数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
我们展示了各种基于投影的线性回归算法,重点是现代机器学习模型及其算法性能。 我们研究放松参数在广义Kaczmarz算法中的作用,并建立一个具有明确 λ 依赖性的先验遗憾界限,以量化算法的性能偏离其最佳性能的程度。 还提供了放松参数的详细分析。 应用包括:Kaczmarz算法模型框架的明确遗憾界限,非正交傅里叶扩展,以及在现代机器学习模型中使用后悔估计,包括用于嘈杂的数据,即嘈杂的Kaczmarz算法的遗憾界限。 在机器学习实践的激励下,我们更广泛的框架处理有边界的运算符(在无限维度的希尔伯特空间上),更新实现为(块)Kaczmarz算法,从而产生新的和多功能的结果。
这项工作扩展了最近推出的Alpha-Procrustes系列黎曼指标,用于对称正确定性(SPD)矩阵,通过包含Bures-Wasserstein(GBW),Log-Euclidean和Wasserstein距离的广义版本。 虽然Alpha-Procrustes框架在有限和无限尺寸的设置中统一了许多经典指标,但它以前缺乏实现这些泛化形式所必需的结构组件。 我们引入了一种基于统一式 Hilbert-Schmidt 运算符和扩展 Mahalanobis 规范的形式主义,该规范允许构建 GBW 和 Log-Hilbert-Schmidt 的健壮、无限维的概括。 我们的方法还集成了一个可学习的正则化参数,在高维比较中增强了几何稳定性。 从文献中复制基准的初步实验证明了我们广义指标的性能提高,特别是在涉及不同维度和规模数据集之间比较的情景中。 这项工作为在机器学习、统计推理和功能数据分析中推进稳健的几何方法奠定了理论和计算基础。
Ginzburg-Landau(GL)在图形上的功能,即图形上图形切割功能的放松,在图像分割和图形聚类方面产生了各种见解。 在本文中,我们通过将图形作为非本地内核的功能分析视图来研究GL函数的大图限制。 对于具有 n 个节点的图形 W_n,相应的图 GL 函数 ^W_n_ 是 W_n 上函数的能量。 我们最大限度地减少了生长图序列上的 GL 函数,这些图形收敛到称为图形的函数。 对于这些图形序列,我们显示图GL功能Γ与连续和非局部功能融合,我们称之为图形GL功能。 我们还研究了图形GL和图形GL函数的锐体界面极限,并将这些限制与非局部总变量(TV)功能联系起来。 我们表达了Young措施的限制GL功能,从而获得了大图限制中变异问题的概率解释。 最后,为了培养对图形 GL 功能的直觉,我们确定了几个图谱家族的 GL 最小化器。
在分段全态函数的多中心表示中,将多项式p根部的拉格朗日插值与p的收敛功率序列相结合,作为“系数”乘以拉格朗日基础多项式。 当这些功率序列被截断时,一个获得Hermite插值多项式。 在本文中,我们首先回顾了不同的方法,以获得多中心表示,重点是零碎常数全态函数。 当多项式为d度并且所有功率序列在n^th功率后被截断时,我们正式进入一个Hermite插值d(n+1)-1度多项式。 代表Hermite插值的自然方法是对每个插值条件有一个基础多项式,在这种情况下导致d(n+1)基础多项式。 然后,我们考虑以不同方式表示和评估Hermite插值的错误的数字积累。 在多中心表示中,由于功率序列的收敛,数值错误随着n的增长而保持边界。 当我们假设分段常数全态函数取一个组件的值1并在另一个组件中消失,以便Hermite插值仅同意一个基础多项式,即使这样截断的多中心表示也是有利的。 在一般情况下,一个将采取所有d(n+1)基础多项式线性组合。
让 C_h 成为将 L^2(Ω_1) 映射到 L^2(Ω_2) 对于一些打开的集合 Ω_1, Ω_2 ⊆R^n 的构图运算符。 我们表征了将L^2(Ω_1)的Riesz碱基转换为L^2(Ω_2)的Riesz碱基的映射h。 将我们的分析限制在可微分映射中,我们证明保存Riesz碱基的映射h具有从零和无穷大边界的Jacobian决定因素。 我们讨论了这些结果对近似理论的影响,强调了使用双子神经网络构建具有有利近似特性的 Riesz 基的潜力。
复杂值函数的近似值具有根本重要性,因为它将经典近似理论推广到复杂领域,为振幅和相位依赖现象提供了严格的框架。 在本文中,我们研究Nevai运算符,由杰出的数学家Paul G制定的概念。 内韦。 我们提出了一系列复杂的Nevai插值运算符,以近似分析和非分析复杂值功能以及图像处理中的真实应用。 在这个方向上,第一个运算符使用第一类Chebyshev多项式构建,即用于近似复杂值的连续函数的复杂广义Nevai运算符。 我们利用连续性模量的概念为提议的操作者确定近似结果。 为了近似不必要的连续但可集成的函数,我们定义了复杂的 Kantorovich 类型 Nevai 运算符,并建立了它们的边界和收敛性。 此外,为了近似保留更高衍生物的功能,我们引入了复杂的Hermite类型Nevai运算符,并使用更高顺序的连续性来研究它们的近似能力。 为了验证理论结果,我们提供了复杂Nevai运算符家族的近似能力的数值插图。
连续助推器变换(CBT)是用于分析时空信号,特别是声波场的强大工具。 克服经典小波的限制,CBT利用庞加莱群和各向异性扩张来捕捉自然声学场的稀疏特征。 本文介绍了CBT的数学框架,包括其定义,基本属性和相关的不确定性原理,如海森堡的,对数,皮特的,和纳扎罗夫的不等式。 这些结果阐明了助推域中时间和频率定位之间的权衡。 具有恒定和指数函数的实际示例突出了CBT的适应性。 凭借在雷达、通信、音频处理和地震分析方面的应用,CBT提供灵活的时频分辨率,使其成为非静止和瞬态信号的理想选择,也是现代信号处理的宝贵工具。
我们为 H.Q 引入的正则化和多视图支持向量机器学习问题的本地化版本证明了一些表示定理。 闵,L。 巴扎尼和 V 。 Murino, Journal of Machine Learning Research, 17(2016) 1-72,涉及操作员重视正半素内核及其复制内核Hilbert空间。 当考虑凸或非凸损耗函数和有限或无限维输入空间时,结果涉及一般情况。 我们表明,对于某些特殊情况,通用框架允许无限尺寸输入空间和非凸损失函数,特别是在损失函数是 Gateaux 微分的情况下。 为指数最小二乘损失函数提供了详细的计算,这些函数导致部分非线性方程的系统,可以使用特定不同类型的牛顿近似方法基于内部点方法。 一些数值实验是在玩具模型上进行的,该模型说明了我们提出的方法的可操作性。
压缩感知已经证明，一般信号x∈𝔽^n（𝔽∈{ℝ,ℂ}）可以从少量线性测量中估计出来，其误差与最佳k项逼近误差成正比，这一性质被称为实例最优性。在本文中，我们研究了在无相位测量背景下使用ℓ_p最小化解码器（其中p ∈ (0, 1]）的实例最优性，涵盖了实数和复数情况。更具体地说，我们证明了通过m = O(k log(n/k))次无相位测量可以实现阶数为k的(2,1)和(1,1)-实例最优性，这与线性测量的结果相平行。这些结果表明，可以从m = O(k log(n/k))次无相位测量中稳定地恢复近似k稀疏信号。我们的方法利用了无相位双Lipschitz条件。此外，我们提出了一个适用于任意固定向量x∈𝔽^n的概率意义上的(2,2)-实例最优性结果的非均匀版本。这些发现揭示了压缩相位恢复与经典压缩感知之间的显著相似性，加深了我们对相位恢复和实例最优性的理解。
我们研究基于排序的嵌入β_𝐀 : ℝ^n×d→ℝ^n×D, 𝐗↦↓(𝐗𝐀)，其中↓表示矩阵的列排序。此类嵌入出现在图深度学习中，其中输出应对图节点的置换保持不变。先前的工作表明，对于足够大的D和适当的𝐀，映射β_𝐀是单射的，并且满足双Lipschitz条件。然而，仍存在两个空白：首先，单射性所需的最优尺寸D尚不清楚；其次，该映射的双Lipschitz常数的估计尚不可知。在本文中，我们在解决这两个空白方面取得了实质性进展。关于第一个空白，我们改进了单射性所需嵌入维度D的最佳已知上界，并提供了最小单射性维度的下界。关于第二个空白，我们构造了矩阵𝐀，使得β_𝐀的双Lipschitz失真与n呈二次依赖关系，并且完全独立于d。我们还证明了β_𝐀的失真至少为Ω(√(n))。最后，我们通过对β_𝐀应用线性投影以减少其输出维度的变体提供了类似的结果。
即使测量值是自适应地选择的,也不可能从R^m中恢复矢量。 最近,已经表明,人们只能使用O(log m)连续(甚至Lipschitz)自适应测量,以任意精度从R^m中恢复向量,从而与各种近似问题的线性信息相比,连续信息呈指数级加速。 值本说明中,我们描述了在熵数方面受到确定性噪声干扰的最佳(非)连续信息的质量。 这表明,在噪声存在的情况下,连续在线性测量的潜在增益是有限的,但在某些情况下很重要。
在这项研究中,我们研究了确定绝对可分离和绝对PPT量子态的最大纯度的问题。 从几何的角度来看,这个问题相当于要求最小球的精确欧几里得半径围绕最大混合状态,其中包括所有绝对可分离或绝对PPT状态的集合。 我们的结果为两个量子位状态提供了分析解决方案。 基于数值计算,我们提出了绝对可分离的量子比特量子比特状态和绝对PPT qutrit-qudit状态的推测最大纯度。
这篇简短的调查文章源于最近在具有添加剂,乘法或梯度噪声的变异配方中随机进化方程的关键案例的进展。 典型的例子表现为随机多孔介质方程,随机快速和超快速扩散方程,自组织临界度,随机奇异p-Laplace方程和随机总变异流等的极限案例。 我们提出了几种不同的解决方案概念,基于参数的解决方案趋同的结果,以及同质化。 此外,我们还提供了一些参考,暗示了最近在规律性结果、长期行为、人体工利和数值分析方面的进展。
这项工作解决了在平行光束和衍射断层扫描的框架内从连续的时间依赖测量中唯一确定旋转运动的问题。 动机源于使用光学或声学镊子操纵和旋转的捕获生物样本成像的挑战。 我们分析了使用无穷小的共同线和圆方法可以单独恢复未知样品的旋转的条件。 我们为样品的结构和诱导运动提供了明确的标准,保证所有旋转参数的独特重建。 此外,我们证明,唯一性失败的一组物体没有密度。
负距离内核 K(x,y):= - x-y 用于统计中最大均值差异(MMD)的定义,并导致各种应用中有利的数值结果。 特别是,处理高维内核求和的所谓切片技术从距离内核的简单无参数结构中获利。 然而,由于其在x=y中的不平滑,大多数经典理论结果,例如,在Wasserstein梯度流的相应MMD功能不再成立。 在本文中,我们提出了一个新的内核,它保持负距离内核的有利属性,作为条件正确定的顺序,具有接近线性的无限和简单的切片结构,但现在是Lipschitz可微分的。 我们的构造基于绝对值函数的简单1D平滑过程,然后是黎曼 - 廖维尔分数积分变换。 数字结果表明,新内核在梯度下降方法中的表现与负距离内核相似,但现在具有理论保证。
本文为 R^n (0⩽ k⩽ n, n⩽ n, n⩾ 1) 中的 HΛ^k 构建了一个统一的不符合有限元空间的家族。 这些空间采用零碎的惠特尼形式作为形状功能,并包括HΛ^0的最低度Crouzeix-Raviart元素空间。 提出了最佳的近似值和均匀的离散庞加莱不等式。 基于新建的有限元空间,建立了带有交换图的离散德拉姆复合物,并建立了离散的亥姆霍兹分解和用于分段常数空间的霍奇分解。 所有涉及的离散运算符都是局部的,按细胞作用。 然后建立一个不符合有限元外部演算的框架,并且自然地连接到经典的符合一个。 符合和不符合有限元空间的合作导致了霍奇拉普拉斯问题的新离散化方案。 新的有限元空间由一种新的方法来构建,旨在模仿相邻操作符之间的双重连接;提出了新颖的构造方法和基本估计。 虽然新空间不符合Ciarlet的有限元定义,但它们承认本地支持的基础函数,每个函数最多跨越两个相邻单元格,这使得本地刚度矩阵的计算和通过遵循标准程序实现全局刚度矩阵的组装。 给出了一些数值实验,以显示新类型的空间的可实施性和性能。
在这项工作中,我们考虑了一类微分方程的准线性系统,它允许描述电液伺服的动力学。 通过短期实验,描述了一种快速识别静态和动态响应的方法。
我们考虑了最近受到广泛关注的Gabor框架的三个问题。 第一个问题涉及L_2(R)中双Gabor帧的有限维方法近似。 利用Wexler-Raz型二元关系,我们得出了一种近似双Gabor帧的方法,这比先前提出的技术要简单得多。 此外,它使我们能够在有限模型的维度接近无穷大时给出近似率的估计值。 第二个问题涉及窗口函数 g 的衰减与其双 γ 之间的关系。 根据交换性 Banach 代数和 Laurent 运算符的结果,我们得出了一个通用条件,在这个条件下,双 γ 继承了 g 的衰变特性。 第三个问题涉及为时间分散通道的正交频率除流(OFDM)系统设计脉冲形状。 特别是,我们提供了一个理论基础,用于构建正交传输函数,这些正交传输功能在时间频率平面中很好地定位。
评估正交Heun函数在真实区间0 <= x <= 1的二次归一化积分的公式,使用基于相关微分方程的简单限制程序得出。 生成的表达式在关于 x=0 和 x=1 及其衍生物的本地电源系列解决方案方面明确给出了归一化积分的值。 这为使用Heun函数开发正态基础的数值集成提供了一种非常有效的替代方案,因为所有所需的信息都可以作为寻找微分方程特征值的副产品。 02.30.Gp; 02.30.Hq; 02.70.-c; 02.60.Jh
本文的目标是了解R^d中一系列函数产生的振荡和浓度效应如何通过采样和重建操作符对常规网格的作用进行修改。 我们的分析是在Wigner和缺陷测量方面进行的,该测量提供了L^2(mathbbR^d)中边界序列的高频行为的定量描述。 我们实际上提出了明确的公式,使计算采样/重建序列的此类测量成为可能。 因此,我们能够表征保存或过滤特定序列类的高频行为的采样和重建运算符。 我们结果的证明依赖于与离散函数序列相关的Wigner度量的构造和操作。
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