鲁珀特的多面体。
用于功能神经网络构建的量子状态富达
神经科学家在分析密集功能网络的高维神经记录数据方面面临挑战。 如果没有地面真相参考数据,找到恢复神经相关网络的最佳算法仍然是一个悬而未决的问题。 我们实现了混合量子算法来构建功能网络,并将其与记录的经典技术的结果进行比较。 我们证明,我们的量子态保真方法可以通过揭示不同的功能网络来为经典指标提供有竞争力的替代品。 我们的研究结果表明,量子计算为神经科学中的数据驱动建模提供了一种可行且具有潜在优势的替代方案,强调了其在高维图推理和复杂系统分析中的更广泛适用性。
octahedron的大地测量复杂性,以及凸多面体上切割位点的算法
长度空间 X 的大地测量复杂性量化了所需的案例区分数量,以持续选择连接任何给定起点和终点的最短路径。 我们证明了通过将简单化嵌入到 X× X 中获得的 X 的地缘复杂度的局部下限。 我们还创建并证明了算法的正确性,以便在凸多面体表面上找到切割位点,因为空间切割位点的结构与其大地测量复杂性有关。 我们用这些技术来证明八面体的大地测量复杂性是4。 我们的方法受到Recio-Mitter和Davis早期工作的启发,因此分别恢复了对n-torus和四面体的大地测量复杂性的结果。
球体包装中的互补体
符号和图形工具,如Mathematica,可实现对球体封装中空隙空间的精确可视化和分析。 在立方密包装(CCP或以面为中心的立方包装;FCC)中,这些空隙可以分为重复的几何单元,我们将其术语为球形截断多面体 - 类似于平面截断多面体但由平面和球面限制的体。 这些结构与几何研究和应用有关,例如多孔介质和生物组织中模拟扩散。 这项工作研究了这些互补体的特性,得出了其表面积与体积比,这在物理环境中具有重要意义;我们确定了有关截断四面体和八面体的包装密度的结果,展示了它们如何平整包装球体周围的间质空间。 这些发现有助于更深入地了解经典包装问题及其几何学补充。
邻里保护数据可视化的可压缩性障碍
在二维或三维空间中可视化高维数据集的程度如何? 我们用将n-vertex图形(表示输入点的邻域结构)嵌入到低倍数d的度量空间来重新构建这个问题,这样可以保持邻居和非邻居之间的分离。 这种看似宽松的嵌入要求令人惊讶地难以满足。 我们的调查显示,绝大多数图形需要d = Ω(log n)。 即使考虑稀疏的常规图形,情况也不会改善,因为此类图形的压倒性部分需要d=Ω(log n / loglog n)。 当嵌入到规范的空间时,景观发生了巨大的变化。 特别是,除了一个消失的图形部分外,所有都需要d=Θ(n)。 最后,我们研究这些结果对具有内在集群结构的可视化数据的影响。 我们发现,从在n点上具有k个簇的种植分区模型产生的图形通常需要d=Ω(log n),即使集群结构突出。 这些结果挑战了恒定维可视化可以忠实地保留邻里结构的愿望。
子树距离,紧密的间距和多样性
度量嵌入是度量理论及其应用的核心。 在这里,我们考虑不同类型的嵌入:从集合映射到度量空间的子集,以便点之间的距离近似于子集之间的最小距离。 我们的主要结果是描述集合 X 中元素之间的一组距离 d(x,y) 时,一个子树 T 和一个 {S_x}_x ∈ X 的子树集合 {S_x}_x ∈ X,以便 d(x,y) 等于 T 中从 S_x 中的最短路径的长度到 S_y 中所有 x,y ∈ X 的点。 特征首先由平井(2006年)为有限X建立,使用为距离空间定义的紧密跨度结构,没有三角形不等式的指标空间。 为了将平井的结果扩展到有限X之外,我们为一般距离空间建立了紧密跨度理论的基本结果,包括令人惊讶的观察,即距离空间的紧密跨度是超凸。 我们应用结果来获取何时多样性的第一个特征 - 度量空间的概括,该度量空间将值分配给X的所有有限子集,而不仅仅是对 - 具有紧密的跨度,即树状。
诱导子式、渐近维数与Baker技术
渐近维数是Gromov(1993)引入的度量空间的大尺度不变量。我们证明了每个排除某个图作为胖次式的有界度图的遗传类，其渐近维数最多为2，这是最优的。这一结果在Bonamy、Bousquet、Esperet、Groenland、Liu、Pirot和Scott(J. Eur. Math. Soc. 2023)提出的问题上取得了实质性进展。我们证明的关键是受Baker技术(J. ACM 1994)启发的一个概念。我们说一个图类𝒢具有有界Baker树宽，如果存在一个函数f:ℕ→ℕ，使得对于𝒢中的每个图G，存在G的一个分层，使得由任意连续ℓ层的并集诱导的子图的树宽最多为f(ℓ)。我们证明了每个排除某个图作为诱导次式的有界度图类都具有有界Baker树宽。我们讨论了这一结果在聚类着色和线性时间近似方案设计中的进一步应用。
非负电阻曲率的图形
本文介绍并研究了一组新的图形,这些图形由离散曲率驱动。 我们称图电阻为非负值,如果它的生成树上存在分布,因此每个顶点在随机生成树中最多期望两个度;这些正是承认具有非负电阻曲率的度量的图形,这是由Devriendt和Lambiotte引入的离散曲率。 我们表明,这类图形位于Hamiltonian和1-tough图形之间,令人惊讶的是,如果图形具有两次扩展的匹配多顶点与其生成树多顶的内部相交,则该图形是电阻非负值。 我们进一步研究电阻非负图的表征和基本特性,并为未来的研究提出了几个问题。
双脚松石三角形:两个和谐的位点和两个有吸引力的信封
我们证明,在一个Poncelet三角形家族之间交错的两个嵌套椭圆 ,_c, (i) 正畸中心的中心不仅是一个圆锥体,但它是轴对齐的,同质化为90^o旋转的副本,并且(ii)固定点P的等角共轭的位点也是一个圆锥体(预期度为4);卷心包(resp. on ) 。 我们还表明,圆环和圆环的圆环和激进轴的信封都包含一个圆锥形成分,如果 _c 是圆。 前一个案例是两个圈子的结合!
关于用3个聚立方体将三维空间倾斜的不可决定性
翻译平铺问题是所有数学领域最根本和最具代表性的不可决定的问题之一。 格林菲尔德和陶在近年来翻译瓷砖的不可决定性上获得了两项显着的成果。 一个是在足够大的维度空间中存在一个无周期的单体。 另一部分是空间周期性子集与单个图的翻译平铺的不可判定性,前提是空间的维度是输入的一部分。 这两个结果支持以下猜想:有一个固定维度n,这样用单个瓷砖的平整是不确定的。 解决这个猜想的一个策略是证明一个固定尺寸空间的翻译平铺与一组k瓦的不可判定性,对于一个尽可能小的正整数k。 在本文中,表明用一组3个聚立方体的三维空间进行翻译瓷砖是不可决定的。
关于可测集的ℓ_0等周系数
本文证明了对于任何轴对齐立方体𝒞，其ℓ_0等周系数ψ_𝒞为Θ(n^-1/2)；对于任何可测体K，其等周系数ψ_K的阶为O(n^-1/2)。作为推论，我们得出轴对齐立方体本质上"最大化"了ℓ_0等周系数：存在一个正常数q > 0，使得当𝒞是轴对齐立方体且K是任意可测集时，有ψ_K ≤ q·ψ_𝒞。最后，我们给出了这些结果在Coordinate-Hit-and-Run算法从凸体均匀采样时的混合时间上的直接应用。
S^3上渐近最优的t-design曲线
Ehler和Gröchenig将球面t-design曲线定义为球面上一条连续、分段光滑、闭合且有有限自交点的曲线，其对任何次数不超过t的多项式的线积分等于该多项式在球面上的平均值。这些作者提出了证明存在S^d上t-design曲线序列(γ_t)_t=0^∞的问题，这些曲线具有渐近最优长度ℓ(γ_t)≍ t^d-1当t→∞时，并解决了d=2的情况。本工作通过证明对于d=3的情况，存在常数𝒞>0使得对于任何C≥𝒞和t∈ N_+，都存在长度为Ct^2的简单t-design曲线在S^3上，从而解决了这个问题。
算法信息距离的属性
基于科尔莫戈罗夫复杂性的域无关的通用标准化信息距离(大致形式)已成功应用于各种困难的聚类问题。 在本文中,我们研究了非规范化算法信息距离 d_K 的理论属性。 我们在这项工作中要问的主要问题是,除了是一个度量之外,这个奇怪的距离有什么属性。 我们表明,许多(in)finite-dimensional space can(not) beetometrically scale-embedded into the space of limited string with metric d_K. 我们还表明d_K不是欧几里得距离,但欧几里登空间中的任何有限点集都可以被缩放嵌入({0,1}^*,d_K)。 一个主要的贡献是开发必要的框架和工具,以便将来找到更多(有趣的)属性,并说明几个悬而未决的问题。
Gromov-Hausdorff色度公差色公分对之间的距离和六包的稳定性
色度公制公分对由一个公制空间和一个着色函数将其子集分割成各种颜色。 它是色谱拓扑数据分析中研究的色谱组概念的自然延伸。 该领域的一个有用的工具是六包,六个持久性图的集合,总结了关于彩色子集如何相互作用的同源信息。 我们引入了Gromov-Hausdorff距离的合适概括,以比较色度公法对。 我们展示了一些基本属性,并通过获得六包相对于该距离的稳定性来验证此定义。 最后,我们讨论其对公制对的限制及其在切赫持久性图稳定性中的作用。
晶格定量器的优化和识别
最小标准化第二时刻的格子使用新的数值优化算法设计。 从随机低三角生成矩阵和应用随机梯度下降开始,所有元素都朝着负梯度更新,这使得它成为迄今为止为此目的提出的最有效的算法。 引入了一个图形化图,称为 theta 图像,并被证明是一个功能强大的工具,用于将数值晶格表示转换为其底层精确形式。 作为概念的证明,优化的格子设计尺寸高达16。 在所有维度中,该算法收敛到以前最为人所知的格子或更好的晶格。 15维层层叠叠的双晶格在其尺寸中推测为最佳,其精确标准化的第二时刻被计算。
通过离散减少实现 Sphere Packing 的双线性编程边界
用于解决8和24维情况的Cohn-Elkies球体包装线性程序被推测在任何其他尺寸d>2中都不尖锐。 通过将这个无限维线性程序的可行点映射到通过离散还原的有限维问题,我们提供了一个通用的方法来获得Cohn-Elkies线性程序上的双边界。 这减少了有限的变量数量,从而应用了计算机优化技术。 使用这种方法,我们证明Cohn-Elkies绑定不能接近尺寸3 ≤ d ≤ 13中已知的最佳包装密度,除了已解决的情况d=8。 特别是,我们的双边界显示Cohn-Elkies绑定无法解决3,4和5维球体包装问题。
困难构建格子与指数吻号码从代码
在此说明中,我们举例说明,从纠错代码中构建格子的几种自然方法一般不会产生最小权重非零编码词和最短非零格向量之间的对应关系。 从这些例子中,我们得出结论,主要结果是Vlăduţ(莫斯科J.)的两项作品。 梳。 数字Th.,2019和离散计算。 Geom.,2021)关于从纠错代码中构建带有指数接吻号码的格子是无效的。 Vlăduţ在公开本作品的初始版本后发布的较新的预印本(arXiv,2024)也无效。 因此,展示一个具有指数接吻号码的格子家族仍然是一个悬而未决的问题(截至2025年7月)。
晚做总比不做好：多面体排列的复杂性
设𝒜为由m个凸多面体在ℝ^d空间中诱导的细分，这些多面体总共有n个面。我们证明𝒜的组合复杂度为O(m^⌈ d/2 ⌉ n^⌊ d/2 ⌋)，且该界是紧的。该界在文献中被多次提及，但此前从未发表过针对任意维度的证明。
球面上的最小散布
最小球冠散布disp_𝒞(n,d)是最大的数ε∈(0,1]，使得无论n个点如何分布在d维欧几里得单位球面𝕊^d上，总存在一个归一化面积为ε的球冠不包含任何这些点。我们研究了当n和d趋近于无穷大时disp_𝒞(n,d)的行为。我们建立了与球面覆盖问题和通过内接多面体逼近欧几里得单位球问题的联系。现有和新结果以统一的方式呈现。disp_𝒞(n,d)的上界来源于独立均匀随机选取点，并可能添加一些良好分离的点以填补大间隙。此外，我们还研究了关于球冠交集的散布。
硬质折纸椭圆双曲面二重
刚性折纸领域涉及沿折痕线的僵硬,非弹性材料板的折叠,这些板材的作用类似于铰链并形成一个直线平面图,称为折纸的折痕图案。 折痕图案顶点在折叠材料的内部,毗邻四个折痕线,即度-4顶点,有一个单一的自由度,可以拴在一起,使灵活的多面体表面。 能够折叠到完全平坦状态的4度顶点具有非常了解的折叠运动学,因此它们已被许多工程和物理应用使用。 然而,不是平面折叠或不从扁平纸折叠的度4顶点,使顶点形成椭圆或双曲锥体,在跟随更复杂的运动方程的折痕处有折叠角度。 在这项工作中,我们提出了一般程度-4刚性折纸顶点之间的新二元性,其中双顶点以椭圆-双曲对为,具有本质上等效的动力学。 这揭示了在学位4刚性折纸顶点空间中的数学结构,可以在应用中加以利用,例如,在构建具有超材料特性的柔性3D结构时。