数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
线性码等价(LCE)问题被证明等价于点集等价(PSE)问题，即检查有限域上射影空间中两个点集是否仅相差一个线性坐标变换的问题。对于这样的点集𝕏，令R为其齐次坐标环，𝔍_𝕏为其典范理想。那么LCE问题被证明等价于其倍化R/𝔍_𝕏的一个代数同构问题。由于这个倍化是一个Artinian Gorenstein代数，我们可以使用其Macaulay逆系统将LCE问题约化为齐次多项式的多项式同构(PI)问题。在关于码的一些温和假设下，最后一步是多项式时间的。此外，对于不可分解的等偶码，我们可以通过注意到相应的点集是自关联且算术Gorenstein的，从而将LCE搜索问题约化为3次的多项式同构搜索问题，这样我们就可以使用坐标环的Artinian约化的同构问题并构造它们的Macaulay逆系统。
我们证明了双变量Cayley-Hamilton定理,这是经典Cayley-Hamilton定理的有力概括。 双变量Cayley-Hamilton定理有三个直接的推论,通常被独立证明:经典的Cayley-Hamilton定理,Girard-Newton身份,以及特征多项式的决定性和每个系数在任意交换环上具有多项式大小的代数分支程序(ABPs)。 到目前为止,这最后一个事实只能从单独的结构中获得,现在我们得到它是这个更笼统的陈述的直接结果。 双变量Cayley-Hamilton定理的陈述涉及特征多项式系数的梯度,这是加法矩阵的概括。 分析这个梯度,我们获得了另一个新的ABP的决定因素和特征多项式的每个系数。 与Mahajan-Vinay在1997年建造的当前记录保持者ABP相比,这个ABP的尺寸和宽度的三分之一。 这是28年来在这个问题上的第一次改进。 我们的ABP是围绕代数身份构建的,涉及特征多项式系数的第一顺序部分导数,并且不使用循环序列的特设组合概念。 这回答了1999年 Mahajan - Vinay 关于 Clow 序列必要性的26岁的开放问题。 我们以组合的方式证明了所有的结果,在第一眼看来与 Mahajan - Vinay 相似,但它更接近 Straubing 和 Zeilberger 的建筑。
我们研究乘以长方形的大矩阵的算法问题。 我们证明,已经用于构建矩形矩阵乘法的最快算法的方法不能给出具有复杂度的 n^p + 1 for n × n× n by n × n^p matrix 乘法的算法。 事实上,我们证明了这种方法的精确数值障碍。 我们的屏障改善了以前已知的障碍,无论是在数字意义上,还是在其一般性。 特别是,我们证明,通过大铜匠-温格勒张量器的矩阵乘法α双分位值上的任何下限不能超过0.6218。
我们在Lean4定理证明器中形式化了Auslander–Buchsbaum–Serre判据的完整证明。对于局部环，我们没有采用众所周知的证明方法——即考虑环模正则序列的商来计算投射维数，并使用Koszul复形来证明余切空间的维数不超过整体维数——而是通过极大Cohen–Macaulay模和Ferrand–Vasconcelos定理的弱化版本证明了该判据，这种方法更适用于形式化过程和mathlib的当前发展。我们的形式化包括了深度以及Cohen–Macaulay模和环的构造，这些在判据的证明中经常使用。我们还发展了相关结果，包括Cohen–Macaulay环的无混合性定理和Hilbert合冲定理。
介绍了阿基米德二次模块中严格正多项式的计算证书的新结果。 结果建立在(i)Averkov生成严格正多项式的方法的基础上,其中会员证书可以比正在申请证书的输入多项式更容易计算,以及(ii)Lasserre通过连续近似一个非负多项式乘法的平方数来生成证书的方法。 首先,通过提供有关参数的详细信息,给出了基于Averkov结果的完全建设性方法;进一步说,他的结果扩展到任意子集的工作,特别是整个欧几里得空间 R^n, 产生全球严格的正多项式。 其次,Lasserre的方法与扩展的Averkov结构集成以生成证书。 第三,方法已经实施,其有效性得到说明。 给出了现有软件包RealCertify似乎挣扎的例子,而建议的方法成功地生成证书。 确定了几种情况,其中阿基米德多项式不必明确包含在阿基米德二次模块的一组生成器中。 与解决计算证书问题的其他方法不同,所提出的方法/方法更容易理解和实现。
本文通过基于范畴论的新颖同调代数方法，建立了复杂度类P与NP的分离。我们构建了计算范畴Comp，将计算问题和归约嵌入到统一的范畴框架中。通过发展计算同调理论，我们将每个问题L与一个链复形C_∙(L)相关联，其同调群H_n(L)捕捉了计算过程的拓扑不变量。我们的主要结果表明，P类问题表现出平凡的计算同调（对所有n>0有H_n(L)=0），而NP完全问题如SAT具有非平凡同调（H_1(SAT)≠0）。这种同调区别提供了使用拓扑方法对P≠NP的第一个严格证明。该证明在Lean 4中进行了形式化验证，确保了绝对的数学严谨性。我们的工作开创了计算拓扑学作为复杂性分析的新范式，提供了比传统组合方法更精细的区分，并建立了结构复杂性理论与同调不变量之间的联系。
在本文中,除了早期引入的不由性分裂之外,我们还考虑由可接受的一夫一妻制诱发的新一类分裂。 我们证明这些分裂是虚无的和建设性的。 因此,它们允许一个人通过顺序检查非多乘增延长的乘法减少来计算多项式理想的不自主的Groebner基础。 我们研究不自主算法对完成排序的依赖。 基于特定不自主分裂的属性,建议进行两个计算优化。 其中一个包括完成订购的特殊选择。 另一种优化与算法过程中的复计算乘法和非乘法变量有关。
我们考虑计算和实施问题,以完成单体集合使用不同的非转单位划分进行革命。 这些部门中的每一个都产生了自己的完成程序。 对于多项式的情况,它产生一个不自主的基础,这是Groebner基础的特殊形式,通常是多余的。 我们还将 Janet 部门的 Mathematica 实现与 C 中的实现进行比较。
在本文中,我们认为一种算法技术比Zharkov和Blinkov提出的对多项式理想的不自主分析更通用。 它基于一个不由自主的单体划分的新概念,该概念是为一单位集定义的。 这样的划分为每个单体提供了将整组变量分为两个不接点子集的自我一致分离。 它们被称为乘法和非乘法。 鉴于可接受的顺序,这种分离适用于多项式的主要单项。 作为分离的特殊情况,我们认为珍妮特,托马斯和庞马雷特介绍的分离,用于代数分析偏微分方程。 鉴于不自主的分裂,我们定义了一个不自主的减少和不自主的正常形式。 然后我们引入,就后者而言,多项式系统的不自主性概念。 我们证明,一个不由自主的系统是一个特殊的,通常是冗余的,形式的Groebner基础。 提出了构建无主基础的算法。 事实证明,满足某些条件的不由自主的划分,例如珍妮特和托马斯的分裂,为任何多项式理想提供了不自主的基础的算法构建。 还分析了计算不自主基础的一些优化。 特别是,我们纳入了Buchberger的链标准,以避免不必要的削减。 Pommaret分部的实施已在Reduce中完成。
调查了关于同质代数方程系统根系移的问题。 讨论了它将多个根的保存和分解成简单的根。
在本文中,研究了庞马雷特和珍妮特多项式理想的基础之间的关系。 事实证明,如果一个理想有一个有限的Pommapret基础,那么后者是一个最小的珍妮特基础。 描述了最初由Zharkov设计的用于计算Janet碱基的相关算法的改进版本。 对于具有有限Pommaret基础的理想,该算法计算此基础。 否则,该算法计算一个不需要最小的Janet基础。 获得的结果被概括为线性差分理想。
在最近的一篇论文中,我。 塞莱斯尼克和C.S. Burrus开发了一种设计方法,用于最大扁平的FIR低通数字滤波器,减少组延迟。 他们的方法导致一个多项式方程系统取决于三个整数设计参数 K,L,M。 在某些情况下(他们的“区域I”),Selesnick和Burrus只能使用线性代数来导出解决方案;对于其余情况(“地区II”),他们建议使用Gröbner碱基。 本文介绍了一种基于多多项式结果的不同方法,用于分析和解决Selesnick-Burrus设计方程。 介绍了计算结果,并证明了关于设计参数函数的解决方案数量的一些模式。
在本文中,我们介绍了一种构建最小非转用多项式基数的算法,这些基是特殊形式的Groebner基础。 最普遍的无量算法是基于非自愿的单体分割的概念,导致变量分割成乘法和非乘法。 因此,该分区提供了自我一致的计算过程,通过执行非乘法延长和乘法减少来构建非转用基础。 每个特定的无转单位划分都会生成一种特定形式的非转机计算过程。 除了托马斯,珍妮特和庞马雷特用于分析偏微分方程的三个不自主的划分,我们定义了两个新的。 这两个划分,以及托马斯划分,并不取决于变量的顺序。 我们证明了新划分的无性,连续性和构造性,为任何有限的输入多项式和任何可接受的单项排序提供了不自主算法的正确性和终止。 我们表明,鉴于可接受的单体排序,一个单一最小的非转义基础是独特的定义,因此可以被认为是规范,就像减少的Groebner基础一样。
我们给出了一个必要和足够的图形理论表征图的图的图理想是一模数的。 作为直接结果,我们通过证明图G的发生率矩阵是单模的,如果并且只有在G的任何一个两个奇周期相交的情况下,才提供单模图的结构。
在本文中，我们通过提出一种抗量子攻击的密钥建立协议，探索了通用Gröbner基在公钥密码学中的应用。该协议利用多项式理想I的通用Gröbner基𝒰_I作为私钥，利用了生成解密所需的通用Gröbner基与加密使用的单个Gröbner基之间的计算差异。系统的安全性在于直接计算构造𝒰_I所需的I的Gröbner扇的困难性。我们分析了协议的安全性及其各种参数的复杂度。此外，我们还提供了递归生成图的环面理想的𝒰_I的有效方法，这些技术对于研究这些理想也具有独立意义。
为了更好地理解n×m变量多项式环上的双行列式（=子式乘积）基，我们不仅为直化律代数（ASLs或Hodge代数）开发了Gröbner基的理论与算法，还为任何配备"单项式"概念（推广ASLs的标准单项式）和适当项序的域上交换代数开发了相应理论。我们发展的理论完全"原生"于代数A及其给定的单项式概念，而不是将这样的代数A视为多项式环的商，然后将理想从A"提升"到多项式环中的理想。当应用于双行列式的情况时，这使我们能够以清晰的方式封装关于双行列式的几个标准结果，从而得到新的结果。特别地，一旦理论建立起来，它让我们能够给出一个几乎平凡的证明，证明对于任何t，t-子式理想存在一个通用Gröbner基（在我们的意义下）。我们注意到，这里理论必须原生于A及其给定的单项式结构是至关重要的，因为在由双行列式给出的标准单项式结构中，每个t-子式是一个单一变量，而不是t!个项的和（在"普通单项式"结构中）。
众所周知,对于二进制代码,可以使用Gröbner碱基获得最小支持的码数子集,可用于确定代码的第二个广义Hamming权重。 在本文中,我们根据非二进制代码建立了条件,其中同一属性持有。 我们还在任何属性不持有的非二进制有限字段上构建一个代码家族。 此外,我们证明,每当通过Gröbner基础获得的子集足以确定第二个广义Hamming重量时,这种不变性也可以从最小自由分辨率的syzygies度中恢复。
本文将扭曲的群代数的推导从生成器和定义组的关系方面进行分类。 特别是,我们将一些对群体代数的认识结果与扭曲的组代数的情况进行推广。 我们将为在生成器上定义的地图提供必要和充分的条件,以扩展到扭曲的组环上的推导。 我们介绍了如何在阿贝尔组或二面体组的情况下使用此结果。 我们还介绍了如何使用这些结果来计算扭曲组代数的第一个Hochschild共生组。
1997年,T.Oaku给出了一种算法,计算将单体D模块限制为线性子空间。 我们考虑了一个参数计算给定全色D模块的限制的问题。 我们将对一般全色D模块的问题给出部分答案,并对超几何全工位D模块给出答案。
提出了一种有效的方法,通过精确计算整数矩阵或等数的约旦块的结构。 我们给出了一个计算具有精确计算的矩阵的Jordan链的方法。 然而,对于仅推导约旦链的结构,可以降低算法以提高效率。 我们为此提议修改算法。 给出了数值实验的结果。
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