将2个球体的三角测量的tet-volume定义为3个复合体中的最小四面体数,并且让d(v)成为v-vertex三角测量的最大tet-volume。 1986年,Sleator,Tarjan和Thurston(STT)证明了d(v)=2v-10持有大v,并推测它适用于所有v≥13。 他们的证明使用了大体积的双曲多面体。 他们建议使用更一般的数量概念。 在完全失去的工作中,Mathieu和Thurston使用这种方法概述了STT渐近结果的组合证明。 在这里,我们使用他们的方法的简化版本来证明完整的猜想。 这意味着 STT 的较弱猜想,在2014年被 Pournin 证明,表征了树木之间的最大旋转距离。
我们介绍了EuLearn,第一个表面数据集公平地代表了拓扑类型的多样性。 我们设计我们的嵌入式表面的均匀变化属依赖于随机结,从而使我们的表面与自己结结。 EuLearn在3D中贡献了网格,点云和标量字段的新拓扑数据集。 我们的目标是促进机器学习系统的训练,这些系统可以辨别拓扑特征。 我们尝试了特定的标志性3D神经网络架构,发现它们的香草实现在属分类上表现不佳。 为了提高性能,我们开发了一种新颖的,非欧几里得,统计采样方法,适用于图形和流形数据。 我们还介绍了依赖于我们非欧几里得采样策略的 PointNet 和 Transformer 架构的邻接适应。 我们的结果表明,将拓扑信息整合到深度学习工作流程中可以显著提高这些具有挑战EuLearn数据集的性能。
我们表明,每个具有紧凑支持多面体P的分段线性函数 f:R^d → R 都有所谓的“简单函数”的表示。 这种表示产生于相对同源类(R^d+1)的1度三角测量,由P和f的图绑定,并给出了一个简短的基本证明,即有效的通用ReLU神经网络的存在,同时计算所有此类函数f的界复杂性。
让 K_4 成为四个顶点上的完整图形。 让 f 成为 K_4 到平面的连续地图,以便非相邻边缘的 f 图像不连接。 对于任何顶点 v ∈ K_4 取周期 K_4 - v 的 f 图像的绕组数 f(v 围绕 f(v)。 已知这四个整数的总和是奇数。 我们构造的例子表明,这是这四个数字之间唯一的关系。
Discrete Forman-Ricci曲率(FRC)是一种有效的工具,它表征了现实世界网络的基本几何特征和相关过渡,在简单复合物中无缝扩展到更高级的计算。 在本文中,我们提供了两个主要的进步:首先,我们给出了FRC的分解,实现了FRC的本地计算。 其次,我们构建了一个集理论证明,为Vietos-Rips(VR)复合体中FRC的本地计算提供了高效的算法。 引人注目的是,这种方法揭示了传统分类技术经常忽略的关键信息和几何见解。 我们的研究结果为VR复合体中的几何计算开辟了新的途径,并突出了数据分类的一个重要但未被充分探索的方面:支撑统计模式的几何形状。
We are interested in finding combinatorial criteria for embedding graphs into torus and using them in the embedding check algorithm. It is a well-known fact that any connected graph can be reduced to a one-vertex graph with loops and is homotopy equivalent to such a graph. If a connected graph has intersection of some edges, then some loops of one-vertex graph will also intersect. Therefore the problem of embedding graphs in some surface is equivalent to the question of embedding one-vertex graph in given surface. This paper considers a graph with rotation structure (not necessarily geometric) or rotation graph called hieroglyph. The equivalence of four conditions is proved: (1) embedding hieroglyph in the torus; (2) the absence of forbidden subgraphs in a hieroglyph; (3) some condition for the graph of loops; (4) the existence of a reduction of hieroglyph to one of the list of hieroglyphs. We also prove the existence of an algorithm with complexity 𝒪(n) that recognizes embedding hieroglyph in the torus.
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