数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
使用生成式AI模型进行高级数学的主要缺点是,这些模型不是逻辑推理引擎。 然而,大型语言模型及其改进可以在高等数学中选择人类难以看到的模式。 通过将生成式AI模型的设计发挥优势,数学家可以将它们用作强大的交互助手,可以执行繁琐的任务,生成和调试代码,检查示例,制定猜想等等。 我们讨论了如何利用生成式AI模型推进数学研究。 我们还讨论了他们与计算机代数系统和Lean等正式证明助手的集成。
我们证明(使用语法)每个有限等级的自由逆单体都有共同上下文的单词问题。 相当于,每个有限等级的自由逆单义的共同词问题是无上下文的。
Civino 等人 (2019)已经展示了一些扩散层如何在使用来自组异构到消息空间上的翻译组的替代操作时,将替换-万变网络暴露于差分加密分析的漏洞。 在这项研究中,我们提出了扩散层的分类,这些扩散层在某些平行的替代操作上表现出线性度,从而有可能同时针对块内的所有s-box进行替代差速攻击。 此外,我们调查了Leander和Poschmann(2007)定义的所有类别最佳4位s-box的替代操作的差异行为。 我们的检查显示,某些类包含弱排列 w.r.t. 替代差分攻击。 最后,我们利用这些漏洞执行了一系列实验,展示了与经典操作相比,使用并行替代操作执行的密码分析的有效性。
我们提出了GRAFHEN,一种新的加密方案,提供完全同态加密,无需引导(或者换句话说,没有噪音)。 在Nuida和其他人的工作基础上,我们使用组中的编码来实现这一点。 这些组在机器上使用重写系统表示。 通过这种方式,攻击者必须解决的子组成员资格问题才能打破方案,从而变得极其困难,同时保留性能。 事实上,我们包括一个简单的基准,表明我们的实施运行速度比现有标准快几个数量级。 我们审查许多针对我们协议的可能攻击,并解释如何在每种情况下保护该计划。
我们证明,对于每个可计数的字符串图 S,有一个带有 V(G)=V(S) 的平面图 G,使得 1/23660800d_S(u,v) ≤ d_G(u,v) ≤ 162 d_S(u,v) ≤ 162 d_S(u,v) 的 u,v ,其中 d_S(u,v), d_G(u,v) 表示 u 和 v 之间的距离。 换句话说,字符串图形是准等距平面图。 这个定理从平面图提升到弦图,我们举了一些例子。 字符串图形最多有Assouad-Nagata(和渐近尺寸)。 连接的,本地有限,准瞬态字符串图是可访问的。 有限生成的组 Γ 实际上是自由和表面组的自由产品,如果并且只有在 Γ 准对字符串图时。 另外两个推论是,可计数平面公制图和完整的黎曼平面平面图也是与平面图的准等距图,它回答了Georgakopoulos和Papasoglu的问题。 对于有限字符串图形和平面公制图,我们的证明产生多项式时间(对于字符串图形,这是以输入中给出的表示的大小而言)算法用于生成这种准等距平面图。
本文是一系列研究中的第二篇,这些研究是在非常大的图形上开发基于人工智能的高效方法(例如: 10^70个节点),专注于Cayley图形和数学应用。 开源的 CayleyPy 项目是我们研究的核心组成部分。 本文提出了强化学习方法与第一篇论文更直接的扩散距离方法的新组合。 我们的分析包括为该方法的关键构建块进行基准测试:神经网络的架构,随机行走的生成器和波束搜索路径。 我们将这些方法与经典的计算机代数系统GAP进行了比较,证明它们“克服了GAP”的考虑示例。 作为一个特定的数学应用程序,我们检查Cayley图的对称组与循环移位和换位发生器。 我们为OEIS-A186783猜想提供了强有力的支持,即机器学习和数学方法的直径等于n(n-1)/2。 我们识别推测的最长元素,并生成其所需长度的分解。 我们通过呈现具有给定复杂性的算法来证明n(n-1)/2-n/2-n/2的直径下界和n(n-1)/2++ 3n的上限。 我们还提出了几个以数值实验为动机的猜想,包括对中心极限现象的观察(由Gumbel分布近似增长),图谱的均匀分布,以及对排序网络的数值研究。 为了刺激众包活动,我们在Kaggle平台上创造了挑战,并邀请各方做出贡献,改进和基准测试Cayley图路径查找和其他任务的方法。
本文引入并系统发展了多元群环理论，这是经典群环ℛ[𝖦]的高元数推广。我们构建了这些结构的基本运算，定义了由(m_r,n_r)-环和n_g元群构建的多元群环R^[𝐦_r,𝐧_r]=ℛ^[m_r,n_r][𝖦^[n_g]]的𝐦_r元加法和𝐧_r元乘法。一个核心结果是推导了这些元数之间相互关联的"量子化"条件，这些条件受元数自由原则支配，该原则也扩展到具有高次多元幂的运算。我们建立了关键的代数性质，包括完全结合性的条件以及零元和单位元的存在性。多元增广映射和增广理想的概念得到了推广，为经典理论提供了桥梁。该框架通过具体示例进行了说明，巩固了理论构造。这项工作为环论建立了新的基础，在密码学和编码理论中具有潜在应用，正如最近利用多元结构的方案所证明的那样。
本文研究了环 ℤ_sp 的代数和图论结构，重点分析其分解为有限域、核和特殊子集的方式。我们建立了 𝔽_s 与 p𝔽_s 之间的经典同构，以及 p𝔽_s^⋆ 与 p𝔽_s^+1,⋆ 之间的同构。我们引入了弧和根树的概念来描述 ℤ_sp 的预周期结构，并证明了以不被 s 或 p 整除的元素为根的树可以通过乘以循环弧从单位树生成。此外，我们定义并分析了集合 𝔻_sp，该集合包含既不是 s 或 p 的倍数也不是"差一"元素的元素，并证明其图分解为环和预周期树。最后，我们证明了 ℤ_sp 中的每个环都包含内环，这些内环可以从有限域 p𝔽_s 和 s𝔽_p 的环中可预测地导出，并讨论了 𝔻_sp 的密码学相关性，强调了其在分析循环攻击和因式分解方法方面的潜力。
我们表明,任何具有准 Maltsev 操作和所有实体的完全对称操作的有限域上的克隆都有来自 I 的传入的 minion homomorphism,即两个元素集上所有无效操作的克隆。 我们用这个结果来表明,在pp-constructability中,结构的下层覆盖与我在我之下不变的所有关系是三个顶点和结构上的过渡性锦标赛,与所有有限的简单组进行一对一的对应。
我们改进了Solovay-Kitaev定理和算法,用于在qudit上作用的一般有限,反向闭合的生成集。 该算法的先前版本有效地找到一个长度 O(n^3+δ) 的单词,以近似任意的目标门到 n 位的精度。 使用两个新想法,每个想法分别减少指数,我们对单词长度的新绑定是O(n^1.44042...+δ)。 我们的结果更普遍地适用于任何密集生成任何连接的、半简单的实列组的有限集,在非紧凑的情况下有一个额外的长度,以到达远离身份的组元素。
让 G=F∗_φ t 是自由组 F 的 HNN 扩展,具有两个相等的关联正常子组 H_1 = 有限索引的 H_2。 我们证明G中的“问题”这个词在多项式时间是可判定的。 此结果扩展到子组 H_1=H_2 不正常的情况,前提是同态 φ:H_1→ H_2 满足第 5 节中描述的附加条件。
我们证明多个无上下文语言的排列关闭是多个上下文无上下文的,这扩展了Okhotin和Sorokin [LATA 2020]的工作,他们在循环移位下显示关闭,并补充了Brandstädt [1981,RAIRO Inform]的工作。 太子。](resp。 Brough 等人 [2016年,离散数学。 后者。 计算。 Sci.])谁表现出相同的结果为常规的,上下文敏感的,递归枚举(resp. EDT0L 和 ET0L) 语言。 与使用语法的Okhotin和Sorokin相反,我们的证明使用由于Denkinger[DLT 2016]而受到限制的树堆栈自动机。
我们引入了一种系统的方法来构建免费产品的新演示,从而产生以前未知的大地测量Cayley图形。 我们的方法适应了Parthasarathy和Srinivasan的细分技术。 组合。 理论Ser。 B,1982],在图形级别上保留大地测量,以设置小组演示和重写系统。 具体来说,给定一个G组与大地测量的Cayley图有关生成集合Σ和整数n,我们的构造产生了一个重写系统,显示G ∗ F_n|Σ| 与大地测量Cayley图有关新的生成集。 这个框架提供了新的无限家族的大地测量凯莱图,并扩展了用于调查大地测量组的长期猜想的工具包。
尽管对称性在科学线性系统中普遍存在，但这些结构特性往往未被标准计算软件充分利用。本文介绍了PySymmetry，一个开源的Sage/Python框架，它实现了经典表示论来简化G-等变线性系统。PySymmetry使用投影算子生成对称适应基，将等变算子转换为更高效的块对角形式。其功能包括定义和约化表示、计算多重度以及获取显式块结构。我们通过三个案例研究展示了PySymmetry的多功能性：一个化学应用、一个关于非厄米薛定谔方程的数值基准测试（相比标准方法实现了超过17倍的性能提升），以及一个符号研究，该研究首次实现了天体力学中一个具有挑战性问题的完整解析分类。PySymmetry设计用于与NumPy和SciPy等库无缝集成，为理论和应用背景下的对称性探索提供了一个强大、用户友好的工具。
这是CayleyPy项目的第三篇论文,将人工智能应用于群体理论中的问题。 我们宣布了 CayleyPy 的首次公开发布,CayleyPy 是一个开源的 Python 库,用于使用 Cayley 和 Schreier 图形进行计算。 与GAP和Sage等系统相比,CayleyPy处理更大的图形,并且执行几个数量级的速度。 使用CayleyPy,我们在Cayley和Schreier图形上获得了大约200个新猜想,专注于直径和生长。 对于许多对称组的凯莱图,我们观察到准多项式直径公式:由n mod s索引的一小组二次或线性多项式。 我们推测这是一个普遍现象,尽管问题很难,但给出了高效的直径计算。 我们建议在无方向的情况下对Sn的直径n^2 + 4n的直径进行Babai类型猜想的改进,与以前的O(n^2)边界相比。 我们还提供明确的生成器家族,与带有胡须图案的正方形中的质发生物有关,推测可以最大化直径;搜索证实了所有n到15。 我们进一步推测了V M Glushkov在1968年提出的一个问题,即由循环移位和转位产生的定向Cayley图形。 对于无量组,我们推测J S Ellenberg在Z / pZ的上单位基矩阵上的结果有所改善,显示直径在p上的线性依赖性。 此外。 一些猜想是LLM友好的,自然说是算法或Python代码可以验证的排序问题。 为了对路径查找进行基准测试,我们创建了超过 10 个 Kaggle 数据集。 CayleyPy 适用于任意排列或矩阵组,包括 100 多个预定义的生成器。 我们的增长计算代码在速度和尺寸上优于 GAP 和 Sage 高达 1000 倍。
我们确定边界Haswiger数字的有限图形的自拟态组的结构。 我们的证明包括对有限边缘瞬态图的结构分析。 特别是,我们表明,对于连接的,无小,边缘瞬态,无双,有限图,自拟态组的非abelian组成因子具有边界顺序。 我们用这个来表明,有界 Hadwiger 数的有限图的自拟态群是通过使用 abelian 组、对称组和有界顺序的组的重复群扩展获得的。
插入刚体运动的问题是在规定的初始姿势和终端姿势之间找到空间轨迹。 解决了这种插值问题的两个变体。 首先是找到一个解决方案,满足刚体扭曲的k-1衍生物上的初始条件。 这被称为kth阶初始值轨迹插值问题(k-IV-TIP)。 第二是找到一个解决方案,满足刚体扭曲的条件及其k-1衍生物在初始和终端姿势。 这称为kth-order边界值轨迹插值问题(k-BV-TIP)。 k-IV-TIP for k=1,...,4,即初始扭曲和高达第4次衍生的解决方案。 此外,还提出了1-IV-TCP的解决方案,即规定了初始和终端扭曲。 后者是两个空间配置之间的新立方插值,具有给定的初始和端子扭曲。 当扭曲设置为零时,这种插值自动与最小加速度曲线相同。 提出了衍生高阶解决方案的一般方法。 数值结果显示为两个例子。
本文重温了卡尔·沃尔哈特(Karl Wohlhart)在ARK 2004年的论文中提出的三环空间联动(作为Eddie Baker于1980年提出的双环联动的延伸),后来在2006年ARK论文中分析了Diez-Martinez等人。 局部分析表明,这种链接具有有限的自由度(DOF)3(因此过度受限),而在其参考配置中,差分DOF为5。 表明其配置空间在本地是平滑的流形,因此引用配置不是c空间奇点。 表明差分DOF是局部常数,这使得这种联动不稳定(因此参考配置不是奇点)。 通过计算动态切锥体以及c空间的局部近似来促进高阶局部分析。
在本文中，我们展示了用于群的常数维Weisfeiler-Leman算法（Brachter Schweitzer, LICS 2020）可以有效地用于改进多个群族同构测试的并行复杂性上界。具体来说，我们表明： - 具有阿贝尔正规Hall子群且其补群为O(1)-生成的群可以通过常数轮数的常数维Weisfeiler-Leman进行识别。这将此类群的同构测试置于；之前的同构测试上界为（Qiao, Sarma, Tang, STACS 2011）。 - 我们使用个体化-精化范式，通过深度O(log n)和大小n^O(loglog n)的电路获得无阿贝尔正规子群的群的同构测试，此前仅知属于（Babai, Codenotti, & Qiao, ICALP 2012）和𝗊𝗎𝖺𝗌𝗂𝖲𝖠𝖢^1（Chattopadhyay, Torán, & Wagner, ACM Trans. Comput. Theory, 2013）。 - 我们将Brachter & Schweitzer（ESA, 2022）关于群直积的结果扩展到并行设置。即，我们还表明Weisfeiler–Leman可以并行识别直积，前提是它能并行识别每个不可分解直因子。他们先前展示了类似的结果。 最后，我们考虑无计数Weisfeiler–Leman算法，其中我们表明无计数WL甚至无法在多项式时间内区分阿贝尔群。尽管如此，我们将无计数WL与有界非确定性和有限计数结合使用，获得了阿贝尔群同构测试的新上界β_1^0()。这改进了Chattopadhyay, Torán, & Wagner（同上）之前的^0()上界。
我们分析了Lehnert和Schweitzer的证明,Thompson group V的单词问题是共同无上下文的,我们表明这个词问题是反向确定性上下文自由语言结合循环闭合的补充。 对于任何有限生成的 V 子组也是如此。 对于某些有限生成集,这个单词问题是四种确定性上下文自由语言的结合循环闭合的补充。 因此,V的单词问题在确定性多带图uring机器上具有二次时间复杂度,属于logDCFL。
继续滚动加载更多
