对于 P 索引的持久性模块 M,M 的(广义)等级被定义为 M 在 poset P 的向量空间图的极限到上限图的等级。 对于2参数持久化模块,最近提出了基于锯齿的持久化算法,该算法利用了2参数模块的广义排名等于在poset边界上定义的zigzag模块中的完整间隔数的事实。 d参数持久化模块或一般P-索引持久化模块的边界的模拟定义似乎不合理。 为了克服这个困难,我们首先将给定的P索引模块M展开到zigzag模块M_ZZ中,然后检查M_ZZ的分解中有多少个完整间隔模块可以折叠回来以保持M的分解。 这个数字决定了M的广义等级。 对于 d-complexes 的 degree-d 同源的特殊情况,我们获得了一种更有效的算法,包括用于图形中的 degree-1 同源的线性时间算法。
给定一个有限尺寸,大调模块在两个变量的多项式环上,我们定义它的二参数计数,一个自然数,和它的末端曲线,一组平面曲线。 这些是在一个变量中,单级模块在多项式环上的条形数概念和端点的二维类似物,来自持久性理论。 我们表明,我们的计数是满足某些自然条件的唯一计数;因此,两个参数持久性中的几个包含-排除型公式产生相同的正数,它等于我们的计数,并反过来等于最终曲线的数量,赋予这个计数几何意义。 我们表明,最终曲线通过显示它们插在生成器,关系和syzygies之间来决定经典的Betti表。 使用某个字符串代数的带表示,我们显示端曲线的一组承认一个规范分区,其中每个部分在平面上形成一个闭合曲线;我们将其称为模块的边界。 作为一个不变的,边界既不弱也不强于等级不变,但是,与等级不变相反,它是在一组价差-可分解表示上的完全不变。 我们的结果连接了多参数持久性的几行工作,并且它们在两个变量中通过真实指数多项式环向模块的扩展与二维莫尔斯理论有关。
在自然科学和工程学中获得的许多多变量时间序列具有重复的行为,例如离散自动化中工业机器的状态空间轨迹。 从这样一个多变量时间序列中恢复复发的时间对于许多监测和控制任务至关重要。 对于周期性时间序列,这相当于确定其周期长度。 在这项工作中,我们提出了一个持久的同源框架,以估计多变量时间序列中的复发时间,具有不同的循环行为(周期性,重复性和重复性)的概括。 为此,我们在我们的框架中提供了三种可证明稳定的专门方法,并使用真实世界的数据验证它们,包括注塑机的新基准数据集。
一个复杂的复杂家庭,与简单的地图相连,并由一个poset P索引,被称为poset tower。 poset tower的概念将经典研究对象归入持久性文献中,例如,单关键多滤和锯齿形过滤,但也允许多关键简单化和任意简单化图。 poset塔的同源性产生了一个P-persistence模块。 为了在全球范围内通过P计算这种同源,本着持久性算法的精神,我们考虑了由poset塔的简单化诱导的P-持久性模块C_l-1C_lC_l+1链复合体的同源。 与一键式过滤的情况相反,poset塔的链式模块 C_l 可以具有复杂的结构。 在这项工作中,我们解决了通过投影模块和P级矩阵计算这种链复合段的表示问题,我们称之为投影隐式表示(PiRep)。 我们提供高效的算法来计算链模块的渐近最小投影分辨率(到第二个学期)和边界映射,并从这些分辨率中计算PiRep。 我们的算法针对来自poset Tower的链式复合体和分辨率量身定制,并利用它们的特殊结构。 在poset tower的背景下,它们是完全通用的,并可能成为开发特定posets上更高效算法的基础。
超图中缺乏内在的邻接关系和方向系统，这为构建任意阶的层拉普拉斯算子带来了根本性的挑战。我们通过直接从超图导出的对称单纯集来解决这些限制，该集合将每个超边内的所有可能的定向子关系编码为有序元组。这种构造通过面映射规范地定义邻接关系，同时固有地保留超边的来源。我们证明，在我们的诱导对称单纯集上归一化的零阶层拉普拉斯算子，当限制在图上时，恰好简化为传统的图归一化层拉普拉斯算子，从而验证了其与先前基于图的层理论的一致性。此外，诱导结构保留了原始超图的所有结构信息，确保忠实地保留了每个多路关系细节。利用这个框架，我们引入了超图神经层扩散 (HNSD)，这是将神经层扩散 (NSD) 原则扩展到超图的首个尝试。HNSD 通过对称单纯集上的归一化零阶层拉普拉斯算子运行，解决了超图学习中固有的方向歧义和邻接稀疏性。实验评估表明，HNSD 在既定基准测试中具有竞争性能。
我们引入并研究中心类型，它们是 Eilenberg-Mac Lane 空间的推广。当一个类型与其自身自等价的单位分量等价时，该类型被称为中心类型。仅从中心性出发，我们通过带状类型的张量积构造一个无限的去循环，带状类型是中心类型的适当挠子概念。我们的构造是在同伦类型理论中进行的，因此在任何 ∞-拓扑中都成立。即使在解释为空间的 ∞-拓扑中，我们构建这些去循环的方法也是新的。在此过程中，我们进一步发展了同伦类型理论中 H-空间理论，包括它们与评估纤维和 Whitehead 积的关系。这些考虑使我们能够，例如，排除在 n > 0 时 2n-球上 H-空间结构的存在。我们还给出了 H-空间结构模空间的一个新的描述。利用这个描述，我们推广了 Arkowitz-Curjel 和 Copeland 针对计算该模空间的路径连通性的公式。作为应用，我们推导出 3-球上 H-空间结构的模空间为 Ω^6 𝕊^3。
我们提出了一种新的计算机视觉拓扑工具 - 标量函数拓扑疏离(SFTD),它测量具有共同域的两个函数的子级集合之间的多尺度拓扑学的差异性。 函数可以在任何维度的无方向图形或欧几里得空间上定义。 大多数比较拓扑结构的现有方法都是基于Wasserstein在持久性条形码之间的距离,并且它们没有考虑到拓扑特征的本地化。 SFTD的最小化确保了标量函数的相应拓扑特征位于相同的地方。 拟议的工具提供了有用的可视化,描绘了函数具有拓扑差异的区域。 我们提供3D计算机视觉方法的应用。 特别是,实验证明SFTD作为额外的损失改善了2D荧光显微镜图像的细胞3D形状的重建,并有助于识别3D分割中的拓扑错误。 此外,我们表明SFTD在2D分割问题中优于Betti匹配损失。
在这篇说明性的论文中,我们用非专业人士可以访问的语言提出了代数拓扑学(更准确地说,同源理论)的一些想法。 图中的1周期是一组C的边缘,因此每个顶点都包含在C的均匀边缘中。 很容易检查1周期的总和(modulo 2)是1周期。 我们从以下问题开始:在给定的图形中找到∙所有1周期的数量;∙在给定的图形中,少数1周期是其中的一部分。 我们考虑对称性的图形,到二维超图中的2个周期,以及图形的某些配置空间(即对正方形和已删除的正方形)进行概括。
社会传染文献区分了简单的(通过边缘传递感染的独立级联或债券渗透过程)和复杂的传染(引导穿绣或阈值过程,需要局部强化才能传播)。 然而,使用观测数据区分简单和复杂的传染在实践中构成了重大挑战。 从观察到的传染动力学中估计人口级激活功能受到影响收养的混杂因素(除了邻里相互作用)以及个体行为和建模变异中的异质性,因此难以为推断传染类型设计适当的空模型。 在这里,我们展示了一种来自拓扑数据分析(TDA)的新工具,称为扩展持久同源(EPH),当应用于网络上的传染过程时,可以有效地检测简单而复杂的传染过程,并预测其参数。 我们使用基于EPH的拓扑结构在三个真实世界网络数据集上的模拟简单和复杂的传染动力学上计算,并在各种信息约束下获得广泛的传染参数的高预测性能,包括模型参数的不确定性,噪声和部分可观察性。 EPH捕获不同长度的周期在观察到的传染动力学中的作用,并提供了一个有用的指标来分类传染模型并预测其参数。 使用EDH等TDA工具分析网络传染的几何特征可以在其他网络问题中找到应用,如播种,疫苗接种和检疫优化,以及网络推理和重建问题。
非线性动力学系统是复杂的,通常只有简单的系统才能进行分析研究。 在应用中,这些系统通常用一组可调参数来定义,并且随着参数的变化,系统响应会经历显着的拓扑变化或分叉。 在高维参数空间中,很难确定要改变系统参数的方向,以实现所需的系统响应或状态。 在本文中,我们引入了一种新方法,用于最佳导航植根于拓扑数据分析的动态系统参数空间。 具体来说,我们使用持久性图的可分离性来定义一种拓扑语言,用于直观地促进或阻止动态系统的状态空间响应中的不同拓扑特征,并使用梯度下降从参数空间中的一个点最佳移动到另一个。 最终结果是这个空间中的一条路径,它将系统引导到一组参数,这些参数产生由损失函数定义所需的拓扑特征。 我们通过将方法应用于不同的动态系统和场景来展示许多示例,以演示如何促进不同的功能以及如何选择超参数以实现不同的结果。
我们展示了一个计算管道,旨在从观测输出函数的输出函数中恢复底层相位空间的拓扑结构,以及动态系统的轨迹样本。
持久性同源学是拓扑数据分析(TDA)中广泛使用的工具,用于理解复杂数据的潜在形状。 通过构建来自数据点的简单复合物的过滤,它捕获了多个尺度的连接组件、环路和空隙等拓扑特征。 这些特征被编码在持久性图(PDs)中,提供了数据的拓扑结构的简明摘要。 然而,PD空间的非Hilbert性质对它们直接用于机器学习应用提出了挑战。 为了解决这个问题,已经开发了内核方法和矢量化技术,将PD转换为机器学习兼容的格式。 在本文中,我们介绍了一个新的软件包,旨在简化PD的矢量化,提供直观的工作流程和高级功能。 我们通过实际例子证明了一揽子计划的必要性,并详细讨论了其对应用TDA的贡献。 包中使用的所有矢量化摘要的定义都包含在附录中。
在数据聚类中,通常希望不仅将单个分区定位为群集,而且要找到一系列分区,这些分区描述了不同尺度(或粗度水平)的数据。 然后,一个自然问题是分析和比较支撑这种多尺度描述的分区的(不一定是分层的)序列。 在这里,我们使用拓扑数据分析的工具,并引入了多尺度聚类过滤(MCF),这是一种定义明确且稳定的抽象简单复合物过滤,可以在一系列分区中编码任意的聚类分配,跨越日益粗糙的尺度。 我们表明,MCF的零维持久同源性测量了该序列的层次结构程度,而更高维度的持久同源性跟踪跨分区序列的聚类分配之间的冲突的出现和解决。 为了拓宽MCF的理论基础,我们通过神经复合过滤提供了等效的构造,我们表明,在分层的情况下,MCF减少到超极化空间的Viedoris-Rips过滤。 使用合成数据,我们然后说明MCF的持久性图如何提供特征图,可以表征和分类多尺度聚类。
这项研究提出了一个新的数学模型,源自同源性,利用KEEL验证的定理,将同源性建立为同源性,由具有固定双图的曲线边界类别产生。 简单的复合体使用斜交换的分级代数构建,结构定理应用于连接不同的同源,从而能够精确解释由此产生的几何形式。 拟议的模型用于蛋白质结构分析和预测,并特别应用于Flagellar运动结构。 这种方法为生物大分子建模的几何和代数基础提供了新的见解,突出了其在结构生物学中的进步潜力。
在本文中,我们评估了拓扑特征的性能,用于对冷杉图像数据的可广义和稳健的分类,其更广泛的目标是了解拓扑功能化的优势,陷阱和权衡。 冷皮是指冰川内的颗粒状积雪,没有被压缩成冰。 这种压实过程在褐色上施加了独特的拓扑和几何结构,这些结构随褐色柱内的深度而变化,使得拓扑数据分析(TDA)成为理解深度和结构之间联系的自然选择。 我们使用两类拓扑特征,子级设置特征和距离变换特征,以及持久性曲线,从microCT图像中预测样本深度。 一系列具有挑战性的训练测试场景表明,在所有类别中,没有一种方法的选择占主导地位,并揭示了准确性,可解释性和可推广性之间的权衡网络。
R^3中平滑嵌入表面的内轴由欧几里得距离功能在表面至少有两个最小值的所有点组成。 我们将这一概念概括为中球轴,它由欧几里得距离函数有两个相互变化的马鞍的所有点组成,这些马鞍通过持久同源交换配对中的伴侣。 它提供了一种离散代数多尺度的方法来计算表面上的山脊状结构。 作为概念的证明,提供了一种计算中球轴的楼梯情况近似的算法。
离散外部演算提供了外部微积分的无坐标离散离散化,特别适合在弯曲空间上计算。 在这项工作中,我们在二维伪导体上展示了一个楔形产品,其面部是任何多边形。 我们证明这种多边形楔形产品与离散的外部衍生产品兼容,因为它满足了莱布尼茨产品规则。 因此,我们将以前研究的楔形产品从简单或四边形网格的离散化扩展到一般多边形表面网格。 我们还证明,我们的分立楔形产品对应于2-pseudomanfolds上的Cochains的杯产品。
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