我们介绍了EuLearn,第一个表面数据集公平地代表了拓扑类型的多样性。 我们设计我们的嵌入式表面的均匀变化属依赖于随机结,从而使我们的表面与自己结结。 EuLearn在3D中贡献了网格,点云和标量字段的新拓扑数据集。 我们的目标是促进机器学习系统的训练,这些系统可以辨别拓扑特征。 我们尝试了特定的标志性3D神经网络架构,发现它们的香草实现在属分类上表现不佳。 为了提高性能,我们开发了一种新颖的,非欧几里得,统计采样方法,适用于图形和流形数据。 我们还介绍了依赖于我们非欧几里得采样策略的 PointNet 和 Transformer 架构的邻接适应。 我们的结果表明,将拓扑信息整合到深度学习工作流程中可以显著提高这些具有挑战EuLearn数据集的性能。
众所周知,回缩图是所有数值集成体的种子。 这些基于回缩图的集成器可以进一步提升为切线和共聚的紧密连接,从而产生机械系统的结构保护集成器。 我们探索我们的机械系统的配置空间是具有某些对称性的Lie组的特殊情况。 在这里,集成器根据Lie组的切线和共通包可琐碎的特性进行了简化。 最后,我们提出了一个框架,用于设计Euller-Poincare和Lie-Poisson类型方程的数值集成器。
我们介绍了EuLearn,第一个表面数据集公平地代表了拓扑类型的多样性。 我们设计我们的嵌入式表面的均匀变化属依赖于随机结,从而使我们的表面与自己结结。 EuLearn在3D中贡献了网格,点云和标量字段的新拓扑数据集。 我们的目标是促进机器学习系统的训练,这些系统可以辨别拓扑特征。 我们尝试了特定的标志性3D神经网络架构,发现它们的香草实现在属分类上表现不佳。 为了提高性能,我们开发了一种新颖的,非欧几里得,统计采样方法,适用于图形和流形数据。 我们还介绍了依赖于我们非欧几里得采样策略的 PointNet 和 Transformer 架构的邻接适应。 我们的结果表明,将拓扑信息整合到深度学习工作流程中可以显著提高这些具有挑战EuLearn数据集的性能。
众所周知,回缩图是所有数值集成体的种子。 这些基于回缩图的集成器可以进一步提升为切线和共聚的紧密连接,从而产生机械系统的结构保护集成器。 我们探索我们的机械系统的配置空间是具有某些对称性的Lie组的特殊情况。 在这里,集成器根据Lie组的切线和共通包可琐碎的特性进行了简化。 最后,我们提出了一个框架,用于设计Euller-Poincare和Lie-Poisson类型方程的数值集成器。
现代机器学习越来越多地利用高维数据通常位于低维,非线性流形附近的洞察力,这种思想被称为多能假设。 通过通过学习黎曼几何算法明确地对数据的几何结构进行建模,可以在聚类、降维和插值等任务中实现更高的性能和可解释性。 特别是,学习的回调几何最近经历了变革性的发展,现在使其可扩展为学习和可扩展评估,这进一步为原理非线性数据分析和可解释的机器学习打开了大门。 然而,在考虑现实世界的多模态数据时,仍有一些步骤需要采取措施。 这项工作的重点是解决多模态设置中可能出现的扭曲和建模错误,并提出通过异构学习的黎曼结构并平衡二分法参数化的规律性和表现力来缓解这两个挑战。 我们用合成和真实数据在几个数值实验中展示了拟议方法的协同作用的有效性。
通过可变延迟和系数评估矢量非线性系统的边界和稳定性仍然是科学和工程广泛应用的挑战性问题。 现有方法往往产生过于保守的标准,这些标准提供了有限的实用价值,并且往往无法明确描述解决方案规范的时间演变。 本文提出了评估此类系统中解决方案规范演变的新框架。 这种方法为原始向量方程构建标量对应物。 我们证明,这些标量非线性方程的解决方案,其中还包括延迟和可变系数,为原始解的规范提供了上界限,如果两个方程的历史函数都正确匹配。 这种减少能够通过分析其标量对应物的动力学来评估矢量系统的范围和稳定性,这些动态可以通过直接模拟或简化的分析推理来实现。 因此,我们引入了新的边界和稳定性标准,并估计包含历史函数的球的半径,这些函数为原始矢量系统提供有边界或稳定的解决方案。 最后,我们通过具有代表性的模拟验证了我们的推论,这些模拟还评估了拟议方法的准确性。
我们使用多形上的回缩和离散化图的概念来研究(几乎)狄拉克结构的离散化。 此外,我们应用建议的离散化技术来获得port-Hamiltonian系统的数字集成器,我们讨论了如何合并离散化过程以及与隐式微分方程系统相关的约束算法。
我们介绍并讨论了概率形态学类别的应用,最初是在<cit.>中开发的,以及一些几何方法,以统计,机器和多形学习中的几个类别的问题,这些类将与许多其他主题一起,在即将出版的书中深入考虑。
生成流网络(GFN)最初是在定向循环图上引入,以从未规范化的分布密度进行采样。 最近的作品扩展了生成方法的理论框架,允许更多的灵活性和增强应用范围。 然而,在连续设置和模仿学习(IL)中训练GFNs方面仍然存在许多挑战,包括流量匹配损失的难易性,非自行车训练的有限测试,以及模仿学习中需要单独的奖励模型。 本作品提出了一个名为Ergodic Generative Flows(EGFs)的生成流家族,用于解决上述问题。 首先,我们利用 ergodicity 构建简单的生成流,通过有限许多全球定义的变换(差异性),具有普遍性保证和可处理的流量匹配损失(FM 损失)。 其次,我们引入了一个新的损失,涉及交叉熵耦合弱流量匹配控制,创造了KL-weakFM损失。 它专为IL训练而设计,没有单独的奖励模型。 我们使用KL-weakFM损失来评估来自NASA的玩具2D任务和现实世界数据集的IL-EGF。 此外,我们使用FM损失进行玩具2D强化学习实验,目标奖励。
几何分解是一种广泛使用的工具,用于构建有限元空间的局部碱基。 对于简单网格上的差分形式的有限元空间,Arnold、Falk 和 Winther 表明,几何分解可以从满足某些属性的扩展运算符构建。 在本文中,我们将它们的结果推广到函数空间和网格,满足极小的假设,同时减少扩展运算符必须持有的条件。 特别是,网格和网格元素的几何形状可以完全任意,函数空间只需要对子元素有定义明确的限制。 在这个大背景下,我们表明扩展运算符为原始函数和双函数空间产生几何分解。 后来,我们专门研究简单的网格,我们表明,要获得几何分解,只需要在每个维度的引用 simplex 上构建扩展运算符。 特别是对于简单的网格,几何分解的存在只取决于网格的维度。
我们发现钢化稳定过程的信息几何形状。 从两个锤化稳定过程之间的α-divergence的推导开始,我们获得相应的Fisher信息矩阵及其统计歧体上的α连接。 此外,我们探索这个几何框架的统计应用。 各种钢化稳定过程,如广义钢化稳定过程,经典钢化稳定工艺和快速减少的钢化稳定过程,作为说明性示例。
差分隐私(DP)已经通过在信息发布中添加扰动来作为私人数据共享的保障。 以前对DP的研究已经超越了扁平的欧几里得空间的数据,并通过在大地测量距离上添加扰动来处理弯曲歧管的数据,例如扩散张量MRI,社交网络或器官形状分析。 然而,现有的流形感知DP方法依赖于样本均匀分布在流形中的假设。 在现实中,数据密度各不相同,导致多路地区存在有偏见的噪音不平衡,削弱了隐私-效用的权衡。 为了解决这一差距,我们提出了一种新的机制:Conformal-DP,利用黎曼流形上的构象变换来平衡局部样本密度,并相应地重新定义大地测量距离,同时保留流形的内在几何形状。 我们的理论分析产生了两个主要的结果。 首先,我们证明从局部内核密度估计值计算的一致性因子是显式数据密度感知的;第二,在构象度量下,该机制满足任何完整的黎曼流形的ε-差分隐私,并承认在预期的大地测量误差上有一个闭合的上限,该误差仅取决于最大密度比,而不是流形的全球曲率。 我们的实验结果证实该机制实现了高效用,同时为同质和特别是异构流形数据提供了ε-DP保证。
我们通过引入加权的 Hardy 空间和传输功能的平滑转换,扩展了用于复杂值信号处理滤波器的 Kähler 信息流形框架。 我们证明,从加权哈代规范诱导的黎曼几何形状,其转移函数的平滑变换是Kähler流形。 在这个设置中,线性系统几何形状的Kähler电位对应于复合转移函数的平方加权Hardy规范。 通过Kähler流唑的固有结构,加权Hardy空间中线性系统流形上的几何数量可以更高效,更优雅地计算。 此外,这个广义的框架在Kähler信息流形结构中统一了信号滤波器的各种知名信息流形。 提供了时间序列模型中的几个示例,其中度量张量,Levi-Civita连接和Kähler电位以极点的多对数函数和由权重向量参数参数化的传递函数零表示。
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