数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
我们在一个主要理想领域研究点自由且有限生成的持久性模块,该模块由(可能是无限)完全有序的poset类别索引。 我们表明,如果并且只有当每个结构图都有免费的焦内核时,这些持久化模块才会允许间隔分解。 我们还表明,在无躯干设置中,拓扑空间过滤的整数持久同源模块承认间隔分解,只有当相关的持久性图与系数字段的选择不一时。 这些结果概括了索引类别有限时之前的工。
我们考虑构建由类别 p : D → C 的函子生成的自由双纤维化的问题。 这个问题以前由Lamarche考虑,并且与Dawson,Paré和Pronk认为“自由相邻相邻”的问题密切相关。 我们开发一种解决问题的证明理论方法,从自由双纤维化 Λ_p 的构建开始:Bif(p)→C,其中Bif(p)的对象是原始“bifibrational logic”的公式,箭头是无切序列微积分模量概念的推导。 我们表明,将构造实例化到身份functor会产生一个_zigzag double category_Z(C),这也是C上与同伴和连体(或纤维素双类)的免费双类。 该方法可以顺利地适应构建(P,N)-颤动的更一般的任务,其中人们只要求沿着P中的箭头推进,并且在某些箭头中沿着箭头的回调,其中包括Kock和Joyal在(P,N)形成因子化系统时_ambifibration_的概念。 我们建立了一系列逐渐更强的正常形式,以证明理论的 _focusing_ 思想为指导,并在假设基础类别是相对于 P 和 N 的因子化预序下获得规范的结果。 这种规范结果使我们能够决定单词问题,并列举没有重复的相对集合。 最后,我们描述了几个组合性质的例子,包括作为自由除颤在ω上产生的平面树类别,以及作为Δ的自由模棱两可产生的增加的森林类别,其中包含非交叉分区的格子,作为Beck-Chevalley条件的纤维的引物。
Petri nets的分类建模最近受到很多关注。 方言建筑也得到了相当的关注。 我们重新审视了Dialectica结构的使用,作为Petri nets的分类模型,该模型将原始应用概括为原始应用,以表明具有不同类型过渡的Petri网络可以在相同的分类框架中建模。 代表真值、概率、速率或乘数的转换,在不同的代数结构中评估,称为 lineales 是有用的,并且在同一类别中建模。 我们研究(分类实例)这种广义模型及其与最近分类网模型的连接。
分类理论中的Monads是代数结构,可用于在编程语言中建模计算效应。 我们展示了如何“中心”的概念,以及更普遍的“中心性”,即与所有其他效果一起通勤的效果属性,可以制定为对称一氧化二甲类作用的强单体。 我们确定了三个等价的条件,这些条件表征了一个强大的monad中心的存在(其中一些将其与Power和Robinson的premonoidal中心有关),我们表明,许多众所周知的自然发生的类别中的每一个强monad都承认一个中心,从而表明这个新概念无处不在。 更一般地说,我们研究中央子单体,它们必然是交换的,就像强单的中心一样。 我们通过制定配备中央子单体的lambda calculi方程理论来提供计算解释,我们描述了这些理论的分类模型,并为我们的语义证明了健全性,完整性和内部语言结果。
本着Curry-Howard在证明和程序之间的对应关系的精神,我们定义和研究经典逻辑的语法和语义,该逻辑配备了计算不自主的否定,使用极化效应演算,线性经典L-演算。 为微积分设计一个表示语义的主要挑战是同时适应逐值调用和逐名调用评估策略,这导致组合的关联性失败。 为了解决这个问题,我们定义了非关联类别的图形态之间的辅助概念,我们用它来制定对称单体封闭duploid和对话duploid的两极化和非关联概念。 我们表明,它们为辅助模型提供了一个直接的风格对应:线性效应辅助分别用于线性延续的(线性)调用-逐推值微积分和对话手性。 特别是,我们表明线性经典L-演算的语法可以在任何对话dulaid中解释,并且它实际上定义了句法对话duploid。 作为一个应用程序,我们通过语义和句法手段建立了长谷川-蒂莱克定理,该定理指出,中央地图和可通俗地图的概念在任何对话duploid中是一致的(特别是对于对称一元类的任何双重否定monad)。
本文通过基于范畴论的新颖同调代数方法，建立了复杂度类P与NP的分离。我们构建了计算范畴Comp，将计算问题和归约嵌入到统一的范畴框架中。通过发展计算同调理论，我们将每个问题L与一个链复形C_∙(L)相关联，其同调群H_n(L)捕捉了计算过程的拓扑不变量。我们的主要结果表明，P类问题表现出平凡的计算同调（对所有n>0有H_n(L)=0），而NP完全问题如SAT具有非平凡同调（H_1(SAT)≠0）。这种同调区别提供了使用拓扑方法对P≠NP的第一个严格证明。该证明在Lean 4中进行了形式化验证，确保了绝对的数学严谨性。我们的工作开创了计算拓扑学作为复杂性分析的新范式，提供了比传统组合方法更精细的区分，并建立了结构复杂性理论与同调不变量之间的联系。
我们研究了索引范畴𝖫𝖢^op→𝖢𝖠𝖳的格罗滕迪克构造Σ_𝖢𝖫的范畴结构。我们的分析从纤维极限、余极限和幺半（闭）结构的特征化开始。对纤维余极限的研究自然地引出了在CHAD中为表达性全语言引入的扩展索引范畴概念的推广，并产生了左Kan可扩展性的概念，这为计算格罗滕迪克构造中的余极限提供了一个统一框架。然后我们建立了总范畴Σ_𝖢𝖫的（非纤维）幺半闭包的充分条件。这扩展了哥德尔的Dialectica解释，并基于一个新的Σ-可处理幺半结构概念。在这一概念下，Σ-可处理余积统一并扩展了余笛卡尔余闭结构、双积和扩展余积。最后，我们考虑了诱导闭结构何时是纤维的，表明即使在存在纤维幺半结构的情况下，这通常也不成立。
定向类型理论领域寻求设计能够合成(更高)类别推理的类型理论,通过将Martin-Löf类型理论的对称身份类型进行概括为不对称的hom-types。 我们阐明了类别模型的定向类型理论,具有跟踪方差的适当模式和一个强大的定向J规则,能够证明关于hom类型的任意术语的结果;我们把这条规则用于在合成1类理论中制作几种结构。 因为这个理论完全用广义的代数理论来表达,我们自动知道这种定向类型理论承认语法模型,是指向更高观测类型理论的第一步。
通过证明闵可夫斯基对关键决定因素的猜想的例子,我们给出了一个区间计算的类别理论框架。
我们引入半帧(代数结构),并研究它们与半拓扑(拓扑结构)的二元性。 分拓扑和半帧都是相对较新的发展,源于拓扑思想研究分散计算系统的新应用。 分词学通过消除开放集合的交叉点必然是开放的条件来概括拓扑。 动机来自于在分布式系统中确定可操作联盟的概念 - 一组参与者有足够的资源让其成员合作采取一些行动 - 开放集; 因为仅仅因为两组是可操作的(有采取行动的资源)并不一定意味着他们的交集是。 我们定义了类别和形态的概念,并证明了(清醒)半帧和(空间)半拓扑之间的绝对二元性,并且我们研究了与理解分散系统相关的关键良好性能,跨二元性转移(或不转移)的关键良好性能。
微分范畴是一个加法对称幺半范畴，即一个在交换幺半群上丰富的对称幺半范畴，具有一个代数模态（公理化光滑函数）以及该代数模态上的一个导出变换（公理化微分）。Lemay证明了余幺半代数模态至多有一个导出变换，因此在微分线性逻辑的模型中微分是唯一的。随后一个开放问题是这个结果是否推广到任意代数模态。我们对此问题给出了否定回答。我们在交换幺半群范畴上构造了一个自由的"带自映射的交换环胚"代数模态，其中自映射可被视为任意光滑函数。然后我们在这个代数模态上定义了一个可数的不同导出变换族(_n𝖽)_n ∈ℕ，其中参数n控制自映射的导数。这表明在微分范畴中，单个代数模态可能允许多个不等价的微分概念。
我们开创性地发展了一种用于量子音乐的新语言和理论，我们称之为量子概念音乐（QCM）。这种新的音乐形式主义基于范畴量子力学（CQM），更具体地说，是基于其图示化体现——量子图示主义（QPict），后者严重依赖于ZX演算。事实上，它是从CQM/QPict自然继承而来的。其核心是对存在于音乐创作、表演和自动化关键概念内部和之间关系的明确符号表示。QCM还使得人们能够以既直观明显又严谨机械的方式直接将量子现象转化为音乐作品。遵循这一模式，我们提出了一个乐谱，其中音乐家的互动就像测量下的贝尔对，并概述了如何现场表演的示例。虽然大多数西方古典音乐记谱法严重依赖音乐的线性表示——这并不总能充分捕捉音乐的本质——但我们的方法通过突出音乐的基本关系维度而显得独特。此外，这种基于量子的技术不仅在深刻的创作层面影响音乐，而且对现场表演有直接影响，并为自动化音乐（例如在AI生成的背景下）提供了新的模板。总之，我们开创了一种新的音乐形式主义的创建，它在捕捉音乐的互动本质（包括内部和外部互动）方面强大而高效，并超越了西方古典音乐记谱法的界限，使其能够在许多不同的流派和方向中使用。
我们为同源类型理论(HoTT)提供了新的建设性证明。 正法证明通常涉及对类型理论语法的粘合结构。 相反,我们使用粘合结构来“严格Rezk完成”的HoTT语法。 严格的Rezk完成是在笛卡立方集的托普中指定和构建的。 它完成了HoTT模型,相当于一个满足完整性条件的模型,提供了身份类型和术语之间的立方路径之间的等价。 这概括了普通Rezk完成1类。
我们表明,在具有某些 lex,可访问模式的同源类型理论中,这些图具有扩展的 ∞- 徽标,使我们能够使用纯同源类型理论来推理,不仅对单个 ∞-logos 进行推理,而且还可以推理 ∞-logos 的图表。 这也提供了Sterling合成Tait可计算性的更高维度版本 - 一种用于更高维度逻辑关系的类型理论。
在这篇文章中,我们建立了计算场理论的基础,我们将其术语为拓扑Kleene场理论(TKFT),灵感来自Stephen Kleene关于部分递归函数的开创性工作,并与拓扑场理论绘制相似之处。 我们的核心结果表明,任何可计算函数都可以通过具有良好本地属性的向量场的平滑波纹上的流来模拟,为图灵机器设置计算的替代模型。 因此,我们确定一个可计算函数可以在一个动态系统的单一操作中完全实现,这与以前的计算被编码为迭代过程的工作不同。 可计算函数的输出直接出现,为加速计算物理实现的潜在应用奠定了基础。
我们提出了一个计算控制理论，包含七个自然可解释的方程。将这些方程添加到基础prop的电路中可以构建受控电路，这在可逆布尔电路和量子电路的示例中得到了验证。我们证明这种句法构造在语义上对应于在基础prop上取自由带单位半环范畴。
我们探索了直觉乘法加线性逻辑的证明语言,结合了引入加法对具有概率消除的sup连接,以及校内的总和和标量产品。 我们提供了一个语言的抽象特征,揭示了任何对称的单向封闭类别与双产品和一个单态从标量半环到半环Hom(I,I)是适合这项工作。 利用二进制双产品,我们在sup connective的核心定义一个加权的对角线图。
Colcombet和Petrişan认为,自动机可以从函授的角度进行有用的考虑,将基于函子的“V-automaton”的一般概念引入V。 这使他们能够通过适当选择V来恢复不同的自动机标准概念,他们使用Set和Rel之间的Kleisli辅助进一步分析了Rel-automata的确定性。 在本文中,我们从纤维化的角度重新审视了Colcombet和Petrişan的分析,以Melliès和Zeilberger最近对分类自动机的替代但相关的定义为基础,作为满足有限纤维和独特提升因子特性的函子。 在这样做的过程中,我们从三个方面提高了对决定化的理解:首先,我们仔细描述了确定性在向后模拟方面的普遍性质。 其次,我们使用SpanSet和Rel之间的本地连接来推广Rel自动机的确定性化过程,这为我们提供了规范的向前模拟。 最后,我们还提出了基于保留路径的多集相对加分的替代确定性,我们利用这一点来提供规范的向后模拟。
我们提出了高阶 DisCoCat(分类组合分布)模型的新定义,其中单词的含义不是图,而是图值高阶函数。 我们的模型可以被视为基于lambda演算的Montague语义的变体,其中原语作用于字符串图而不是逻辑公式。 作为特殊情况,我们展示了如何从 Lambek 演算转化为 Peirce 的系统测试版,用于一阶逻辑。 这使我们能够对自然语言语义中的高阶和非线性过程进行纯粹的图解处理:副词、介词、否定和量词。 本文中的定义附带了一个概念验证实现,DisCoPy是字符串图的Python库。
分类理论为知识表示和数据库系统提供了数学基础。 流行的现有方法将数据库实例建模为集合和函数的类别,或作为2个functor进入集合,关系和影响的2类。 功能和关系模型由双函子统一为集、功能、关系和影响的双重类别。 在可访问的,示例驱动的风格中,我们表明“关系双重类别”的抽象结构是一种灵活而富有表现力的语言,其中可以代表知识,我们展示了如何以Codd的关系代数的精神对数据的查询如何被双重功能语义捕获。
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