给定形式 ax + by = cz 的线性方程 E,其中 a, b, c 是正整数, k 色 R_k(E) 是最小的正整数 n,如果它存在,使得正整数 {1, 2, ..., n} 的每个 k 着色都包含 E 的单色解。 在本文中,我们考虑 k = 3 和线性方程 ax + by = bz 和 ax + ay = bz。 使用SAT求解器,我们计算了一些与这些方程对应的以前未知的Rado数字。 我们证明了对 Rado 数字的新的一般界限,灵感来自 SAT 求解器发现的令人满意的作业。 我们的证明需要广泛的基于案例的分析,这些分析很难用手检查正确性,所以我们通过使用我们开发的新方法自动检查证明的正确性,该方法支持符号定义集的操作 - 例如,表单{f(1),f(2),...,f(a)}的集合的工会或交叉点,其中a是一个符号变量,f是可能依赖于a的函数。 我们所知的计算机代数系统目前对符号集有足够能力的支持,导致我们开发了一个支持符号集的工具,使用Python符号计算库SymPy加上可满足性模块理论解决器Z3。
A graph class 𝒞 is monadically dependent if one cannot interpret all graphs in colored graphs from 𝒞 using a fixed first-order interpretation. We prove that monadically dependent classes can be exactly characterized by the following property, which we call flip-separability: for every r∈ℕ, ε>0, and every graph G∈𝒞 equipped with a weight function on vertices, one can apply a bounded (in terms of 𝒞,r,ε) number of flips (complementations of the adjacency relation on a subset of vertices) to G so that in the resulting graph, every radius-r ball contains at most an ε-fraction of the total weight. On the way to this result, we introduce a robust toolbox for working with various notions of local separations in monadically dependent classes.
辩证进化产生了复杂的系统发育网络,使他们的解释具有挑战性。 一个典型的方法是在这样的网络中提取树木。 自弗朗西斯和钢铁的开创性论文以来,“哪些物理发育网络是只有额外的弧度?” (2015),基于树木的系统发育网络及其支持树(与给定网络具有相同的根和叶的树)已经进行了广泛的研究。 然而,并非所有的系统发育网络都是基于树木的,对于重新调节进化的研究,识别支持网络而不是树木通常更具生物学相关性。 这项研究概括了Hayamizu对根植二叉系统发育网络的结构定理,该定理为支撑树的各种计算问题提供了最佳算法,以扩展支持树的理论框架以支持网络。 这使我们能够获得三个集合中的每个直接产品特征:所有,最小和最小支持网络,对于给定网络。 每个表征都会产生用于计数和生成每种类型的支持网络的最佳算法。 应用程序包括用于查找具有最少重调(即最小层)的支持网络的线性时间算法。 我们还提供精确和指导性的算法,用于寻找具有最低水平的支持网络,既在指数时间运行,但在相当广泛的重调数字中实用。
图形的正确薄度是一个不变的,它概括了适当的间隔图的概念。 每个图形都有适当的薄度的数值,具有适当薄度的图形1正是适当的间隔图。 图形是适当的k-薄,如果它的顶点可以排序,这样顶点有一个分区的顶点到k类满足,对于每个三重顶点r < s < t,这样r和t之间有一个边缘,这是真的,如果r和s属于同一个类,那么s和t之间有一个边缘,如果s和t属于同一个类,那么有一个边缘。 适当的薄度是k的最小值,因此图形是适当的k-薄。 在这项工作中,我们专注于计算树木的适当薄度。 我们表征了适当的薄度2,无论是结构上还是通过其最小的禁止诱导子图。 获得的表征导致了多项式时间识别算法。 我们还展示了为什么为适当薄的树木2获得的结构结果不能直接推广到适当的薄度3的树木。
图形的正确薄度是一个不变的,它概括了适当的间隔图的概念。 每个图形都有适当的薄度的数值,具有适当薄度的图形1正是适当的间隔图。 图形是适当的k-薄,如果它的顶点可以排序,这样顶点有一个分区的顶点到k类满足,对于每个三重顶点r < s < t,这样r和t之间有一个边缘,这是真的,如果r和s属于同一个类,那么s和t之间有一个边缘,如果s和t属于同一个类,那么有一个边缘。 适当的薄度是k的最小值,因此图形是适当的k-薄。 在这项工作中,我们专注于计算树木的适当薄度。 我们表征了适当的薄度2,无论是结构上还是通过其最小的禁止诱导子图。 获得的表征导致了多项式时间识别算法。 我们还展示了为什么为适当薄的树木2获得的结构结果不能直接推广到适当的薄度3的树木。
我们在两个新的方向上扩展了硬核模型的占用率的研究。 一个方向在单个顶点度方面给出了一个紧密的下界,扩展了Sah,Sawhney,Stoner和Zhao的工作,它限制了分区功能。 另一个限制从模型中提取的独立集大小的方差,这严格比占用分数限制要强。 在无三角形图形的设置中,我们在最近的Buys,van den Heuvel和Kang的猜想上取得了进展,该猜想是Shearer在独立号上的经典边界扩展到硬核模型的占用部分。 预期和无三角形图的方差上具有足够大的下界,有可能改善外对角线Ramsey数字R(3,t)上的已知边界,并阐明在稀疏随机图中观察到的独立集合的算法屏障。
让 P 成为 R^d 中的有限全维点配置。 我们表明,如果一个点配置 Q 的属性具有所有有限脊椎类通过向 P 添加(通用)点来实现的属性,则通过向 Q 添加点来实现,那么 P 和 Q 等于直接的亲和变换。 我们还表明,对于任何点配置 P 和任何 ε>0,有一个具有以下属性的 P 的有限(通用)扩展 P 的扩展 P:如果可以扩展 P 的 chirotope 的另一个实现 Q,以便实现 P 的脊椎,那么存在一个直接的 affine 变换,映射到 P 的相应点 ε 距离 ε 内的每个 Q 点。
我们表明,线性编程和线性二价方程组合的提升和项目层次结构并没有解决近似的图形着色。 证明是基于组合张量理论。
我们引入了结构化分解,类别理论结构,这些结构同时概括了图论(包括树幅,分层树幅,共树宽,图分解宽度,树独立数,超图树幅和H树宽),几何群论(特别是Bass-Serre理论)和动力学系统(例如混合动力学系统)。 我们定义了宽度函子,它提供了一种组合方式来分析和关联不同的结构复杂性度量,并在分解和完成对象之间建立了一般二元性。
Huynh,Mohar,Šámal,Thomassen和Wood在2021年证明,任何包含每个可计数平面图作为子图的可计数图都有无限小的。 我们证明了这个结果的有限,定量版本:对于固定t,如果图形G是K_t-minor-free并且包含每个n-vertex平面图作为子图,那么G有2^Ω(√(n))顶点。 如果 G 包含每个 n-vertex 的 toroidal 图,则 G 有 2^Ω(n) 顶点。 另一方面,我们构建了一个多项式大小 K_4-minor-free 图,其中包含每个 n-vertex 树作为诱导子图,以及一个多项式大小 K_7-minor-free 图,其中包含每个 n-vertex K_4-minor-free 图作为诱导子图。 这回答了Bergold,Iršič,Lauff,Orthaber,Scheucher和Wesolek最近提出的几个问题。 我们更普遍地研究各种类别的通用图形的顺序(边界度,树深,路径路径或树深的图形),如果通用图形保留了原始类的一些结构。
R^3中一组有限点(分别为连续质量分布)的八部分由三个平面组成,将空间分成8个八度,因此每个打开的八度最多包含1/8的点(分别为质量)。 1966年,Haswiger表明,R^3中的任何质量分布都承认八分区;此外,可以规定三架飞机之一的正常方向。 有限点集的类似结果遵循一个标准极限参数。 我们证明了这个结果的以下变体:R^3中的任何质量分布(或点集)承认一个八分区,其中两个飞机的交叉点是一条具有规定方向的线。 此外,我们提出了一个有效的算法,用于在时间 O^*(n^7/3 中计算一组n点的8个分区(其中一个平面的指定正常方向)。
将2个球体的三角测量的tet-volume定义为3个复合体中的最小四面体数,并且让d(v)成为v-vertex三角测量的最大tet-volume。 1986年,Sleator,Tarjan和Thurston(STT)证明了d(v)=2v-10持有大v,并推测它适用于所有v≥13。 他们的证明使用了大体积的双曲多面体。 他们建议使用更一般的数量概念。 在完全失去的工作中,Mathieu和Thurston使用这种方法概述了STT渐近结果的组合证明。 在这里,我们使用他们的方法的简化版本来证明完整的猜想。 这意味着 STT 的较弱猜想,在2014年被 Pournin 证明,表征了树木之间的最大旋转距离。
在Levenshtein距离中一个单词W的d邻域是距离W最多d的所有单词的一组。 生成一个单词W的邻域,或相关的单词集,如凝聚的邻域或超凝聚的邻域,在近似模式匹配算法的设计中有应用。 因此,给定长度的单词邻域的最大大小边界可用于这种近似模式匹配算法的复杂性分析。 在本说明中,我们提出了一个单数单词的压缩和超冷凝社区大小的精确公式,对于给定长度的任意单词的压缩社区的最大大小,我们再次证明了一个给定长度的任意单词的压缩社区的最大大小。
图 G 是多区间 PCG,如果存在一个边缘加权树 T,具有非负实值和非负实实线的不连接间隔,因此 G 的每个节点与 T 的叶子唯一关联,并且 G 中的两个节点之间存在边缘,并且只有当 T 中的相应叶子之间的加权距离位于任何此类区间内时,则 G 中的两个节点之间是否存在边缘。 如果间隔数为 k,则我们称图为 k-interval-PCG;在符号中,G = k-interval-PCG (T, I1, 。 . . Ik )。 众所周知,2-interval-PCG不包含所有图形,并且该类之外的最小已知图形有135个节点。 在这里,我们证明,所有最多8个节点的图形都是2个区间的PCG,因此朝着确定n的最小值迈出一步,这样存在一个不是2间-PCG的n节点图。
整数线性系统是一组具有整数约束的不等式。 整数线性系统的解决方案图是在整数线性系统的可行解决方案集上定义的无方向图。 在这个图中,如果它们之间的Hamming距离是一条,则通过边缘连接一对可行的解决方案。 在本文中,我们考虑了一个条件,在这个条件下,任何右侧向量都连接了解决方案图。 首先,我们证明,如果溶液图连接任何右侧向量,那么系统的系数矩阵不包含一些禁止的模式作为子矩阵。 接下来,我们证明,如果至少(i)的行数最多为3,(ii)列数最多为2,(iii)行数为4,列数为3持,那么系统系数矩阵不包含禁止模式的条件是一个足够的条件,在这个条件下,溶液图连接任何右侧向量。 这个结果比已知的必要和充分的条件更强,因为系数矩阵尺寸的集合严格地大。
这项工作研究了ReLU神经网络的表现力,重点是它们的深度。 一系列以前的工程表明,⌈log_2(n+1) ⌉ 隐藏层足以计算 R^n 上的所有连续分段线性(CPWL)函数。 Hertrich,Basu,Di Summa和Skutella(NeurIPS'21)推测,这个结果是最佳的,因为R^n上有CPWL函数,就像最大函数一样,需要这个深度。 我们反驳猜想,并表明 ⌈log_3(n-1)⌉+1 隐藏层足以计算 R^n 上的所有 CPWL 函数。 证明的一个关键步骤是具有两个隐藏层的ReLU神经网络可以准确地代表五个输入的最大功能。 更一般地说,我们显示 ⌈log_3(n-2)⌉+1 隐藏层足以计算最大 n≥ 4 个数字。 我们的构造几乎与 Averkov、Hojny 和 Merkert (ICLR'25) 的 ⌈log_3(n)⌉ 下界相匹配,在 ReLU 网络的特殊情况下,权重为小数分数。 这些结构通过将简单的多面体细分为“更容易”的聚表位进行几何解释。
让 d 是 0 到 4 之间的整数,W 是二进制字母 0, 1, 其中 h, w 在 Z > 0 上的二维字 h x w。 假设在 W 中每次出现的字母 1 都与最多 d 字母 1 相邻。 我们提供了一个精确的公式,用于固定(h,w)中可以在W中发生的字母1的最大数。 作为副产品,我们推断一个h x w矩形中包含的最大蛇多米诺骨架长度的上限。
本文讨论了在尺寸为 m × n 的王图中独立集合的枚举,基于引用 <cit.> 给出的张量网络收缩算法。 我们将问题转换为(m+1)×(n+1)矩形内的王平刻,并使用张量网络收缩算法计算m + n ≤ 79的所有情况的结果,并为较大的m,n提供了近似值。 使用相同的算法,我们还列举了具有顶点数限制的独立集合。 根据结果,我们分析了顶点数,使每对(m,n)的枚举最大化。 此外,我们计算相应的加权枚举,其中每个独立集合都根据其顶点的数量(即所有独立集合的顶点总和)进行加权。 较大的 m, n 的近似值也给出。 我们的结果为OEIS序列A089980和A193580增加了数千个新项目。 此外,上述组合问题与物理学中的硬核模型密切相关。 我们根据现有结果估计了一些重要的常数,我们估计熵常数与现有结果之间的相对误差小于10^-9。
给定形式 ax + by = cz 的线性方程 E,其中 a, b, c 是正整数, k 色 R_k(E) 是最小的正整数 n,如果它存在,使得正整数 {1, 2, ..., n} 的每个 k 着色都包含 E 的单色解。 在本文中,我们考虑 k = 3 和线性方程 ax + by = bz 和 ax + ay = bz。 使用SAT求解器,我们计算了一些与这些方程对应的以前未知的Rado数字。 我们证明了对 Rado 数字的新的一般界限,灵感来自 SAT 求解器发现的令人满意的作业。 我们的证明需要广泛的基于案例的分析,这些分析很难用手检查正确性,所以我们通过使用我们开发的新方法自动检查证明的正确性,该方法支持符号定义集的操作 - 例如,表单{f(1),f(2),...,f(a)}的集合的工会或交叉点,其中a是一个符号变量,f是可能依赖于a的函数。 我们所知的计算机代数系统目前对符号集有足够能力的支持,导致我们开发了一个支持符号集的工具,使用Python符号计算库SymPy加上可满足性模块理论解决器Z3。
通过统一交替符号矩阵(ASM)的各种早期扩展,我们引入了前缀边界矩阵(PBM)的概念。 结果表明,这些矩阵的凸壳体形成两个特殊(称为层流)g-多基体的交集。 这意味着(以更一般的形式)Behrend和Knight以及Striker为描述交替符号矩阵的多顶点而给出的线性不等式系统是TDI,证实了Edmonds最近的猜想。 通过依靠多母体方法,我们得出了前缀边界矩阵的存在特征,这些矩阵在其条目上满足上下边界要求。 此外,我们指出,描述PBM(特别是ASM)凸壳体的线性系统的约束矩阵是一个网络矩阵。 这意味着(a)标准网络流技术可用于管理通过g-polymatroids获得的PBM上的算法优化和结构结果,(b)线性系统实际上是box-TDI,(c)PBM的凸壳体具有(一种锐化形式)整数Carathéodory属性,特别是整数分解属性。 后一种特征使得(以扩展形式)可以确认Brualdi和Dahl关于所谓的k-regular交替符号矩阵作为k pattern-sjoint ASM的总和的可分解性的优雅猜想。
辩证进化产生了复杂的系统发育网络,使他们的解释具有挑战性。 一个典型的方法是在这样的网络中提取树木。 自弗朗西斯和钢铁的开创性论文以来,“哪些物理发育网络是只有额外的弧度?” (2015),基于树木的系统发育网络及其支持树(与给定网络具有相同的根和叶的树)已经进行了广泛的研究。 然而,并非所有的系统发育网络都是基于树木的,对于重新调节进化的研究,识别支持网络而不是树木通常更具生物学相关性。 这项研究概括了Hayamizu对根植二叉系统发育网络的结构定理,该定理为支撑树的各种计算问题提供了最佳算法,以扩展支持树的理论框架以支持网络。 这使我们能够获得三个集合中的每个直接产品特征:所有,最小和最小支持网络,对于给定网络。 每个表征都会产生用于计数和生成每种类型的支持网络的最佳算法。 应用程序包括用于查找具有最少重调(即最小层)的支持网络的线性时间算法。 我们还提供精确和指导性的算法,用于寻找具有最低水平的支持网络,既在指数时间运行,但在相当广泛的重调数字中实用。
我们使用Rubik的立方体作为例子,在Cayley图中查看路径的问题,我们列出了几个重要的数学兴趣的例子。 然后,我们展示如何在扩散模型的框架内制定这些问题。 图的探索由前进过程进行,而寻找目标节点则由反向向后过程完成。 这使讨论系统化,并提出了许多概括。 为了改进探索,我们提出了一个“反向分数” ansatz,它比以前的可比算法大大提高。
在这个简短的说明中,我们使用旗帜代数来证明大集团红色/蓝色颜色中6周期的颜色变化数量是通过均匀随机着色来最大化的。 这解决了Basit,Granet,Horsley,Kündgen和Staden问题的第一个公开案例。
我们用距离分区 C_0, ..., C_ρ 来研究图形中完全常规代码的类别,其中每个 C_i, for 0<=i<=r-1, 是一个独立的 set。 这项工作的重点是n维无限网格中此类代码的存在问题。 我们证明,这些代码的几个参数家族必然来自二进制或三元Hamming图形或不存在。 此外,采用二进制线性编程技术,我们探索了三维3和4的无限网格中的完全常规代码,适用于r=1和r=2。