非线性科学
Nonlinear Sciences
自适应与自组织系统
Adaptation and Self-Organizing Systems
元胞自动机与格点气体
Cellular Automata and Lattice Gases
混沌动力学
Chaotic Dynamics
我们研究Gavrilyuk和Shyue(2022)最近提出的Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程的双曲近似。 我们开发无症状保存数值方法使用隐式显式(附加)的 Runge-Kutta 方法,这些方法在刚性线性部分中隐含。 超栓化的新离散化保存了重要的不变性融合到BBM方程的不变性。 我们使用熵松弛的方法来使完全离散的方案节能。 数字实验证明了这些离散的有效性。
物理信息神经网络(PINNs)提供了一个灵活的框架来解决非线性偏微分方程(PDE),但传统的实现往往未能在长期集成期间保持关键物理不变性。 本文介绍了非线性 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的结构保护 PINN 框架,这是非线性和分散波传播的典型模型。 拟议的方法将质量和哈密顿能量的保存直接嵌入到损失函数中,确保在整个训练和预测过程中实现身体一致和能量稳定的进化。 与基于标准的PINNs <cit.>不同,我们的方法采用正弦激活功能,增强光谱表现力并准确捕获KdV单体的振荡和分散性。 通过具有代表性的案例研究 - 包括单体传播(形状保护翻译),双体相互作用(与相位移的弹性碰撞)和余弦脉冲初始化(非线性分散分解) - 该模型成功地再现了KdV动力学的标志性行为,同时保持了保守的不变性。 消融研究表明,将不变约束的优化与正弦特征映射相结合可以加速收敛,提高长期稳定性,并在没有多阶段预训练的情况下减轻漂移。 这些结果突出表明,计算效率,不变意识的正则化加上正弦表示为KdV方程等哈密尔顿偏微分方程产生健壮,能量一致的PINN。
软机器人的机械复杂性为其基于模型的控制带来了重大挑战。 具体来说,线性数据驱动的模型一直在努力控制软机器人在复杂的空间延伸路径上,探索具有显着非线性行为的区域。 为了解释这些非线性,我们在这里开发了一个基于最近亚亚波谱子歧管理论的模型预测控制策略(aSSM)。 这个理论之所以适用,是因为严重过载机器人的内部振动以比机器人在其预期路径上所需的速度快得多的速度衰减。 在这种情况下,低维吸引不变流形(aSSM)从路径中发出并承载机器人的主导动力学。 在最近这个理论的帮助下,我们纯粹从数据中设计了一个基于ASSM的模型预测控制方案。 我们展示了我们的数据驱动模型在跟踪不同任务的动态轨迹方面的有效性,该模型在软舷机器人和Cossrat杆基弹性软臂的高保真,高维有限元素模型上进行了验证。 值得注意的是,我们发现五维或六维aSSM还原模型在所有闭环控制任务中,其跟踪性能优于其他数据驱动建模方法的跟踪性能。
我们建议一种用于解决三维时间依赖性Gross-Pitaevskii(GP)方程的伪光谱方法,并用它来研究由原子散射长度的周期性变化引起的被困玻色-爱因斯坦凝结物的共振动力学。 当散射长度的振荡频率是沿 x、y 或 z 方向的诱捕频率之一的均匀倍数时,冷凝物的相应大小执行共振振荡。 使用分化矩阵的概念,偏差GP方程被简化为一组耦合的普通微分方程,该方程由四阶自适应步大小的控制Runge-Kutta方法解决。 伪光谱方法与同一问题的有限差法形成对比,其中时间演变由Crank-Nicholson算法执行。 后一种方法被说明更适合三维站立波光学晶格捕获电位。
在本文中,我们研究了Sobolev梯度技术在最小化量子力学和非线性光学中与及时和困难的非线性问题相关的几个薛定谔功能的问题中的应用。 我们表明,这些梯度在最小化方法中作为传统选择下降方向的先决条件,并展示了一种计算上廉价的方法,使用离散傅里叶基础和快速傅里叶变换来获得它们。 我们表明,Sobolev预处理比传统技术提供了很大的融合改进,用于以最小的能量和固定状态寻找解决方案,并建议使用任意线性运算符对方法进行概括。
我们使用多式联运生物信号仪研究身体消耗后健康心脏活动的恢复动态。 来自奇点光谱的多分形特征捕获心血管调节的尺度不变性。 五个监督分类算法 - Logistic Regression(LogReg),Suport Vector Machine with RBF内核(SVM-RBF),k-Nearest Neighbors(kNN),Decict Tree(DT)和Random Forest(RF) - 进行了评估,以区分小型不平衡数据集中的恢复状态。 我们的结果表明,多分形分析与多模态传感相结合,为表征恢复提供了可靠的特征,并指出了心脏状况的非线性诊断方法。
科学数据，从生物学中的细胞快照到宇宙学中的天体分布，通常由底层动力学系统产生的静态模式组成。这些快照虽然缺乏时间顺序，但隐式编码了维持它们的过程。本研究探讨了这样的分布对其底层动力学的约束强度以及如何恢复这些动力学。我们引入了平衡流方法，这是一个学习能够保持给定模式分布的连续动力学的框架。我们的方法成功识别了二维系统的合理动力学，并恢复了洛伦兹吸引子的特征性混沌行为。对于来自Gray-Scott模型的高维图灵斑图，我们开发了一种高效、无需训练的变体，实现了对真实情况的高保真度，在定量和定性上都得到了验证。我们的分析表明，解空间不仅受到数据的约束，还受到学习模型归纳偏置的约束。这种能力超越了恢复已知系统，为人工生命的逆向设计开启了新范式。通过指定目标模式分布，我们可以发现维持它的局部交互规则，从而从简单的用户定义快照中自发涌现出复杂行为，如类似生命的聚集、吸引和排斥模式。
大脑形态是由遗传和机械因素塑造的,与生物发育和疾病有关。 其分形特征,区域各向异性和复杂的曲率分布阻碍了医疗检查中的定量见解。 认识到潜在的弹性不稳定性和分叉与球体和椭圆等简单的几何形状具有相同的物理原理,我们开发了一个物理转移学习框架来解决几何复杂性。 为了克服数据稀缺的挑战,我们构建了一个高保真连续力学建模的数字库,既描述又预测了大脑生长和疾病的发育过程。 来自简单几何形状的非线性弹性的物理学被嵌入到神经网络中,并应用于大脑模型。 这种物理转移方法在特征表征和形态发生预测方面表现出显着的性能,突出了局部变形在主导背景几何中的关键作用。 数据驱动的框架还提供了一组三维进化表征,可以捕获高度折叠的大脑皮层的基本物理。 通过医学图像和领域专业知识进行验证强调了数字孪生技术在理解大脑形态复杂性方面的部署。
在本文中,我们研究了由轴承驱动的跨质欧拉-拉格朗日系统跟踪形成问题,在多个移动领导者的存在下具有参数化的不确定性。 为了估计领导者的速度和加速度,我们首先为领导者系统设计了一个分布式观察者,利用基于轴承的本地化条件代替了传统的连接假设。 这个观察者,加上自适应机制,能够合成一种新的分布式控制定律,引导形成朝向目标形成,而不需要事先了解系统参数。 此外,我们根据初始形成配置建立了足够的条件,确保在整个形成演变过程中避免碰撞。 通过一个数字例子证明了拟议方法的有效性。
我们提出了一种高效的数据驱动回归方法,用于构建显示模式形成的反应扩散系统的降低序模型(ROM)。 ROM是从物理精确数值模拟的可用训练数据中非侵入性地学习的。 该方法可以通过使用多项式模型形式应用于一般非线性系统,同时不需要对底层物理模型、调节方程或数值求解器的知识。 学习ROM的过程是一个低成本的最小二乘问题,通过适当的正交分解(POD)识别的减序子空间。 经典模式形成系统(包括Schnakenberg和Mimura-Tsujikawa模型)的数字实验表明,高阶替代模型显着提高了预测的准确性,同时保持了较低的计算成本。 拟议的方法提供了一个灵活的、非侵入性的模型还原框架,非常适合分析复杂的时空模式形成现象。
莱尼亚是康威生命游戏的不断延伸,它表现出丰富的模式形成,包括称为滑翔机的自我推进结构。 在本文中,我们关注Asymptotic Lenia,一种作为偏微分方程配制的变体。 通过使用这种数学公式,我们分析得出滑翔机模式的条件,我们称之为“滑翔机方程”。 我们证明,通过使用此方程作为损失函数,梯度下降方法可以成功发现稳定的滑翔机配置。 这种方法能够优化更新规则,以找到具有特定属性的新型滑翔机,例如快速移动的变体。 我们还得出了一个无速度方程,表征任何速度的滑翔机,扩大了新模式的搜索空间。 虽然许多优化的模式导致瞬态滑翔机最终破坏稳定,但我们的方法有效地确定了难以通过传统方法发现的各种模式阵型。 最后,我们在渐近格位利尼亚和神经场模型之间建立了连接,突出了连接这些系统的数学关系,并提出了在连续动态系统中分析模式形成的新方向。
动态反馈神经网络(NN)的融合,如Cohen-Grossberg,Hopfield和蜂窝NNs,长期以来一直是NN理论的主力军。 事实上,在存在多个稳定均衡点(EP)的情况下收敛对于实现内容可地址记忆和实时解决其他几个信号处理任务至关重要。 使用收敛NN有两种典型的方法,即:a)让激活进化,同时保持固定权重和输入(激活动力学)或b)调整权重,同时保持固定激活(权重动力学)。 正如Hirsch在一篇开创性论文中所说,还有另一种有趣的可能性,即让神经元互连权重在同时运行激活动力学(权重激活动力学)时进化。 体重激活动力学也很重要,因为它比其他两种神经系统建模更合理。 该论文首次以系统方式分析一类记忆器反馈动态NN的重量激活动力学的收敛特性,从而开辟了新的领域。 主要结果是,在关于度量相合器结构的合适假设下,解决方案(权重和激活)收敛到EP,但最多只有一组零测量的初始条件。 结果包括NN具有多个稳定EP的最重要案例。
这项研究介绍了神经网络用于解决非线性偏微分方程(PDE)的扩展应用。 神经网络与伪弧度延续相结合,被提议从参数化的非线性PDE中构建分叉图。 此外,还提出了一种用于解决特征值问题以分析解决方案线性稳定性的神经网络方法,重点是确定最大的特征值。 拟议的神经网络的有效性是通过关于Bratu方程和Burgers方程的实验来检查的。 有限差法的结果也作为比较提出。 在每种情况下都使用不同的网格点来评估神经网络和有限差法的行为和准确性。 实验结果表明,拟议的神经网络产生更好的解决方案,生成更准确的分叉图,具有合理的计算时间,并证明对线性稳定性分析有效。
我们为一维非线性薛定格方程(NLSE)提出了一个规范稳定的假想时间演化(ITE)方案。 传统的ITE求解器通常需要在每一步之后对波函数进行显式重新规范化,以保持规范,这可能是破坏性的,并且在算法上是不灵活的。 我们提出了一种替代方法,其中使用自适应反馈术语mu(tau)持续稳定,与波函数规范的时间导数成正比。 这导致自我调节流不需要外部正常化,同时保持对单体解决方案的收敛。 我们通过将最终波函数配置文件和L2错误与分析解决方案和基线方法进行比较,无需反馈即可证明该方法的有效性。 虽然这项工作侧重于1D案例,但该框架旨在自然地扩展到更高的维度。 未来的工作将探索2D和3D系统中反馈机制的行为,多点数场景和外部潜力。
由于存在多个和尖锐的解决方案,解决三维(3D)布拉图方程极具挑战性。 这个方程的研究始于20世纪90年代末,但至今没有令人满意的结果。 为了解决这个问题,我们引入了一种对称有限差法方法(SFDM),该方法将解决方案的对称性属性嵌入到有限差法方法(FDM)中。 此SFDM主要用于获得3D Bratu方程的更准确的解和分叉图。 此外,我们建议修改Bratu方程,采用新的约束,促进分叉图的构建并简化处理转折点。 提出的方法,结合使用稀疏矩阵表示,成功地解决了高达301^3点的网格上的3D Bratu方程。 结果表明,SFDM优于3D Bratu方程的所有先前使用的方法。 此外,我们还为1D,2D,4D和5D情况提供分叉图,并准确识别所有维度的第一个转折点。 所有模拟都表明,立方体域上的Bratu方程的分叉图与Joseph和Lundgren描述的球域上公认的行为非常相似[1]。 此外,当SFDM应用于线性稳定性分析时,它产生与标准FDM相同的最大真实特征值,尽管非线性系统中的方程和变量较少。
本文介绍了基于物理信息神经网络(PINN)的框架,用于解决非线性晶格中的关键挑战,包括解决方案近似,分叉图构建和线性稳定性分析。 我们首先使用PINN来近似由晶格模型产生的非线性系统的解决方案,使用Levenberg-Marquardt算法来优化网络权重以获得更高的精度。 为了在高维设置中提高计算效率,我们集成了随机采样策略。 然后,我们通过将PINN与计算蜗牛分叉图的延续方法耦合来扩展该方法,并结合辅助方程来有效地跟踪连续的解决方案分支。 对于线性稳定性分析,我们将PINN适应计算特征向量,引入输出约束来强制正性,符合Sturm-Louville理论。 数值实验是在离散的艾伦 - 卡恩方程上进行的,在一到五个空间维度中具有立方和五分非线性。 结果表明,拟议的方法实现了与传统数值方法相当或优于的准确性,特别是在计算资源是限制因素的高维制度中。 这些发现强调了神经网络作为研究复杂非线性晶格系统的可扩展和高效工具的潜力。
本文研究了在异构计算资源环境下并行化计算大规模非局部耦合振子网络中非线性动力学的问题。所提出的方法可应用于多种非线性动力学模型，支持运行时指定参数和网络拓扑。与现有工具不同，该方法透明地并行求解不同网络元素的方程，终端用户无需进行并行编程。运行时调度器会考虑计算和通信资源的性能，以减少停机时间并实现准最优并行加速。我们实现了该方法，并通过大量应用证明了其有效性，包括模拟由Hodgkin-Huxley、FitzHugh-Nagumo和Kuramoto模型描述的10^3-10^8元素大型动态网络、研究帕金森病期间的病理性同步、分析多稳态、研究3D网络中的嵌合体和孤立态等。上述所有计算均可使用对称多处理器、图形处理单元和工作站网络在同一运行中完成，实验证明对于大型网络可实现接近线性的加速。该方法有望扩展到边缘计算设备等新型硬件。
最近的研究已经证明了Reservotor Computing对各种混沌动态系统建模的能力,但它对Hamiltonian系统的应用仍然相对未被探索。 本文研究了Reservoir Computing在从非线性薛定谔方程中捕获流氓波动力学的有效性,这是一个具有挑战性的汉密尔顿系统,具有调制不稳定性。 无模型方法从具有五种不稳定模式的呼吸模拟中学习。 正确调整的并行Echo State Network可以从两个不同的测试数据集中预测动态。 第一组是训练数据的延续,而第二组则涉及高阶呼吸器。 对一步预测能力的调查表明,测试数据和模型之间有着惊人的一致性。 此外,我们表明,经过训练的水库可以在相对较长的预测范围内预测流氓波的传播,尽管面临看不见的动态。 最后,我们介绍了一种方法,以自主模式显著改善水库计算预测,增强其长期预测能力。 这些结果推动了Reservoir Computing对时空哈密顿系统的应用,并强调了相位空间覆盖在训练数据设计中的至关重要性。
我们开发并分析神经场方程中的不确定性量化的数值方案,这些方程受突触内核中的随机参数数据,发射率,外部刺激和初始条件。 这些方案将空间离散化的通用投影方法与随机变量的随机搭配方案相结合。 我们以操作员的形式研究这个问题,并从空间投影仪的角度对方案的总误差进行估计。 我们提供预测的随机数据的条件,保证半离散解决方案作为巴纳赫值函数的分析性。 我们说明了如何验证假设从分析随机数据和空间投影的选择开始。 我们提供证据表明,预测的收敛率是在线性和非线性神经场问题的各种数值实验中发现的。
我们研究神经场方程,这是大规模皮质活动的典型模型,受随机数据的影响。 我们将这种空间扩展的非局部进化方程视为抽象巴纳赫空间的Couchy问题,突触内核中的随机性,发射速率函数,外部刺激和初始条件。 我们确定在适当的Banach空间中保证解决方案存在,唯一性和可计量性的随机数据的条件,并检查解决方案相对于输入的规律性。 我们介绍了线性和非线性神经场的结果,以及这个问题数值分析中最常见的两个功能设置。 除了持续的问题,我们以抽象的形式分析已经空间离散的神经领域,为分析不确定性量化(UQ)方案奠定了基础。
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