群论研究快报
用 AI 跟踪日新月异的群论领域进展
无限组的隐藏子组问题
遵循Shor在整数中进行时期查找的算法的例子,我们探索了离散无限组的隐藏子组问题(HSP)。 在硬度方面,我们表明HSP对于理性数的添加剂组和非非阿贝尔自由组的正常子组来说是NP-硬的。 我们还间接将短向向问题的一个版本减少到 Z^k 的伪多项式查询成本中的 HSP。 在算法方面,我们将 Z^k 中的 HSP 的 Shor-Kitaev 算法(具有标准的多项式查询成本)推广到隐藏子组存在缺陷等级或等效无限索引的情况。 最后,我们概述了阿贝尔隐藏移位问题(AHShP)的拉伸指数时间算法,扩展了作者以及Regev和Peikert的前期工作。 因此,在任何有限生成的 HSP 中,几乎 abelian 组也有一个拉伸的指数时间算法。
平行运动机械手逆动力学的递归时间衍生物的递归 Lie-Group配方
系列弹性执行器(SEA)被引入用于串行机械臂。 他们基于模型的轨迹跟踪控制需要逆动力学解决方案的第二次衍生物,为此提出了算法。 尚未对配备SEA的平行运动力学(PKM)进行轨迹控制。 关键因素是对逆动力学解决方案第二次衍生物的计算效率评估。 这在文献中尚未提出,并且首次在本文件中讨论。 PKM的特殊拓扑结构被利用回传算法来评估串行机器人的逆向动力学。 使用谎言组的公式,所有的关系都在这个框架内衍生。 对于6-DOF Gough-Stewart平台(作为外骨骼的一部分)以及应用基于平整的控制方案时,为平面PKM提供数值结果。
相关分类
最新研究
无限组的隐藏子组问题
遵循Shor在整数中进行时期查找的算法的例子,我们探索了离散无限组的隐藏子组问题(HSP)。 在硬度方面,我们表明HSP对于理性数的添加剂组和非非阿贝尔自由组的正常子组来说是NP-硬的。 我们还间接将短向向问题的一个版本减少到 Z^k 的伪多项式查询成本中的 HSP。 在算法方面,我们将 Z^k 中的 HSP 的 Shor-Kitaev 算法(具有标准的多项式查询成本)推广到隐藏子组存在缺陷等级或等效无限索引的情况。 最后,我们概述了阿贝尔隐藏移位问题(AHShP)的拉伸指数时间算法,扩展了作者以及Regev和Peikert的前期工作。 因此,在任何有限生成的 HSP 中,几乎 abelian 组也有一个拉伸的指数时间算法。
共藻消除
我们开发共称的消除算法。 这种使用简单行操作的算法将共词矩阵还原为对角矩阵。 该算法导致任意矩阵分解为共性矩阵和缩小矩阵的产物。 这种分解类似于长期研究的SR分解,类似于QR分解。
基于神经网络的新型后量子安全数字签名计划
数字签名是基本的加密原语,可确保数字文档的真实性和完整性。 在后量子时代,由于量子算法的计算能力,经典的基于公钥的签名方案很容易受到蛮力和密钥恢复攻击。 多变量基于多项式签名方案是加密结构之一,为抵御此类量子威胁提供了强大的安全保障。 随着神经网络能力的不断增长,探索其在加密原语设计中的潜在应用是自然的。 神经网络固有地捕获数据中的非线性关系,这些关系被编码在其突触重量矩阵和偏置向量中。 在本文中,我们提出了一种新的构建基于多变量多项式的数字签名方案,利用神经网络架构。 具有二进制权重的神经网络用于定义签名方案的中心结构。 该设计引入了一个循环随机向量,在功能上类似于注意力机制,它根据以前的状态贡献了动态随机性,从而增强了方案的安全性。 事实证明,拟议的签名方案为自适应选择消息攻击(EUF-CMA)下的存在不可防御性提供了安全性。 此外,事实证明,旨在恢复私钥的直接攻击在多项式的时间内在计算上是不可行的,即使在量子计算能力的存在下也是如此。 还评估了拟议方案的运作特点,结果表明,在后量子加密应用中,效率和实际可行性显著。
平行运动机械手逆动力学的递归时间衍生物的递归 Lie-Group配方
系列弹性执行器(SEA)被引入用于串行机械臂。 他们基于模型的轨迹跟踪控制需要逆动力学解决方案的第二次衍生物,为此提出了算法。 尚未对配备SEA的平行运动力学(PKM)进行轨迹控制。 关键因素是对逆动力学解决方案第二次衍生物的计算效率评估。 这在文献中尚未提出,并且首次在本文件中讨论。 PKM的特殊拓扑结构被利用回传算法来评估串行机器人的逆向动力学。 使用谎言组的公式,所有的关系都在这个框架内衍生。 对于6-DOF Gough-Stewart平台(作为外骨骼的一部分)以及应用基于平整的控制方案时,为平面PKM提供数值结果。
关于灯火灯组的有限扩展
我们研究一个由最简单的灯管组扩展组成的群体家族。 我们使用这些组来回答组合组理论中的多个开放问题,提供表现出各种属性组合的组:1)可决定的亚组成员和不可判定的统一亚组成员问题,2)理性卷增长系列和不可判定的单词问题;3)共轭大地测量学的递归(甚至无上下文)语言,可决定的单词问题和不可决定的共轭问题。 我们还考虑了该类中的共字问题、剩余有限性和同构问题。
刚性身体系统运动方程的封闭形式时间衍生物
描述刚体系统动力学的运动方程(EOM)的衍生物对机器人社区越来越相关,并在机器人系统的设计和控制中发现了许多应用。 控制机器人,特别是包括弹性组件的多体系统,不仅需要平滑的轨迹,还需要控制力/转子的时间衍生物,因此需要EOM。 本文以封闭形式呈现EOM的时间导数,最高为二阶,作为现有递归算法的替代配方,为衍生物的结构提供了直接的见解。 用于刚体系统的Lie组配方可产生非常紧凑且易于参数化的方程。
关于群体上定义的图形问题的复杂性
我们研究在组上定义的图形上图形问题的复杂性,特别是功率图。 我们观察到一个等形不变量问题,如Hamiltonian Path,Partition into Cliques, Feedback Vertex Set,Subgraph Isomorphism,对于功率图,通勤图,增强功率图,定向功率图和边界度Cayley图形,假设指数时间假说(ETH)。 一个类似的结果适用于同质化不变组问题:除非ETH是假的,否则没有这样的问题可以是NP-complete。 我们表明加权 Max-Cut 问题在功率图中是 NP 完全的。 我们还表明,除非ETH是假的,否则Graph Motif问题无法在功率图上的准多项式时间解决,即使是循环组的功率图。 我们研究了当加值矩阵或列表作为输入给出时,功率图的识别问题,并表明对于阿贝尔亚组和一些类别的无量组,它在多项式时间可以解决。
群上的压缩函数及其在全同态加密中的应用
全同态加密(FHE)允许实体在不解密密文的情况下对加密数据执行任意计算。当前一种基于群论的FHE构造方法使用特定"压缩"函数F(x)，该函数通过给定有限群G上的群运算实现，且满足F(1)=1以及F(σ)=F(σ²)=σ，其中σ∈G是某个3阶元素。先前工作仅通过启发式方法给出了对称群G=S_5上此类函数的一个示例。本文系统研究了各类群上此类函数存在的可能性。我们证明在任何可解群(如阿贝尔群和较小对称群S_n，n≤4)上不存在此类函数。同时我们在交错群G=A_5上构造了具有最短表达式的此类函数。此外，通过使用这个新函数，我们将FHE方案的构造归约为在群A_5上构造同态加密方案，这比已知的归约方法更高效。
关于无阿贝尔正规子群的群的描述复杂性
本文通过考察Hella（Ann. Pure Appl. Log., 1989）层次结构中第二Ehrenfeucht–Fraïssé双射鹅卵石游戏的力量，探索了有限群的描述复杂性理论。这是一个Spoiler–Duplicator游戏，其中Spoiler每轮可以放置最多两个鹅卵石。虽然它平凡地解决了图同构问题，但对于有限群和其他三元关系结构来说，它可能是非平凡的。我们首先提供了一个Weisfeiler–Leman（WL）着色的新颖推广，我们称之为2-ary WL。然后我们展示了2-ary WL等同于Hella层次结构中的第二Ehrenfeucht–Fraïssé双射鹅卵石游戏。我们的主要结果是，在鹅卵石游戏的特征描述中，仅需O(1)鹅卵石和O(1)轮就足以识别所有无阿贝尔正规子群的群（一类已知同构测试在𝖯中的群；Babai, Codenotti, Qiao, ICALP 2012）。实际上，我们展示了7个鹅卵石和7轮就足够了。特别是，我们展示了在前几轮中，Spoiler可以迫使Duplicator在每轮后续中选择两个这样的群之间的同构。根据Hella的结果（ibid.），这等同于说这些群是由具有广义2-ary量词的一阶逻辑公式识别的，仅使用7个变量和量词深度7。
通过径向转换依赖和经典FFT在Z^2 SE(2)上的快速卷积
让 Z^2 SE(2) 表示由非阿贝尔平面运动 SE(2) 组中正交晶格的翻译等向异量组成的子组的右表空间。 本文开发了一个快速准确的数值方案,用于近似Z^2 SE(2)上的函数。 我们使用有限傅里叶系数在右侧显式空间 Z^2 SE(2) 上处理有限傅里叶系列功能。 对有限傅里叶系数的收敛/误差分析进行了研究。 条件被设定为有限的傅里叶系数收敛到傅里叶系数。 讨论了有限变换的矩阵形式。 考虑实现离散方法计算SE(2)卷积的数值近似与翻译中径向的函数。 本文最后讨论了数值方案开发快速算法的能力,以近似翻译中具有径向函数的多个卷积。
张量、组和立方体形式的同构问题:完整性和还原性
在本文中,我们考虑了测试张量、p组、立方体、代数等的同构性问题,这些问题来自各种领域,包括机器学习、群论和密码学。 这些问题都可以在不同的组作用下作为多向阵列的轨道问题。 我们的前两个主要结果是:1。 所有上述同构问题在多项式时间缩短下均等同,与Futorny-Grochow-Sergeichuk(林)最近的结果一起。 阿尔格。 Appl .,2019年)。 2. d-tensors的异构性降低为3个张量的非同构,对于任何d≥3。 我们的结果表明,这些同构问题形成了一个丰富而健壮的等价类,我们称之为Tensor Isomorphism-complete或TI-complete。 然后,我们利用上述结果中使用的技术,证明组异构(GpI)的两个首创结果:3。 我们为 p 组的 p 组和小类 (c < p) 的 p 组提供从 GpI 还原到 p 的 p 组的 p 组和 2 类。 后者被广泛认为是GpI最难的案例,但就我们所知,这是从任何更一般的类群体到这个类的第一次减少。 4. 我们给出了一个搜索到决策的异构性p组的指数p组和2类的时间 |G|^O(loglog |G|)。 虽然对图谱异构(GI)的搜索到决策的减少已经为人所知了40多年,但据我们所知,这是GpI背景下的第一次非平凡的搜索决策减少。 我们用于(1),(3)和(4)的主要技术是经典图形着色小工具的线性代数模拟,用于获得GI的搜索决策减少。 这个小工具结构可能是独立的兴趣和效用。 (2)的技术给出了一种将任意张量编码到代数的方法。
图表香农容量的组理论方法,以及晶格包装的极限定理
我们开发一个群体理论的方法来解决香农的能力问题。 使用这种方法,我们以结构化和统一的方式扩展和恢复以前已知的下界的各种家族。 Bohman(2003)证明,在极限p→∞中,循环图Θ(C_p)的香农容量收敛到覆盖数的分数,即lim_p →∞ p/2 - Θ(C_p) = 0。 我们通过证明所有分数图:lim_p/q →∞ p/q - Θ(E_p/q) = 0 来加强这一结果。 在这里,分数图 E_p/q 是带有顶点集 Z/pZ 的图,其中两个不同的顶点相邻,只有当它们的距离 mod p 严格小于 q 时。 我们通过群理论方法获得限制。 特别是,我们在分数图的功率中构建的独立集合是子组(事实上是格子)。 我们的方法规避了Calderbank-Frankl-Graham-Li-Shepp(1993)和Guuruswami-Riazanov(2021)独立组结构(“线性”)结构的已知障碍。
用于使用空间表示的串行操纵器的高阶运动学和逆动力学的 O(n)-算法
一般的最佳控制,特别是基于平整度的控制,机器人手臂需要计算实现所需运动所需的接头扭矩/力的第一次和第二次衍生物。 鉴于所需的计算效率,为此提出了递归O(n)算法。 针对紧凑而高效的配方,最近提出了Lie组的配方,利用扭曲和扳手的身体固定和混合表示。 本文使用空间表示引入了公式。 第二阶逆动力学算法伴随着四阶向前和逆运动学算法。 所有Lie组配方的一个优点是,它们可以用现成的矢量进行参数化。 该方法为7 DOF Franka Emika Panda机器人演示。
部分交换结构上词方程的解
设 M(A,I) 为带有对合的自由部分交换幺半群，G(A,I) 为其商群，例如右角 Artin 或 Coxeter 群。给定一个在 M(A,I) 上的具有可识别约束的词方程系统，输入大小为 n，我们展示了该系统解集的结构结果：M(A,I) 或群 G(A,I) 中的所有解集是一个 EDT0L 语言。也就是说，它由一个识别某种扩展幺半群上端态射的 NFA 𝒜 给出。此外，𝒜 可以通过 NSPACE(n log n)-转换器有效地构造。这意味着可满足性：`该系统是否可解？` 和有限性：`是否有无限多个解？` 可以在 NSPACE(n log n) 中判定。在一致版本中，这些问题是 PSPACE 完全的，但对于一类合适的约束子类，我们有更精确的复杂度，并且我们推测在这种情况下的决策问题是 NP 完全的。我们的结果也适用于自由幺半群上的词方程，在经典情况下，对合运算是将单词从右到左读取。这允许指定解被限制为回文。
ℤ^2 的特殊仿射群中的恒等性问题
我们考虑在特殊仿射群 𝖲𝖠(2, ℤ) = ℤ^2 ⋊𝖲𝖫(2, ℤ) 中定义的半群算法问题，该群是保持方向的晶格 ℤ^2 的仿射变换群。 我们的论文重点研究 Choffrut 和 Karhumäki (2005) 提出的两个判定问题：半群是否包含一个中性元素？以及半群是否为一个群？针对 𝖲𝖠(2, ℤ) 的有限生成子半群。我们证明了这两个问题都是可判定的且 NP 完全的。由于 𝖲𝖫(2, ℤ) ≤𝖲𝖠(2, ℤ) ≤𝖲𝖫(3, ℤ)，我们的结果扩展了 Bell、Hirvensalo 和 Potapov (2017) 关于 𝖲𝖫(2, ℤ) 中这两个问题 NP 完全性的结果，并为解决 𝖲𝖫(3, ℤ) 中的开放问题迈出了第一步。
n维灯笼群中的子幺半群成员判定与S-单位方程
我们证明了对于任何素数p和整数n，n维灯笼群(ℤ/pℤ) ≀ℤ^n中的子幺半群成员判定是可决定的。更一般地，我们证明了形如𝒴⋊ℤ^n的半直积中子幺半群成员判定的可决性，其中𝒴是Laurent多项式环𝔽_p[X_1^±, …, X_n^±]上的任何有限表示模。结合Shafrir (2024)的结果，这给出了一个群G和一个有限指标子群G≤ G的第一个例子，使得子幺半群成员判定在G中是可决定的，但在G中是不可决定的。为了获得我们的可决性结果，我们将𝒴⋊ℤ^n中的子幺半群成员判定归结为求解𝔽_p[X_1^±, …, X_n^±]-模上的S-单位方程。我们证明了此类方程的解集是有效p-自动的，扩展了Adamczewski和Bell (2012)的结果。作为中间结果，我们还获得了𝒴⋊ℤ^n中背包问题的解集是有效p-自动的。
Stark-Coleman Invariants and Quantum Lower Bounds: A Integrated Framework for Real Quadratic Fields(Stark-Coleman Invariants and Quantum Lower Bounds: An Integrated Framework for Real Quadratic Fields
真实二次场的类群代表了代数数论中具有显著计算意义的基本结构。 虽然斯塔克的猜想在特殊单位和类群结构之间建立了理论联系,但明确的结构仍然难以捉摸,并且缺乏类群计算的精确量子复杂性边界。 在这里,我们建立了一个集成框架,通过p-adic Hodge理论和扩展Coleman集成的综合来定义Stark-Coleman不变 κ_p(K) = log_p(ε_St,p)) p^ord_p(Δ_K)。 我们证明这些不变性在通用黎曼假说(GRH)下分类类组,解决了判别D > 10^32的同构问题。 此外,我们证明这种方法为类群离散对数问题产生量子下限exp(Ω(log D/(logD)^2)),在缺乏显式常量的前边界上改进。 我们的结果表明,斯塔克单位约束了类群的几何组织,为计算复杂性障碍提供了理论见解。
无限变换的吸入器-圆符号
我们描述了有限变换的新符号。 这种吸引物循环符号扩展了排列的轨道周期符号,并以现有的变换符号为基础。 有限变换的吸引盆地如何流入排列的轨道周期,从符号中可见。 它洞察了变换的结构,在不增加符号类型数量的情况下减少了表达式的长度。
群序逻辑
我们引入了定点逻辑 (𝖥𝖯) 的一个扩展，即群序算子 (𝗈𝗋𝖽)，该算子计算由可定义置换集生成的群的大小。该运算是秩算子 (𝗋𝗄) 的推广。我们证明，𝖥𝖯 + 𝗈𝗋𝖽 构成了多项式时间可计算查询 (𝖯) 的一个新的候选逻辑。与𝖥𝖯 + 𝗋𝗄 类似，𝖥𝖯 + 𝗈𝗋𝖽 公式模型检查在多项式时间内可计算。此外，Lichter 在他最近的突破性研究中展示的将𝖥𝖯 + 𝗋𝗄 与 𝖯 分离的查询可以用𝖥𝖯 + 𝗈𝗋𝖽 定义。具体来说，我们证明𝖥𝖯 + 𝗈𝗋𝖽 正则化具有阿贝尔颜色的结构，该结构包含 Lichter 的反例。该证明涉及在逻辑𝖥𝖯+ 𝗈𝗋𝖽 中表达基于群论的图正则化方法的片段。
几何和具有非对称成本功能的连衣裙组
定义度量关系是对称的。 由于许多数据集都是非对称的,本文我们开发了一个非对称成本函数的系统理论。 关系关系起着重要的作用。 我们还在非对称设置中引入了着装组的概念,并表明了曲率的概念。