数学
Mathematics
代数几何
Algebraic Geometry
代数拓扑学
Algebraic Topology
偏微分方程分析
Analysis of PDEs
本文研究数论中一个基本问题的计算复杂度：有限域上曲线和曲面的点计数。目前尚无已知的亚指数时间算法，且不清楚该问题是否为NP难。对于给定曲线，我们提出了第一个高效的Arthur-Merlin协议来验证其点计数、雅可比群结构及其Hasse-Weil zeta函数。我们将此结果推广到光滑射影曲面，通过使用计数预言机来验证zeta函数中对应于第一贝蒂数的因子P_1(T)。我们给出了第一个计算P_1(T)的算法：当输入曲面的度D固定时，该算法在poly(log q)时间内运行；在一般情况下，在量子poly(Dlog q)时间内运行。我们在曲线情形下的技术是使用Weil和Riemann-Roch边界采样哈希函数，以验证其雅可比群的阶数。对于高维簇，我们首先约化到曲面的情形，该曲面可纤维化为ℙ^1上超平面截面的Lefschetz铅笔。消失循环的形式体系及其固有的大单值群，使我们能够利用硬Lefschetz定理和Katz的等分布结果证明Deligne的"最大公因式定理"的有效版本。这些将我们的研究约化到计算定义在有限域扩张𝔽_Q/𝔽_q（具有多项式有界次数）上曲线的zeta函数。该理论的显式化给出了计算复杂度的第一个非平凡上界。
我们通过其D-finite生成函数的镜头研究P递归序列的算术性质。 基于来自微分代数的经典工具,我们重新审视了由于Klarzar和Luca的Motzkin型序列的积分标准,并提出了在更广泛的全基因组序列中分析全局边界和代数的统一方法。 核心贡献是一种算法,它决定了所有、没有或一维解决方案家族对某些二阶复发是否具有全球范围。 这种方法概括了早期的临时方法,并成功地应用于在线整数序列百科全书(OEIS)的几个知名序列。
本文对狄隆于2006年提出的特征2有限域上的一类六项式函数进行了系统分析，这些函数是几乎完美非线性(APN)函数的潜在候选者。我们的分析比通过部分APN概念在(Budaghyan等人，DCC 2020)中所做的分析推进了很多。这些函数定义在𝔽_q^2上，其中q=2^n，具有形式F(x) = x(Ax^2 + Bx^q + Cx^2q) + x^2(Dx^q + Ex^2q) + x^3q。利用代数数论和有限域上代数簇的方法，我们建立了系数A、B、C、D、E必须满足的必要条件，以使相应函数成为APN函数。我们的主要贡献是一个全面的逐案例分析，基于系数中某些关键多项式的消失模式，系统地排除了狄隆六项式中的大类函数成为APN函数的可能性。通过数论、代数几何技术和计算验证的结合，我们识别了特定的代数障碍——包括相关簇中绝对不可约分量的存在以及多项式分解中的次数不兼容性——这些障碍阻止了这些函数达到最优差分均匀性。我们的结果显著缩小了该家族中新APN函数的搜索空间，并提供了一个适用于其他潜在APN函数类的理论路线图。我们通过大量计算来补充我们的理论工作。通过对𝔽_2^2和𝔽_2^4的穷举搜索，以及在𝔽_2^6和𝔽_2^8上的随机抽样，我们识别了数千个APN六项式，其中许多与已知的Budaghyan-Carlet家族(Budaghyan-Carlet，IEEE Trans. Inf. Th., 2008)不是CCZ等价的。
我们开发和比较了线性 Mahler 运算符中计算一阶右手因子的两种算法 l_r M^r + ... + l_1 M + l_0where l_0, ..., l_r 是 x 中的多项式,Mx = x^b M 对于某些整数 b ≥ 2。 换句话说,我们给出算法来查找线性函数方程l_r(x) f(x^b^r) + ... + l_1(x^b) f(x^b) + l_0(x) f(x) f(x) = 0。 我们的第一个算法是从Petkovšek的经典算法改编的,在线性复发的情况下处理类似的问题。 第二个通过计算函数方程的广义功率系列解的基础,并使用Hermite-Padé近似值来检测与一阶因子相对应的解决方案的线性组合。 我们介绍了两种算法的实现,并结合文献的标准讨论了它们的使用,以证明马勒方程的功率序列解的微分超越。
金银的简单持续分数是众所周知的。 令人惊讶的是,就我们所知,没有人为相应的算法发布半iterates(更不用说四分之一iterates)。 我们还检查后窦和逻辑图(参数2 < λ < 3)。
设 f(X) 是 𝔽_q 上的非常数多项式，具有非零常数项。f(X) 的阶是有限域上多项式理论中的一个经典概念，最近在<引用>中给出了 f(X) 的二项式自由性的定义。推广这两个概念，我们在本文中引入了 f(X) 的最小二项式倍式的定义，即 𝔽_q 上被 f(X) 整除的二项式中次数最低的首一二项式。基于通过根式定义集对二项式进行的等价刻画，我们证明了经典阶的一系列性质可以自然地推广到这种情况。特别地，f(X) 的最小二项式倍式通过 f(X) 的根式定义集被明确给出。并且给出了 f(X) 是二项式自由的一个判据。作为一个应用，对于任意正整数 N 和 𝔽_q 中的非零元素 λ，确定了最小距离为 2 的长度为 N 的 λ-常循环码。
令 𝔽_q 为有限域，F ∈ 𝔽_q[X] 为次数 d = deg(F) 的多项式，且满足 (d, q) = 1。本文证明了当 c ≠ 0 时，F 的 c-Boomerang 均匀性具有以下上界：当 c² ≠ 1 时不超过 d²，当 c = -1 时不超过 d·(d-1)，当 c = 1 时不超过 d·(d-2)。对于所有 c 的情况，我们给出了 F ∈ 𝔽_q[X] 的紧示例。此外，在证明 c = 1 的情况时，我们建立了以下结论：对于特征为 p 的域 k 和 a ∈ k∖{0}，二元多项式 F(x) - F(y) + a ∈ k[x,y] 在 p ∤ deg(F) 时是绝对不可约的。
我们分析用于计算第 n 个素数 p_n 的算法,并为几种方法建立渐近边界。 使用评估素数函数π(x)的复杂性的现有结果,我们显示二进制搜索方法在O(√(n)(log n)^4)时间计算p_n。 假设黎曼假说和Cramér的猜想,我们在li^-1(n)周围构建了一个更严格的间隔,导致在O(√(n)(log ^7/2 n) loglog n)时间上运行的基于筛子的改进算法。 这种改进虽然有条件,但表明对素数差距估计的进一步改进可能会产生出更快的计算素数方法。
数学构造的S-boxs产生于代数结构和有限场论,以确保强大的,可证明的密码属性。 这些数学接地结构允许生成数千个具有高非线性,APN属性和平衡雪崩特性的S-Box,与完全随机的方法不同,它们缺乏这样的理论保证来换取低复杂性和更多样化的结果。 在这项工作中,我们将数学构造的构造与随机生成的构造进行比较,以评估后者的相对弱点。 我们还为随机生成的排列以及随机的强制周期约束建立了平均性能度量,并将其与简单的SPN设置中的成熟设计进行比较。
本文研究了环 ℤ_sp 的代数和图论结构，重点分析其分解为有限域、核和特殊子集的方式。我们建立了 𝔽_s 与 p𝔽_s 之间的经典同构，以及 p𝔽_s^⋆ 与 p𝔽_s^+1,⋆ 之间的同构。我们引入了弧和根树的概念来描述 ℤ_sp 的预周期结构，并证明了以不被 s 或 p 整除的元素为根的树可以通过乘以循环弧从单位树生成。此外，我们定义并分析了集合 𝔻_sp，该集合包含既不是 s 或 p 的倍数也不是"差一"元素的元素，并证明其图分解为环和预周期树。最后，我们证明了 ℤ_sp 中的每个环都包含内环，这些内环可以从有限域 p𝔽_s 和 s𝔽_p 的环中可预测地导出，并讨论了 𝔻_sp 的密码学相关性，强调了其在分析循环攻击和因式分解方法方面的潜力。
在这个扩展的抽象中,我们处理了数值/二酚近似和符号/代数几何方法之间的关系,以解决多变量二苯丁二烯多项式系统,获得了从二酚素近似到有效数论的几个连续体。
在本文中,我们提出了一种计算某些真实系数 λ_n 的有效方法,该系数出现在Xian-Jin Li证明的黎曼假说的标准中。 使用这种方法,已经计算了超过三千 λ_n 的序列。 这个序列揭示了一种奇特而意想不到的行为:它可以分裂成一种严格增长的趋势,一些微小的振荡叠加在这种趋势上。
这是一个使用新的 q 系列 Maple 包的教程。 该软件包包括用于在q系列和q-产品之间进行转换的设施,以及寻找q系列之间的代数关系。 Andrews 找到了将 q 系列转换为产品的算法。 我们提供一个实施。 作为一个应用程序,我们能够有效地找到有限的q-product因子,当它们存在,从而回答安德鲁斯的问题。 我们提供其他涉及对 eta 功能和 eta 产品进行保理的应用。
我们分析了计算类多项式的复杂性,这是椭圆曲线CM结构的重要成分,通过复杂的浮点近似其根源。 算法的核心是在几个参数中评估模块化函数。 最快的方法使用Dupont设计的技术,通过牛顿迭代评估涉及算术几何均值的表达式的模块化函数。 它运行在时间 O (|D| log^5 |D| loglog |D|) = O (|D|^1 + ε) = O (h^2 + ε)对于任何 ε > 0,其中 D 是 CM 判别器,h 是类多项式的程度。 另一种快速算法使用符号计算已知的多点评估技术;其渐近复杂度因日志 |D| 的因子而更糟。 高达对数因素,此运行时间与构造多项式的大小相匹配。 该估计还依赖于一个新的结果,即列举一个假象-二次顺序的类群的复杂性,以及严格证明的类多项式高度的上限。
我们给出了一个新的算法,使用线性近似和晶格减小,以有效地计算给定平面曲线C附近的小高度的所有合理点。 例如,当 C 是 Fermat 立方时,我们找到具有 0<x<=y<z<N 时位值 0<x<=y<z<N 的所有整数解决方案,其中 L(X):= (log X)^O(1)] 提供 M>>N,仅使用 O(log N) 空间。 由于解决方案的数量应与M log N(只要M<N^3)成正比,计算成本基本上尽可能低。 此外,该算法易于并行化。 它不仅产生了新的数字例子,而且导致了理论结果,困难的开放问题,以及自然概括。 我们还调整我们的算法来研究霍尔的猜想:我们发现所有具有 x<<X 时间的 0<|x^3-y^2|<<x^(1/2) 的整数解决方案,以及时间 O(X^(1/2) L(X))。 通过用 X=10^18 实现这个算法,我们打破了 x^(1/2)/|x^3-y^2| 的先前记录。 O(X^1/2 L(X) 绑定是严格的;它的证明也产生了任何正理性 c 的 sqrt(cx^3) 分布 mod 1 的新估计。
在本周文中,我考虑了几种实际函数的近似值,以验证计算(可可靠计算)的问题,即隐含定义的真实函数 x_n+1 = G(x_1,..., x_n),其中依赖性F(x_1,...,x_n+1) = 0在某些紧凑域上通过足够平滑的真实函数F(x_1,...,x_n+1)>定义。 构造版本的Kolmogorov-Arnold和隐式函数定理,关于浮点近似的结果,浮点近似的结果,这些近似值给出了一些真实函数的下界和上行估计,以及近似代数计算用于目的。 严谨的理论可以建立在浮点域的歧位数分析的基础上。 在文中,我们展示了我们对闵可夫斯基对该地区关键决定因素的猜想的示例的方法 | x |^p + |^p ≤ 1, p > 1.
作者之前已经将正则和不规则素数的理论扩展到任意完全实数字段的设置。 推测伯努利数,或者Riemann zeta函数在奇数负整数中的值,是每个p的均匀分布的mulo p。 这是西格尔给出的著名后见之明的基础,用于估计不规则素数的频率。 到目前为止,分析表明,如果Q(√(D))是一个真正的二次字段,那么负奇整数的zeta函数ζ_D(1-2m)=ζ_Q(√(D))(1-2m)的值也作为任何p的预期模量p分布。 然而,事实证明,计算这些数字对于m的大值是非常密集的。 在本文中,我们介绍了计算 ζ_D(1-2m) 的替代方案,用于固定值的 D 和大量不同的 m。
在之前的工作,作者已经扩展了常规和不规则素数的概念到任意完全实数字段k_0的设置,使用负整数的zeta函数 ζ_k_0 的值作为我们的“更高的伯努利数”。 在k_0是一个真正的二次场的情况下,西格尔提出了计算这些zeta-values的两个公式:一个使用完全基本的方法,一个来自模块化形式理论。 (作者要感谢Henri Cohen建议对第二个公式进行分析。 我们简要讨论了基于这些公式的几种算法,并比较了使用它们来确定一个素数的k_0-不规则性(更普遍的是“二次不规则性”)的索引。
Cohen,Lewin和Zager发现了四个梯子,以顺序n=16产生Li_n(α_1^-k):=∑_r>0α1^-k r/r^n,索引k≤360,α_1是最小的已知塞勒姆数,即Lehmer着名的多项式 α^10+α^7-α^7-α^6-α^5-α^5-α^5-α^4-α^3+α+1,最小的已知非平凡的马勒测量。 通过相邻的索引k=630,我们在订单16中生成第五个阶梯,在订单17中生成一个梯子,我们认为它是独一无二的。 这种经验整数关系,在{Li_17(α_1^-k)|0≤k≤630}和{π^2j(logα1)^17-2j|0≤j≤8}的元素之间,需要125个常数,乘以近300位数字的整数。 已被检查到超过59,000个小数。 在我们在其他数字领域发现的阶梯中,最长的有13个和索引294。 它基于α^10-α^6-α^5-α^4+1,它给出了唯一的Salem数字α<1.3,具有d<12度,其中α^1/2不能成为图形邻接矩阵的最大特征值。
获得了黎曼zeta函数ζ(s)和伯努利数B_n之间众所周知的关系的概括。 该公式是黎曼zeta函数在嵌套系列伯努利数方面的新表示。
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