数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
在这项工作中,我们提出了通过正常形式对基于共振的方案进行系统推导。 主要的想法是使用装饰树木上的植树图以及来自非线性相互作用的傍妃运算符的屠夫-康内斯-克列默型共产物和低主导部分分解。 这种低规律性的新家族计划对其系数及其局部误差有明确的公式。 在一个温和的假设下,人们可能会期望这些计划具有与arXiv:2005.01649中提议的低规律性方案类似的局部错误。
我们解决了Yang-Baxter类矩阵方程AXA = XAX对于一个通用给定的矩阵A,获得所有反通勤解决方案,通过使用约旦规范形式的A,并在一般同质的西尔维斯特方程上应用一些新的事实。 我们的主要结果提供了非线性矩阵方程的所有反通勤解决方案。
我们开发和比较了线性 Mahler 运算符中计算一阶右手因子的两种算法 l_r M^r + ... + l_1 M + l_0where l_0, ..., l_r 是 x 中的多项式,Mx = x^b M 对于某些整数 b ≥ 2。 换句话说,我们给出算法来查找线性函数方程l_r(x) f(x^b^r) + ... + l_1(x^b) f(x^b) + l_0(x) f(x) f(x) = 0。 我们的第一个算法是从Petkovšek的经典算法改编的,在线性复发的情况下处理类似的问题。 第二个通过计算函数方程的广义功率系列解的基础,并使用Hermite-Padé近似值来检测与一阶因子相对应的解决方案的线性组合。 我们介绍了两种算法的实现,并结合文献的标准讨论了它们的使用,以证明马勒方程的功率序列解的微分超越。
最近,在加权自动机理论中,强双单体的重量结构引起了很大的兴趣;它们形成了半环的泛化,并与代数研究的近光相密切相关。 在这里,我们在一组不确定的 X 以及加法和乘法上定义多项式。 我们表明,通过这些操作,它们形成了一种右分配强双体,这种多项式强双体素在所有右分配强双硒素的类中是免费的,并且它既是左和右变。 我们通过纯粹的代数推理表明,两个任意术语是等价的,即权利分配强双单体的定律,只有当它们所代表的多项式与乘法的加法和同化性等同的法时,它们才具有等价性。 我们为构建表示多项式提供了有效的程序。 因此,我们了解到,任意术语mdulo法则的等价物可以在指数时间决定。 使用术语重写方法,我们表明每个术语可以简化为作为正常形式的唯一多项式。 我们还为 X 上的自由无效右分配多项式强双体类获得相应的结果。 我们构建了一个不称职的强双簧管,它在局部有限但不在局部有限,并在加权自动机理论中显示出它的应用。
本文研究了重量 w 的重量枚举器 w,在有限链环和有限场的矩阵环上的最大对称性。 在许多情况下,包括同质权重,MacWilliams 身份为 w 权重枚举器失败,因为存在两个线性代码,具有相同的 w 重量枚举器,其双代码具有不同的 w 权重枚举器。
我们证明了詹尼希在不完全设置中张量分解的独一性定理。 我们的独特性定理基于标准张量分解的替代定义,我们称之为矩阵向量分解。 此外,在我们的唯一性定理适用的相同设置中,我们还设计和分析一种高效的随机算法来计算唯一的最小矩阵-矢量分解(从而计算最小等级的张量排名分解)。 作为我们的唯一性定理和高效算法的应用,我们展示了如何计算矩阵的某些通用向量空间中最小等级(高达标量倍数)的所有矩阵。
本文通过基于范畴论的新颖同调代数方法，建立了复杂度类P与NP的分离。我们构建了计算范畴Comp，将计算问题和归约嵌入到统一的范畴框架中。通过发展计算同调理论，我们将每个问题L与一个链复形C_∙(L)相关联，其同调群H_n(L)捕捉了计算过程的拓扑不变量。我们的主要结果表明，P类问题表现出平凡的计算同调（对所有n>0有H_n(L)=0），而NP完全问题如SAT具有非平凡同调（H_1(SAT)≠0）。这种同调区别提供了使用拓扑方法对P≠NP的第一个严格证明。该证明在Lean 4中进行了形式化验证，确保了绝对的数学严谨性。我们的工作开创了计算拓扑学作为复杂性分析的新范式，提供了比传统组合方法更精细的区分，并建立了结构复杂性理论与同调不变量之间的联系。
本文引入并系统发展了多元群环理论，这是经典群环ℛ[𝖦]的高元数推广。我们构建了这些结构的基本运算，定义了由(m_r,n_r)-环和n_g元群构建的多元群环R^[𝐦_r,𝐧_r]=ℛ^[m_r,n_r][𝖦^[n_g]]的𝐦_r元加法和𝐧_r元乘法。一个核心结果是推导了这些元数之间相互关联的"量子化"条件，这些条件受元数自由原则支配，该原则也扩展到具有高次多元幂的运算。我们建立了关键的代数性质，包括完全结合性的条件以及零元和单位元的存在性。多元增广映射和增广理想的概念得到了推广，为经典理论提供了桥梁。该框架通过具体示例进行了说明，巩固了理论构造。这项工作为环论建立了新的基础，在密码学和编码理论中具有潜在应用，正如最近利用多元结构的方案所证明的那样。
我们提出了几个关于GKK tau-矩阵的开放问题,这些例子表明一些这样的矩阵是不稳定的
在本文中,除了早期引入的不由性分裂之外,我们还考虑由可接受的一夫一妻制诱发的新一类分裂。 我们证明这些分裂是虚无的和建设性的。 因此,它们允许一个人通过顺序检查非多乘增延长的乘法减少来计算多项式理想的不自主的Groebner基础。 我们研究不自主算法对完成排序的依赖。 基于特定不自主分裂的属性,建议进行两个计算优化。 其中一个包括完成订购的特殊选择。 另一种优化与算法过程中的复计算乘法和非乘法变量有关。
我们考虑计算和实施问题,以完成单体集合使用不同的非转单位划分进行革命。 这些部门中的每一个都产生了自己的完成程序。 对于多项式的情况,它产生一个不自主的基础,这是Groebner基础的特殊形式,通常是多余的。 我们还将 Janet 部门的 Mathematica 实现与 C 中的实现进行比较。
我们提出了一种新的线性求解器,适用于从离散PDE中获得的大型系统。 它是健壮的,对于我们研究的例子,计算工作与方程的数量线性扩展。 该算法基于将共轭梯度,多缩放和迭代分裂方法结合到单一方法的波长分解。 从表面上看,该算法是一个简单的预置共轭梯度,具有算法在选择预后矩阵时的所有复杂程度。 预后器是线性运算符的一个很好的近似反。 它由粗粒线运算符的反向构造,以及基于细网格上的运算符的平滑运算符。 粗粒度捕获逆运算符的长波长行为,而平滑运算符捕获短波长行为。 共轭梯度迭代解释了长波长和短波长之间的耦合。 粗粒度运算符对应于PDE的较低分辨率近似值。 虽然粗粒反向不显式地知道,但该算法只要求预前提条件器可以应用于向量。 应用于向量粗的反向可以作为另一个条件的共轭梯度求解器的求解器的求解求解器获得,该求解器将相同的算法应用于较小的问题。 因此,该方法自然是递归的。 当矩阵足够小,以便使用标准求解器有效地获得解决方案时,递归结束。 我们已经在多孔流方程上测试了我们的求解器。 在工作站上,我们解决了从10^3到10^6的网格问题,发现线性缩放保持不变。
在本文中,我们认为一种算法技术比Zharkov和Blinkov提出的对多项式理想的不自主分析更通用。 它基于一个不由自主的单体划分的新概念,该概念是为一单位集定义的。 这样的划分为每个单体提供了将整组变量分为两个不接点子集的自我一致分离。 它们被称为乘法和非乘法。 鉴于可接受的顺序,这种分离适用于多项式的主要单项。 作为分离的特殊情况,我们认为珍妮特,托马斯和庞马雷特介绍的分离,用于代数分析偏微分方程。 鉴于不自主的分裂,我们定义了一个不自主的减少和不自主的正常形式。 然后我们引入,就后者而言,多项式系统的不自主性概念。 我们证明,一个不由自主的系统是一个特殊的,通常是冗余的,形式的Groebner基础。 提出了构建无主基础的算法。 事实证明,满足某些条件的不由自主的划分,例如珍妮特和托马斯的分裂,为任何多项式理想提供了不自主的基础的算法构建。 还分析了计算不自主基础的一些优化。 特别是,我们纳入了Buchberger的链标准,以避免不必要的削减。 Pommaret分部的实施已在Reduce中完成。
研究结果用于研究解决线性代数方程的退化和不良系统的关键组分方法的效率
随机过程的一组给定的实现可以最稀疏地表示(所谓的最佳稀疏基础(BSB))的基础,以及该集在统计上尽可能减少依赖性(所谓的最不依赖性的基础(LSDB))对于数据压缩很重要,并且在计算神经科学家和应用数学家之间产生了兴趣。 在这里,我们考虑这些基础对于一个称为“广义尖峰过程”的特别简单的随机过程,它将单个尖峰(其振幅从标准正态分布中采样)放在每个实现长度的零向量中的随机位置。 不像我们在上一篇论文中处理的“简单尖峰过程”,其振幅是恒定的,我们需要考虑kurtosis-maximizing基础(KMB)而不是LSDB,因为很难评估广义尖峰过程的差异熵和相互信息。 通过计算边际密度和时刻,我们证明:1)BSB和KMB选择标准基础,如果我们在R^n;2)中将基础搜索限制在所有可能的正态基数中,如果我们将基础搜索扩展到所有可能的音量保护的可逆线性变换,那么BSB就存在,并且再次是标准基础,而KMB不存在。 因此,KMB对所考虑的变换的正态性相当敏感,而BSB对此不敏感。 我们的结果再次支持BSB相对于LSDB/KMB对数据压缩应用的偏好,就像之前的工作一样。
介绍了对Imedpotent Mathematics和无效版本的Interval Analysis的简要介绍。 讨论了一些应用程序。
我们表明,边界输入长度的理性数据与数值分析的条件数一致分布。 我们既处理线性代数的条件数,也处理多变量多项式方程系统的条件号。 例如,我们显示对于任何 w>1 和任何 n× n 的位长度为 O(n^4log n) + log w 的 n× n 的均值矩阵 M,条件号 k(M) 满足 k(M) ≤ w n^5/2 的概率至少为 1-2w^-1。 对 M 的条件号 μ_norm 也有类似的估计。 舒布和S。 当应用于多变量均匀多项式方程的有界输入长度的系统时,Smale。 最后,我们应用这些技术来显示精度的概率分布(分母的比特数),以写下多变量多项式方程的近似值系统的近似值,输入长度。
“总最小二乘法”的方法被提出为一种更自然的方式(比普通最小二乘)来近似数据,如果矩阵和右侧都被“错误”污染。 在本教程说明中,我们给出了一个基本的统一视图,即普通和总最小二乘问题及其解决方案。 由于问题设置背后的几何形状极大地促进了对解决方案的理解,我们通过列空间和(双)行空间的解释引入了最小平方问题及其概括,我们将使用这两种方法来澄清解决方案。 在研究简单回归的最小二乘法之后,我们引入了“最小二乘法(TLS)”意义上的近似概念,并以自然的方式推断其解决方案。 接下来,我们考虑用于多个回归问题的普通和总最小二乘加近似值,我们研究TLS-sense中一般超确定的方程系统的解。 在最后一节中,我们考虑用多个右手边和“冻结”列进行概括。 我们说,一般不存在 TLS 近似需求;然而,在 TLS 意义上,对于回归问题的最佳近似值(或超平面)总是存在的。
本文中讲述的故事正在处理有限,无限和双无限Toeplitz类型的系统的解决方案。 一个关键的角色起着Toeplitz矩阵及其反面的对角线衰减行为。 Gelfand等人关于交换性Banach代数的古典结果产生了这种衰变行为的一般特征。 然后,我们通过有限截面方法得出(bi)无限Toeplitz系统的近似解的估计值,表明近似率仅取决于Toeplitz矩阵条目及其条件号的衰减。 此外,我们还给出了有限循环系统解决双倍卷积系统的错误估计。 最后,得出了通过循环嵌入构建条件器的一些定量结果,这允许为一些研究人员就去卷积问题进行数值观测提供理论解释。
Google矩阵是一个正的列随机矩阵,用于计算互联网上所有网页的页数:与特征值1相对应的特征向量是页面向量。 由于其巨大的维度,数十亿的顺序,(目前)唯一可行的方法来计算特征向量是功率方法。 对于迭代的收敛,了解矩阵的特征值分布至关重要。 最近,朗维尔和迈耶证明了一个关于特征值的定理。 在这个说明中给出了另一个证据。
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