我们为基本解决方案方法(MFS)的变体建立了理论基础,其中源点以惠特尼方式向 {q_j}_j=1^∞ 域积累,这意味着它们的分离与域的距离成正比。 我们证明,标准化的Lusin小秸笋 ψ_j(w) = b_j(w-q_j)^-2构成了一个广义的基础,称为框架,用于域上全态函数L_2-tras的Hardy子空间。 因此,我们的方法,其中ψ_j在MFS中用作基础函数,即使在解决方案缺乏跨边界的分析延续的情况下,也可以对拉普拉斯边界值问题的解决方案进行数值稳定的近似。 尽管源点向域积累,但我们的计算至少实现了12位数的精度均匀,包括当解决方案缺乏分析延续或当边界有角的情况。
本文研究了在有限对称组下不变的格子 ^n 上的线性差方程系统,并表明在这类对称性下也存在这种系统的解决方案。
J.M.的猜想 卡尼奇,E。 Mainar 和 J.M. Peña指出,由函数x^ksin x和x^kcos x for k=0,...n 生成的空格 P_n⊙ C_1 的临界长度等于第一类 Bessel 函数 J_n+1/2 的第一个正零 j_n+1/2。 众所周知,猜想意味着以下语句(D3):汉克尔矩阵的决定因素([f f^' f^''f^'' f^'' f^'' f^(3);f^''f^''' f^''' f^((4)])在间隔(0,j_n+11/2,1)中没有零,每当f=f_n由f_n(x) =√(π/2)x^n+1/2(x)给出。 在本文中,我们将证明(D3)和各种概括。
基于评分的生成模型已成为采样高维概率分布的强大方法。尽管它们很有效，但其理论基础仍然相对不足。在这项工作中，我们从理论和数值两个角度研究了基于概率流ODE的确定性采样器的收敛性。假设可以访问L^2精度的评分函数估计，我们证明了目标分布和生成数据分布之间的总变分可以被限制在连续时间级别为𝒪(d^3/4δ^1/2)，其中d表示数据维度，δ表示L^2评分匹配误差。对于使用p阶Runge-Kutta积分器和步长h的实际实现，我们在离散级别建立了误差界限为𝒪(d^3/4δ^1/2 + d·(dh)^p)。最后，我们在高达128维的问题上进行了数值研究，以验证我们的理论。
开发了一种解决一维狄拉克方程的逆光谱问题的方法。 该方法基于Gelfand-Levitan方程和傍嗦-Legendre序列扩展的变变内核。 获得方程的线性代数系统,可以用数值求解。 据我们所知,这是解决在有限区间内一维狄拉克方程的逆问题的第一个实用方法。
我们设计出快速且可证明的准确算法,在 N×N × N Cartesian 体素表示三维函数与其扩展到球谐波之间转换,即 R^3 单元球上 Dirichlet Laplacian 的特征基数。 鉴于 ε > 0,我们的算法在时间 O(N^3 (log N)^2 + N^3 |logε|^2) 中实现了相对 l^1 - l^∞ 的精度 ε,而扩展运算符的天真直接应用具有时间复杂度 O(N^6)。 我们在数值示例上说明我们的方法。
众所周知,代数功率序列是微分有限(D-finite):它们满足具有多项式系数的线性微分方程。 相反的问题,即给定的D-finite功率系列是代数还是超越性,是出了名的困难。 我们证明这个问题是可判定的:我们给出了两种理论算法和一次在实践中有效的超越性测试。
在本文中,我们开发了一个基于小波的理论框架,用于分析神经网络在广泛激活功能上的通用近似能力。 利用同质类型空间的小波帧理论,我们在激活函数上获得足够的条件,以确保相关的神经网络近似给定空间中的任何函数,以及错误估计。 这些充分的条件适应了各种平滑的激活功能,包括那些表现出振荡行为的功能。 此外,通过考虑平滑和非平滑激活函数之间的L^2距离,我们建立了一个适用于非平滑激活的广义近似结果,误差由这个距离明确控制。 这为网络架构的设计提供了更高的灵活性。
基于流的采样和生成建模方法使用连续时间动态系统来表示将源测量推向目标度量的传输图。 引入时间轴提供了相当大的设计自由,一个核心问题是如何利用这种自由。 虽然许多流行的方法寻求直线(即零加速度)轨迹,但我们在这里表明,特定类别的“弯曲”轨迹可以显着改善近似和学习。 特别是,我们考虑任何给定的传输图T的单位时间插值,并寻求时间表τ:[0,1]→[0,1],它在所有时间范围内最小化了相应速度场的空间Lipschitz常数t ∈ [0,1]。 这个量是至关重要的,因为它允许在从数据中学习速度字段时控制近似误差。 我们表明,对于广泛的源/目标度量和运输图T,最佳时间表可以以封闭形式计算,并且由此产生的最佳Lipschitz常数比身份时间表诱导的要小(对应于Wasserstein大地测量)。 我们的证明技术依赖于变化和Γ-融合的微积分,使我们能够通过一系列光滑,可处理的问题来近似上述退化的目标。
给定一个信号f:G→C,其中G是一个有限的阿贝尔亚群,在什么合理的假设下,我们可以保证从傅里叶系数的适当子集精确恢复f? 1989年,Donoho和Stark使用经典的不确定性原理建立了一个结果<cit.>,该原理指出任何非零信号f的|supp(f)|supp(f̂)≥|。 另一个结果,首先由Santone和Symes <cit.>证明,是基于Logan现象<cit.>。 特别是,该结果展示了L^1和L^2如何通过匹配傅里叶频率来最小化信号通常如何恢复原始信号。 本文的目的是将这些回收机制与添加剂能量联系起来,这是一种由Λ(A)=| {(x_1,x_2,x_3,x_3,x_4) ∈A^4 | x_1 + x_2 = x_3 + x_4 }|,其中A⊂Z_N^d表示和定义的组合措施。 在本文的第一部分,我们使用组合技术在添加剂能源方面建立了改进的不确定原理。 以与Donoho-Stark论点类似的方式,我们使用这一原则来建立通常更强的恢复条件。 在论文的后半部分,我们调用这些组合方法来证明两 L^p 个最小化恢复结果。
本手稿研究了具有弱单核的非线性随机分数中性肠分方程的问题。 我们的重点是获得精确的估计,以涵盖Abel型单核的所有可能情况。 最初,我们建立存在,唯一性和持续依赖真实解决方案的初始值,假设一个局部的Lipschitz条件和线性生长条件。 此外,我们还开发了用于方程数值解的欧拉-马鲁山方法,并证明其在与良好构值相同的条件下具有很强的收敛性。 此外,我们确定该方法在全球Lipschitz条件和线性生长条件下的精确收敛率。
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