深度神经网络通常推断稀疏表示,在学习过程中汇合到子网络。 在这项工作中,我们通过代数几何学的镜头从理论上分析子网络及其偏差。 我们考虑具有多项式激活函数的全连接网络,并专注于它们参数化的功能空间的几何形状,通常被称为神经歧体。 首先,我们计算由子网络进行参数化的神经流形子空间的维度。 第二,我们表明这个子空间是单数的。 第三,我们认为这种奇点通常对应于训练动力学的关键点。 最后,我们讨论卷积网络,其中子网络和奇点与网络有类似的关联,但偏倚并没有产生。
我们使用矢量捆绑来研究正常形式的n-player游戏完全混合的纳什均衡的位置,我们称之为纳什均衡方案。 当回报张量格式平衡时,我们研究纳什判别品种,即纳什均衡方案未减少或具有正维成分的代数品种。 我们证明这个品种有编纂一个。 我们分类了二进制三人游戏的纳什均衡方案的所有组件。 我们证明,如果回报张量是边界格式,那么纳什判别品种有两个组件:不可还原的超表面和更大的共维组件。 具有不平衡回报张量格式的通用游戏不承认完全混合的纳什均衡。 我们定义了纳什由此产生的各种游戏,承认完全混合的纳什均衡。 我们证明它是不可简化的,并确定其编纂和程度。
Costa-Dalai,Christandl-Gesmundo-Zuidam,Blatter-Draisma-Rupniewski和Briët-Christandl-Leigh-Shpilka-Zuiddam最近的作品调查了渐近张量等级可以采取的不同性和可能值的差距。 特别是,显示任何非零3张量器的渐近子排名和渐近切片等级等于1,等于1.88,或至少2(在任何字段上),并且这些参数的可能值集是离散的(在几个方案中)。 我们确切地确定下一个间隙,显示任何非零3个肌态的渐近子排名和渐近切片等级等于1,等于1.88,等于2,或至少2.68。
对称函数之间的不平等是数学各个分支的基础,从而激励对其结构进行系统的研究。 重制已被证明是常用对称函数之间的不平等的特征,除了完整的同质对称函数(缩短为CHs)。 2011年,Cuttler、Greene和Skandera提出了一个自然问题:专业化能否也表征CHs之间的不平等? 他们的工作表明,占多数的特征是CHs之间的不平等,最高可达7度,并建议探索其有效性。 在本文中,我们表明,对于每一个大于7的学位,占多数并没有表征CHs之间的不平等。
我们提供了一种算法,用于计算P^1上椭圆表面纤维产品同源性的基础,以及相应的交叉产品和时期矩阵。 我们使用这些数据来调查以这种方式获得的Calabi-Yau三倍的伽马猜想。 我们找到一个公式,适用于105种纤维产品列表的所有运营商,以及Calabi-Yau数据库的四阶运营商。 该算法带有 SageMath 实现。
如今,由Fröberg最初提出的半正则序列的概念不仅在数学中,而且在信息科学中,特别是在密码学中变得非常重要。 例如,人们非常期望随机生成的多项式形成半规则序列,并且基于此观察,可以设计基于多项式系统的安全密码系统。 在本文中,我们处理一个半正则序列及其扩展,命名为广义加密半正则序列,并精确分析计算Gröbner基础的复杂性,该序列产生的理想基础与Lazard在最大Gröbner基础度和其他边界上绑定的几个正则相关。 我们还研究了序列是半规则的属性的通用性,以及它与Fröberg猜想相关的变体。 此外,我们讨论了另一个重要属性的通用性,即最初的理想是弱反向词法,与莫雷诺-索西亚斯的猜想有关,并展示了一些标准来检查Fröberg的猜想和莫雷诺-Socías是否同时持有。
设 ℛ = 𝕂[x_1, …, x_n] 是一个域 𝕂 上的多变量多项式环，特征为 0。考虑 ℛ 中 n 个代数无关元素 g_1, …, g_n。设 𝒮 表示由 g_1, …, g_n 生成的 ℛ 的子环，设 h 是 𝒮 中的一个元素。那么，存在一个唯一的元素 f∈𝕂[u_1, …, u_n]，使得 h = f(g_1, …, g_n)。在本文中，我们提供了一种计算 f 的算法，给定 h 和 g_1, …, g_n。我们的算法复杂度是输入的规模 h 和 g_1, …, g_n 的线性，并且当 f 的度数固定时，是 n 的多项式。之前的工作主要已知 f 是对称多项式，并且 g_1, …, g_n 是初等对称多项式、齐次对称多项式或幂对称多项式。
我们提供了一种算法,用于计算椭圆表面在复杂的投射线上的有效基础,可以进行周期的整合。 这允许表面的几个代数不变的发质性恢复,特别是Néron-Severi晶格,超然晶格,Mordell-Weil组和Mordell-Weil晶格。 该算法带有 SageMath 实现。
对于两个真正的对称矩阵,它们的特征值配置是它们的特征值在真实线上的相对排列。 我们考虑以下问题:给定特征值配置,在两个真实对称矩阵的条目上找到一个条件,以便它们具有给定的特征值配置。 这个问题相当于在两个矩阵(我们称之为配置判别)的条目中找到一组有限的多项式,以及一种表示特征值配置条件的方法,作为判别多项式(我们称之为配置-从符号变换)上的不等式表达。 在本文中,我们在一个温和的条件下考虑问题,即两个矩阵不共享任何特征值。 我们通过将其减少到某些相关多项式的几个经典真正的根计数问题来解决这个问题。
我们详细介绍了一种算法,除了一个 1/Ω(log(dH)) 的 f∈Z[x] 分数,其值 d 和 {-H, ..., H} 中的所有系数 - 在经典图灵模型中,在确定性时间 log^4+o(1)(dH) 中为每个真正的 f 根产生一个近似的根(在 Smale 的意义上)。 (每个近似根是具有对数高度 O(log(dH))的理性。 之前最好的确定性位复杂度边界在log d中呈指数级。 然后,我们将这与Koiran的Trinomial Sign Problem(2017)联系起来:在{-H,...,H}中{-H,在对数高度日志H的r∈Q点,在(确定性)时间log^O(1)(dH)中决定一个d三角标志f∈Z[x]的符号。 我们表明,Koiran的Trinomial Sign问题承认一个积极的解决方案,至少对于输入(f,r)的1-1/Ω(log(dH))的一小部分。
在本文中反驳了Pal和Budaghyan(DCC,2024)关于存在APN排列家族的猜想,但表明如果该字段的基数q大于9587,那么这些函数永远不会是APN。 此外,我们讨论其他连接的函数家族,对于潜在的APN功能,但我们表明,如果底层字段很大,它们不是APNness的好候选者,尽管它们虽然是小环境的APN。
我们为交流和Gopa代码提出了一个新的区分器,其复杂性在纠错能力方面是亚指数级的,因此比通用解码算法更好。 此外,它并没有受到以前区分器或结构恢复算法的强烈制度限制:特别是,它适用于经典McEliece用于后量子密码学标准化的的代码。 允许我们区分的不变性是双代码缩短的均匀坐标环的Betti数字。 自1978年推出以来,这是McEliece加密系统首次打破指数级障碍。
确保软件的正确性仍然是正式程序验证中的一项基本挑战。 一种有希望的方法依赖于为循环寻找多项式不变性。 多项式不变性是每次迭代前后保持的程序循环的属性。 生成多项式不变性是循环的关键任务,但在一般情况下,这是一个不可决定的问题。 最近,这个问题出现了另一种方法,重点是从不变性合成循环。 然而,现有的方法只合成没有守卫条件的亲和环循环从多项式不变。 在本文中,我们解决了一个更普遍的问题,允许循环具有给定结构的多项式更新映射,保护条件中的等式和任意形式的多项式不变性。 在本文中,我们使用代数几何工具来设计和实现一种算法,该算法计算一组有限的多项式方程,其解对应于满足给定多项式不变性的所有循环。 换句话说,我们将合成循环的问题减少到在复杂数的指定子集中找到多项式系统的解决方案。 后者使用SMT求解器在我们的软件中处理。
我们构建了最佳安全编码分布式方案,将已知的最优结构扩展到所有字段的特征 0 字段。 一个偶然的结果是,我们可以在有限字段上编码所有函数,其恢复阈值与复杂度(张量等级或乘法)成正比;这是由于众所周知的结果,有限字段上的所有函数都可以表示为多变量多项式(或对称张量)。 我们得到命令l(或多变量多项式l度)可以在n个数的n节点设置的故障网络中计算,并且根据N个合理点和距离覆盖故障服务器数的代码的属进行加法术语;特别是,我们提出了两个m×m矩阵的一般矩阵乘法的编码方案,其恢复阈值为2 m^ω -1+g,其中ω是exp。 此外,我们提供了足够的条件,使一般线性代码的Haddamard-Shur产品具有类似的恢复阈值,我们称之为日志添加码。 最后,我们展示了具有曲线度函数的评估代码(首先在[Ben-Sasson等人]中定义。 (STOC '13)])具有良好性能的零集是日志附加组件。
我们通过它们神经变量的几何形状研究深度多项式神经网络的表现力。 我们介绍了网络架构的激活度阈值的概念,以表达当神经变量的维度达到其理论最大值时。 我们证明了所有多项式神经网络的激活度阈值的存在,没有宽度-一的瓶颈,并展示了一个通用的上限,即最大尺寸的宽度是二次的。 在这样做的过程中,我们证明了Kieel,Trager和Bruna的高激活度猜想。 某些结构化架构具有特殊的激活度阈值,使它们在神经变化维度的意义上特别具有表现力。 在这个方向上,我们证明具有等宽架构的多项式神经网络通过显示它们的激活度阈值是最大表达性的。
我们引入了一种有效的方法来分解给定的 Matroid M 的电路品种,该算法基于识别其最小扩展的算法。 这些扩展对应于依赖性顺序定义的poset中M上方的最小元素。 我们将我们的算法应用于几个经典配置:Vámos matroid,独特的Steiner四重系统S(3,4,8),投影和亲和平面,Fano Matroid的双,以及K_3,3图形矩阵的双。 在每种情况下,我们计算其电路品种的最小不可还原分解。
我们研究如何一个平滑的不可还原的代数X的维度n嵌入在CP^m(与m≥n+2),该度是d,可以使用两个投影从未知点到未知的超平面恢复。 投影的中心和超平面是未知的:唯一的输入是每个投影品种的定义方程。 我们展示了如何同时恢复 CP^m 投影运算符和 CP^m 中的品种的 modulo ,这是 CP^m 的投影变换组的一些动作。 该配置概括了在 CP^3 中嵌入的曲线和 CP^4 中嵌入表面的结果。 我们展示了在通用情况下,如何恢复一对投影的特征矩阵。 在此过程中,我们处理尺寸问题,并因此建立一个必要的条件,以及一个足以计算此特征矩阵到有限折叠模糊性的条件。 这些条件表示为双品种程度的最小值。 然后我们使用这个矩阵来恢复一对投影的类,并因此恢复多样性。 对于通用情况,两个预测定义了具有两个不可简化组件的变体。 一个组件有d(d-1)度,另一个有d度,是原始品种。
本文涉及解决半定义编程(SDP)的可行性问题的算法方面,即线性矩阵不等式(LMI)。 由于在某些 SDP 实例中,所有可行的解决方案都有非理性的条目,因此使用合理数的数值求解器只能找到近似的解决方案。 我们研究以下问题:是否可以使用足够接近某些确切解决方案的近似解决方案来验证给定SDP的可行性? 现有方法假设存在合理可行的解决方案(并使用四舍五入和格子还原算法等技术)。 我们提出一种不需要这种假设的替代方法。 更具体地说,我们展示了如何构建一个多项式方程系统,其一组真正的解保证有一个孤立的正确解(假设目标精确解是最大等级)。 这特别允许使用来自真实代数几何的算法来解决多项式方程的系统,为SDP产生混合(或符号-数字)方法。 我们用纯符号方法对其进行实验比较;混合方法能够证明许多SDP实例的可行性,其中确切方法失败。 我们的方法可能还有进一步的应用,例如使用多项式方程系统的数值代数几何学方法改进近似解决方案。
在本文中,我们启动了对 Σ^[k]ΠΣΠ^[δ] 任何特征的电路的确定性PIT的研究,其中k和δ是边界的。 我们的主要结果是电路的确定性多项式 Σ^[3]ΠΣΠ^[δ] 黑盒PIT算法,在顶部Σ门的汇总器之一为平方无的附加条件下。 我们的技术纯粹是代数几何学:它们不依赖于西尔维斯特-加莱式定理,我们的PIT结果依赖于任意字段。 我们证明的核心是基于代数品种的正常化。 具体来说,我们在坐标环的积分闭合中进行分析,该坐标环享有比原始环更好的代数性能。
在Mazur-Tate和Satoh的工作之后,我们将分裂多项式的定义扩展到椭圆曲线的任意异构,包括那些内核不与身份相通的异构体。 在类比乘法的分裂多项式的经典情况下,我们展示了复发关系,与经典椭圆函数相关的身份,描述源和目标曲线上分裂多项式之间关系的链规则,以及向更高维度(即椭圆网)的概括。
