我们提出了具有Toeplitz矩阵形式的可学习参数的深入库普曼分层模型,用于分析时间序列数据动态的过渡。 提出的模型具有理论的坚固性和灵活性。 由于Toeplitz矩阵的通用属性和模型背后的繁殖属性,我们展示了它的普遍性和概括性属性。 此外,建议的模型的灵活性使模型能够适应来自非自主动态系统的时间序列数据。 在训练模型时,我们将Krylov子空间方法应用于高效计算,该方法在库普曼运算符和数值线性代数之间建立了新的连接。 我们还从经验上证明,拟议的模型优于非自主系统多个库普曼运算符的特征值估计的现有方法。
L^2(R^n)中的密小波框架(TFF)是多功能的,由于其完美的重建特性,实际上很有用。 然而,现有的TWF施工方法存在局限性,包括缺乏在基于扩展的施工中产生母秸秆的具体方法,以及即使在基于SOS的施工中提供生成母秸秆的具体方法时,也有必要解决平方(SOS)问题的总和。 许多 TWF 构造以给定的可重新定义函数开始。 然而,这种方法将整个负担放在寻找合适的母秤上。 在本文中,我们介绍了TWF构造方法,在两种类型的函数之间分散负担:可重新定义函数和母波。 这些施工方法为解决SOS问题提供了另一种方法。 我们举例子来说明我们的施工方法。
本文在分形可计数的范式下对实际区间[a,b]进行了技术和实用的重新解释。 而不是假设连续体作为一个完成的不可计数的总和,我们建模[a,b]作为建设性可定义点的分层结构,由形式系统的层次结构索引。 我们从真实分析(连续性,度量,差异化和集成)中重新制定了经典概念,从分层可定义水平 S_n 来看,从而将分析设备建立在语法可访问性而不是本体论假设中。 其结果是分形分析的框架,其中数学运算被相对化到可表达层,从而对近似性、可计算性和正式验证有了新的见解。
使用细分方案理论,我们开发了一个标准来检查任何自然数是否在n-ary数字系统中最多有一个表示,其中包含一组非负整数数字A={a_1,a_2,...,a_n},包含零。 这种唯一性属性被证明等同于对三角多项式∑_k=1^n e^-2π i a_k t的根部的一定限制。 从这个标准来看,在A不可还原的自然条件下,我们推断,在素数n的情况下,唯一性存在,只有当A的数字是明显的模数n时,而对于任何复合n,我们表明后一种条件没有必要。 我们还建立了这种唯一性与等整数斜率的亲和整数函数的半组自由度问题的联系;这和两个标准一起允许填补D.Klarner在Erdös关于亲和整数轨道密度的问题上工作的空白,并建立一个简单的算法来检查斜率是素数时密度的自由度和正性。
带有深层去皮的即插即用(PnP)方法在成像问题中显示出令人印象深刻的结果。 它们通常需要保真度的强凸度或平滑度,以及用于收敛的(剩余)非扩展的去噪器。 然而,这些假设在Poisson逆问题上被违反,非扩张性会阻碍表现。 为了应对这些挑战,我们提出了一个共杀保守(CoCo)的去噪器,这可能是(剩余)扩张,导致面食的改善。 通过利用广义的亥姆霍兹分解,我们引入了一种新的培训策略,将哈密顿的正则化相结合,以促进保守性和光谱正则化,以确保共性。 我们证明 CoCo 去噪器是弱凸函数的近端运算符,启用了具有隐式弱凸前置的恢复模型。 PnP方法的全球融合到这种恢复模型的固定点。 广泛的实验结果表明,我们的方法在视觉质量和定量指标上都优于密切相关的方法。
在本文中,我们提出了以下一般方法。 我们研究熵数的渐近行为不是针对单个平滑度类,它通常如何完成,而是用于类的集合,这些类由来自给定函数类的内核的积分运算符定义。 早些时候,这种方法在Kolmogorov宽度上实现了。
我们研究了属于复数高斯平移不变空间 V^∞(φ) 的信号 f 的相位重建问题，通过 spectrogram 测量 |𝒢 f(X)| 进行，其中 𝒢 是 Gabor 变换，X ⊆ℝ^2。一个明确的重建公式表明，可以通过时频平面上平行线上的测量，通过 Riesz 基展开来恢复这些信号。此外，对 |f| 的连通性假设导致在试图在紧凑区间上重建 f 时产生稳定性估计。受最近观察到的高斯平移不变空间中的信号由格点测量确定 [Grohs, P., Liehr, L., Injectivity of Gabor phase retrieval from lattice measurements, Appl. Comput. Harmon. Anal. 62 (2023), pp. 173-193] 的启发，我们证明了从有限数量的 spectrogram 样本进行稳定逼近的采样结果。由此产生的算法提供了一种可证明稳定且收敛的逼近技术。此外，它构成了一种逼近函数空间中信号的方法，这些函数空间超越了 V^∞(φ)，例如 Paley-Wiener 空间。
我们提出了一种更快的算法，用于生成用于采样任意对数凹密度的热启动，从而实现了第一个针对（近）各向同性输入情况下的亚立方采样算法。大量先前的工作产生了至少与维度成线的热启动惩罚，即使对于从凸体进行均匀采样的特殊情况，也达到了立方障碍。我们的改进依赖于两个独立的、有趣的组成部分。(1) 我们展示了如何在较弱的距离概念下进行采样，给定一个热启动，特别是对于 q=𝒪(1) 的 q-Rényi 散度，而先前的分析需要严格的 ∞-Rényi 散度（Hit-and-Run 除外，其已知混合时间更高）。这标志着自 Lovász 和 Simonovits (1991) 以来对所需热启动的首次改进。(2) 我们改进并推广了 Lee 和 Vempala (2018) 的对数 Sobolev 不等式，该不等式最初是针对各向同性对数凹分布而言的，以支持直径为基础，扩展到以支持直径和协方差矩阵的最大特征值的几何平均值为基础的对数凹分布。
受 Kolmogorov-Arnold 叠加定理的启发，Kolmogorov-Arnold 网络（KAN）最近成为大多数深度学习框架的改进骨干，通过允许可训练的样条基激活函数，相比于多层感知器（MLP）前身，它承诺了更高的适应性。在本文中，我们通过证明 KAN 架构可以最佳地逼近有界开放甚至分形域 𝒳 中 ℝ^d 中的任何 Besov 函数 B^s_p,q(𝒳)，并以任何较弱的 Besov 范数 B^α_p,q(𝒳) 的最优逼近速率来探究 KAN 架构的理论基础，其中 α < s。我们用从 N 个 i.i.d. 无噪声样本中学习 Besov 正则性函数的残差 KAN 模型的无维样本复杂度估计来补充我们的逼近保证。我们的 KAN 架构通过利用层之间的残差/跳跃连接，融合了当代深度学习的智慧。
在本文中,我们提出了一个使用立方贝齐尔曲线的剪影矢量化的主动轮廓模型。 在Bézier曲线的终点中,我们区分了切线向量方向的角点和常规点。 通过最小化Bézier曲线与剪影边界的距离,主动轮廓模型优化了Bézier曲线端点的位置,正态向量在正则点中的方向,以及Bézier曲线参数的估计。 这个活跃的轮廓模型可以使用任何方法获得的剪影矢量作为初始猜测。 提议的方法显著降低了世界级图形软件Inkscape,Adobe Illustrator和基于曲率的矢量化方法获得的剪影边界与其矢量化之间的平均距离,我们将其介绍进行比较。 我们的方法还允许我们通过减少其长度来对Bézier曲线施加额外的规律性。
量子高斯通道是连续可变量子系统中通信和信息处理的基本模型。 这项工作涉及这些渠道的基础方面和物理实现途径。 首先,我们提供了一个严格的统一框架,正式证明了文献中普遍存在的量子高斯通道的三个主要定义的等效性,巩固了理论理解。 其次,我们使用多端口干涉仪(量子光学的关键平台)研究这些通道的物理实现。 核心研究贡献是通道参数的精确表征,对应于通过线性光学多端口干涉仪物理实现的高斯通道。 这种表征将抽象的数学描述与具体的物理架构联系起来。 一路上,我们也解决了Parthasarathy(Indian J.)提出的一些问题。 纯粹的Appl。 数学。 46,(2015年)。
在希尔伯特空间中,我们研究两个不一致的亲和子空间之间交替投影的规范的收敛,一侧有不同的松弛。
X射线CT的数学基础是基于这样的假设,即通过测量通过物体的X射线的衰减,可以沿着足够丰富的L系,∫_L μ(x)d x恢复衰减系数μ(x)的积分。 这个假设是不准确的,因为典型的CT扫描仪中X射线束的能量谱很广。 同时,大多数材料的X射线衰减系数与能量有关,这种依赖性因材料而异。 因此,从X射线CT数据重建是一个非线性问题。 如果忽略了CT数据的非线性性质,并且使用了传统的线性重建公式,通常是这种情况,则由此产生的图像包含光束硬化工件,如条纹。 在这项工作中,我们使用所有CT从业者接受的传统模型来描述CT数据的非线性。 我们的主要结果是非线性引起的条纹工件的表征。 我们还获得了对工件的主要单一行为的显式表达。 最后,进行数值实验以验证理论结果。
考虑在 Banach 空间 X 中具有运算系数的第一阶微分方程的两点非局部问题。 提出了指数收敛算法,并假设运算系数是强正的,并且满足了一些存在和唯一性条件。 这种算法导致一个线性方程系统,可以通过定点迭代解决。 该算法在时间上提供了指数级的收敛,与空间变量上的快速算法相结合,可以有效地处理这些问题。 提议算法的效率通过数值示例证明。
关于Kolmogorov和Arnold(KA)作为表示或“表达”函数的算法的表示定理,我们通过分析其抵御对抗攻击的能力来测试其稳健性。 我们发现KA是强大的,可以计算连续的对手,但发现了一个关于外部功能的等持续的问题,到目前为止,这些外部功能阻碍了限制和击败连续的对手群体。 关于外部功能规律性的问题与关于KA对NN的一般理论的适用性的争论有关。
通过动态模式分解算法,我们提供了有限维子空间 F ⊆L^2(X) 的维度的下限,用于预测动态系统在较长时间范围内的行为。 我们区分两种情况:(一) 如果 F 是由 X 的有限分区决定的,我们得出一个下界,该下界取决于分区的动态测量-理论熵。 (二) 我们考虑一般有限维子空间 F 并建立一个 F 维度的下界,该下界取决于系统的 Koopman 运算符的光谱结构,通过 Voicescu 研究的 F 的近似熵。 此外,我们鼓励使用延迟可观测器来提高动态模式分解算法的预测质量。
本文研究了正则化随机梯度下降(SGD)算法,用于估计从波兰空间到可分离的希尔伯特空间的非线性运算符。 我们假设回归运算符位于由运算符值内核诱导的向量值重的内核 Hilbert 空间中。 考虑两个重要的设置:具有多项式衰减步长和正则化参数的在线设置,以及具有恒定步进尺寸和正则化参数的有限水平设置。 我们介绍了目标运算符的结构和平滑度以及输入随机变量的规律性条件。 在这些条件下,我们为预测和估计错误提供无维度收敛分析,得出预期和高概率误差边界。 我们的分析表明,这些收敛率几乎是最优的。 此外,我们提出了一种新技术,用于为一般SGD方案提供高概率的推导边界,这也确保了几乎可靠的收敛。 最后,我们讨论更通用的运算符值内核和编码器-解码器框架的潜在扩展。
我们处理两个二阶不相关的广义随机过程的最佳线性过滤问题。 这是一个涉及协方差运算符的运算符方程。 我们研究宽感固定案例和非静止案例。 在前一种情况下,方程简化为卷积方程。 解决方案是非负锤式氡测量之间的氡-Nikodym导数,分别为频率域中的信号和信号加噪声。 在非静止的情况下,我们与在 Sjöstrand 调制空间中使用符号的伪差运算符,这些符号承认使用其光谱不变性。
在本文中,我们研究了具有重量α和重量α的其他特征图的循环矩阵的特征值。 我们用 n 表示图的顺序,并假设 n 倾向于无穷大。 我们注意到特征多项式和特征值仅取决于Re(α)。 之后,通过论文的其余部分,我们假设0<α<1。 很容易看出特征值属于[0,4],并且作为[0,π]上的函数g(x)=4sin^2(x/2)进行渐近分布。 我们获得了一系列关于特征值的个体行为的结果。 首先,我们更精确地描述他们在[0,4]的次间中定位。 第二,我们将特征方程转换为通过数值方法方便解决的形式。 特别是,我们证明牛顿的方法每收敛n≥3。 第三,我们得出所有特征值的渐近公式,其中错误相对于特征值的数量是统一的约束。
输卵管张量框架为张量计算提供了干净有效的代数设置,支持矩阵仿生特征,如奇点值分解和Eckart-Young-like最优结果。 管式张量框架的基础是张量作为有限大小管矩阵的视图。 在这项工作中,我们奠定了使用无限大小管的张量的数学和计算基础:矩阵的元素来自可分离的希尔伯特空间的元素。 一个关键挑战是,管状张量的重要期望矩阵-仿生特征的存在依赖于管环中单位元素的存在。 这种单元元素不能存在于作为无限维希尔伯特空间元素的管中。 我们回避了这个问题,将块状空间嵌入到有界运算符的交换单元C*代数中。 由此产生的准代数可恢复分解和低等级近似所需的结构特性。 除了为使用具有无限维管的管状张量奠定理论基础外,我们还讨论了我们构建的计算方面,并提供了一个数值插图,我们使用我们的理论计算无限大小的合成张量。 我们相信,我们的理论为在固有的无限维度问题的背景下应用矩阵模仿张量框架开辟了新的令人兴奋的途径。