给定一个有限尺寸,大调模块在两个变量的多项式环上,我们定义它的二参数计数,一个自然数,和它的末端曲线,一组平面曲线。 这些是在一个变量中,单级模块在多项式环上的条形数概念和端点的二维类似物,来自持久性理论。 我们表明,我们的计数是满足某些自然条件的唯一计数;因此,两个参数持久性中的几个包含-排除型公式产生相同的正数,它等于我们的计数,并反过来等于最终曲线的数量,赋予这个计数几何意义。 我们表明,最终曲线通过显示它们插在生成器,关系和syzygies之间来决定经典的Betti表。 使用某个字符串代数的带表示,我们显示端曲线的一组承认一个规范分区,其中每个部分在平面上形成一个闭合曲线;我们将其称为模块的边界。 作为一个不变的,边界既不弱也不强于等级不变,但是,与等级不变相反,它是在一组价差-可分解表示上的完全不变。 我们的结果连接了多参数持久性的几行工作,并且它们在两个变量中通过真实指数多项式环向模块的扩展与二维莫尔斯理论有关。
我们从算法的角度研究颤动表示的半稳定性。 我们为颤动表示的半稳定性的几个基本计算问题提出了高效的算法:决定半稳定性和σ-semistability,找到King标准的最大化者,并计算Harder-Narasimhan过滤。 我们还研究了由King标准中的线性系统定义的一类多面锥体,我们将其称为King圆锥体。 对于排名一表示,我们证明这些King圆锥体可以通过子模块流聚位点进行编码,使我们能够在强烈的多项式时间内决定σ-semistability。 我们的方法采用 quiver 表示中的子模块化,这可能是独立感兴趣的。
我们定义了Temperley-Lieb,Motzkin和平面鲁克单体的非枢轴类似物,并计算其非平凡简单表示的大小。 由此,我们通过比较它们的表示差距和间隙比,评估两种类型的单体在密码学中的相对适用性。 我们的结论是,非枢轴单体通常对加密目的更糟糕。
给定一个具有绝对伽罗瓦群 𝒢 的数域，一个有限伽罗瓦模 M，以及一个 Selmer 系统 ℒ，本文给出了一种计算 Sel_ℒ 的方法，即附着于 ℒ 的 M 的 Selmer 群。首先，我们描述了一种获得 M 的分解的方法，其中态射由 Hecke 算子给出。然后，我们构造了另一个群 H^1_S(𝒢, M)，并利用 Hecke 算子的性质证明 H^1_S(𝒢, M) 是一个包含 Sel_ℒ 的 Selmer 群。然后，我们讨论了该方法的时间复杂度。
本文提出了一种新型框架，用于在同质空间上构建齐变非线性神经网络层。Cohen等人关于同质空间上齐变G-CNNs的开创性工作，在线性设置下描述了此类层的表示理论，发现它们由满足所谓“可导性约束”的卷积给出。受到非线性层（例如自注意力或输入相关核）的经验成功的启发，我们着手将这些见解推广到非线性设置。我们推导了任何此类层需要满足的广义可导性约束，并证明了我们构建的通用性。对齐变算子在特征图和群元素上的对称性约束函数依赖性的深入理解，为未来齐变神经网络层的设计提供了信息。我们展示了如何从我们的框架推导出几种常见的齐变网络架构——G-CNNs、隐式可导核网络、传统和相对位置嵌入的基于「transformer」的注意力机制，以及LieTransformers。
多智能体强化学习已经成为一个强大的框架,使代理能够学习复杂,协调的行为,但在推广,可扩展性和样本效率方面面临持续的挑战。 最近的进展试图通过在政策中嵌入系统的内在对称性来缓解这些问题。 然而,大多数动力学系统几乎没有对称性可以利用。 本文提出了在多智能体系统动力学中嵌入外部对称性的新框架,该框架使使用对称增强方法来解决内在对称性不足的系统,将等式学习的范围扩大到各种各样的MARL问题。 我们框架的核心是 Group Equivariant Graphormer,这是一个专门为分布式蜂拥任务设计的组模块化架构。 对称打破四度的四旋翼进行了广泛的实验,验证了我们方法的有效性,展示了其改进的通用性和零射击可扩展性的潜力。 我们的方法实现了碰撞率的显著降低,并增强了跨各种场景和不同群体大小的任务成功率。
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