我们介绍了有限元方法(FEM)的数值分析,用于涉及对数拉普拉斯的一维Dirichlet问题(伪差运算符,表现为分数拉普拉斯作为指数s→0^+的一阶扩展)。 我们的分析在这种设置中表现出新的现象;特别是,使用最近获得的规律性结果,我们证明了严格的误差估计,并使用合适的日志加权空间在能量规范中提供对齐的顺序。 此外,我们表明对数问题的刚度矩阵可以作为在s=0评估的分数刚度矩阵的导数获得。 最后,我们研究离散特征值问题与其与连续特征值问题之间的密切关系。
我们提出了一个构建一阶双曲线系统的框架,其解决方案近似于预期的高阶进化方程。 近年来,这种结构越来越受到关注,并且作为分析或计算工具,可用于理解相应的高阶方程。 我们对一系列线性模型方程进行了系统分析,并表明对于这个家族的每个成员,有一个稳定的双曲近似值,其解在一定限度内与模型方程的求解收并。 然后,我们通过几个例子表明,这种方法可以成功地应用于非常广泛的实际兴趣的非线性PDE。
我们为基本解决方案方法(MFS)的变体建立了理论基础,其中源点以惠特尼方式向 {q_j}_j=1^∞ 域积累,这意味着它们的分离与域的距离成正比。 我们证明,标准化的Lusin小秸笋 ψ_j(w) = b_j(w-q_j)^-2构成了一个广义的基础,称为框架,用于域上全态函数L_2-tras的Hardy子空间。 因此,我们的方法,其中ψ_j在MFS中用作基础函数,即使在解决方案缺乏跨边界的分析延续的情况下,也可以对拉普拉斯边界值问题的解决方案进行数值稳定的近似。 尽管源点向域积累,但我们的计算至少实现了12位数的精度均匀,包括当解决方案缺乏分析延续或当边界有角的情况。
本文关注的是为一类双曲面抛物线交叉扩散系统开发全球测量值解决方案的理论框架,并将其应用于完全离散的有限体积方案的收敛分析。 在向PDE系统引入耗散量值值解决方案的适当概念后,提出了一个数值方案,该数值方案在连续限值中显示产生耗散量量值解决方案。 限制测量值溶液的抛物面密度部分是原子的,并长时间收敛到其恒定状态。 此外,事实证明,每当PDE系统拥有强大的解决方案时,近似方案的收敛就会在强烈的意义上成立。 结果基于Young测量理论和结合Shannon和Rao熵的弱强稳定性估计。 数值方案的收敛是通过离散的熵耗散不平等和人工扩散来实现的,这种扩散在连续极限中消失。
不确定性下的气候经济建模带来了重大的计算挑战,可能限制政策制定者有效应对气候变化的能力。 本文探讨了基于神经网络的方法,用于解决由在气候减缓决策中纳入模棱两可厌恶的模型产生的高维最优控制问题。 我们开发了一个连续的内生增长经济模型,该模型涉及多种缓解途径,包括无排放资本和碳强度降低。 鉴于这些模型固有的复杂性和高维度性,传统的数值方法变得难以计算。 我们将几种神经网络架构与有限差生成的解决方案进行基准测试,评估它们捕获不确定性、技术转型和最佳气候政策之间动态相互作用的能力。 我们的研究结果表明,适当的神经架构选择在不确定性下对气候经济系统建模时,对解决方案的准确性和计算效率都有重大影响。 这些方法上的进步使气候政策决策的建模更加复杂,从而能够更好地代表技术转型和不确定性关键要素,以制定面对气候变化的有效缓解战略。
我们提出了电磁散射和通过均匀介电障碍物传输的动态问题的边界积分公式。 本着Costbel和Stephan的精神,我们利用传输条件来减少未知密度的数量,并制定描述分散和传输波的耦合边界积分方程系统。 该系统被改造成Laplace域,证明它是稳定和独特的可解决的。 然后使用 Laplace 域稳定性估计值来建立原始时域问题的稳定性和唯一可解决性。 最后,我们展示了如何在拉普拉斯和时间域中获得的界限可用于为空间中的半离散加勒金离散化以及使用卷积进行时间离散离散化进行离散的加勒金方法的完全离散数值方案以及用于离散空间变量的符合盖尔金方法的。
循环扇区的拉普拉斯特征值问题具有具有角奇点的特征功能。 标准方法可能产生次优近似结果。 为了解决这个问题,本文提出了一种新的数值算法,通过使用单补丁分级网格改进方案来增强标准等距分析。 数值测试证明了特征值和特征函数的最佳收敛率。 此外,结果表明,与Laplace频谱下部的C^0-连续对应物相比,平滑的样条具有优越的近似常数。 这是先前关于矩形域平滑旋转到圆形扇区的优秀光谱近似特性的发现的延伸。 此外,分级网格对于准确近似有限数量的特征值特别有利。 这里应用的新算法在等位分参数化的奇点上有一个缺点。 它导致某些基础功能不属于相应的弱问题的解决方案空间,这被认为是变异犯罪。 然而,这种方法被证明是健壮的。 最后,提出了分层网格结构,以避免各向异元素,省略冗余的自由度,并保持导致变异犯罪常数的基础函数的数量,独立于网格大小。 数字结果验证了分层网格分级的有效性,用于模拟具有和不带角奇点的特征函数。
这项研究证明,用于亥姆霍兹传输问题的直接间接混合伯顿 - 米勒(BM)边界积分方程(BIE)的整数运算符的注入条件与用于亥姆霍兹传输问题的普通BM BIE与具有传递圆形内含的亥姆霍兹传输问题相同。 虽然一些基于直接间接混合BM BIE的数值方法可以比普通BM BIE更快地计算,但其良好的作用尚不清楚。 这项研究解决了部分良好作用,即具有传递循环内含的集成运算符的注入性。
我们证明了在 Sobolev 矢量场的常规拉格朗日流和这种流量的分段近似值之间的 L^∞ _t (L^p _x) 一个新的稳定性估计值。 流量的近似是通过(某种)显式欧拉方法获得的,它是证明连续性方程的近似结果的关键工具,通过使用溶液的表示作为通过初始数据的常规拉格朗日流的推力来证明连续性方程的近似结果。 我们通过两种方式近似解决方案,一种概率和一种确定性,使用不同的近似值来获取流量和初始数据。
在本文中,我们重新审视了生物发光断层扫描(BLT)问题,其中人们试图从Cauuchy数据的外部测量中重建生物发光信号(内部光源)。 作为光学成像的一种,BLT具有许多优点,如高信噪比,无损性和成本效益等,并具有潜在的应用,如癌症诊断,药物发现和开发以及基因疗法等。 在文献中,BLT被广泛研究基于扩散近似(DA)方程,其中要重建峰值源的分布,并且没有适当的先验信息保证任何解决方案唯一性。 在解决方案唯一性问题的激励下,探索了几个理论结果。 这项工作的主要贡献是双重的:第一,我们展示了BLT问题的理论独特性,其中光源的形状是C^2域或多面体或日冕形;第二,我们通过大量以问题为导向的数值实验来支持我们的结果。
混合纳什均衡(MNE)用于与平均场交互玩家的零和游戏的近似最近引起了人们对机器学习的兴趣。 在本文中,我们提出了一个均场梯度下降动力学,用于查找涉及K≥2的K玩家的零和游戏的MNE。 玩家策略分布的演变遵循耦合的均场梯度下降流与动量,包含指数折扣的时间平均梯度。 首先,在固定熵正则化的情况下,我们证明了相对于总变异度量的均场动力学到混合的纳什均衡的指数收敛率。 这提高了具有不同平均因子的类似时间平均动力学的先前多项式收敛率。 此外,与以前的寻找MNE的双尺度方法不同,我们的方法可以同时处理所有玩家类型。 我们还表明,通过降低温度的合适选择,平均场动力学的模拟退火版本收敛到初始未规范化的MNE。
我们考虑二次多孔介质方程的非局部近似,其中压力是由具有摩尔化内核的卷积给出的。 众所周知,当内核集中在原点周围时,非局部方程会收敛到局部方程。 在一个空间维度中,对于内核的特定选择,以及仅仅是对初始条件的假设,我们量化了2-Wasserstein距离的收敛率。 我们的证明非常简单,利用所谓的进化变异不平等为非局部方程和本地方程以及先验估计。 我们还使用有限量方法进行数值模拟,这表明可以获得的速率可以改进 - 这将在即将进行的工作中解决。
本文有助于探索最近引入的计算范式,称为二阶流,其特点是新颖的耗散双曲双曲格方程将加速梯度流扩展到Sobolev空间上定义的能量函数,并表现出显着的性能,特别是对于非凸能量的最小化。 我们的方法取决于凸分裂方案,这种工具不仅对于澄清二阶流的充分性至关重要,而且还通过时间(和空间)离散化产生了一系列强大的数字方案。 我们证明在半离散设置中与固定点的收敛点。 此外,我们将其与时间连续的解决方案相融合,因为时间步骤趋于零。 最后,这些算法在接近科学计算中代表性非凸变异模型的固定点时进行了彻底的测试和验证。
我们讨论了一类非线性平衡定律的耦合系统,对多车道流量建模,非局部性在对流和源方面都有。 熵溶液的独特性和存在分别通过加倍变量参数和收敛有限体积近似来证明。 主要目标是确定系统的有限体积数值近似以√(Δ t)的速度收敛到独特的熵解决方案,即使使用相对不那么常规的单面内核,与[Num]中分析的全局平滑内核相比。 Math., 156(1):237-271, 2024] 和 [IMA J. 努默。 肛门,44(6):3354-3392,2024年],已证实的理论适用于非局部平衡定律的一般类系统,通过对流部分强烈耦合,并通过源部分弱弱。 由于内核的支持趋于零,因此拟议模型的熵解决方案与本地对应物的收敛性 [SIAM J. 数学。 肛门,51:3694-3713,2019]也进行了讨论。 还显示了耦合非局部系统熵溶液的行为。
在本文中,我们分析了随机梯度下降(SGD)的行为,SGD是一种广泛使用的监督学习方法,通过最小化非凸损失函数来优化神经网络权重。 由于E,Li和Tai(2017)的开创性工作,这些过程的底层结构可以通过福克-普朗克类型的抛物线PDE来理解,这是我们分析的核心。 即使福克-普朗克方程有很长的历史和广泛的文献,当电位是非凸或扩散矩阵退化时,几乎一无所知,这是我们在分析中面临的主要困难。 我们确定了两种不同的机制:在SGD的初始阶段,损失函数驱动权重集中在最近的局部最小值附近。 我们把这个阶段称为漂移制度,我们提供这种浓度现象的定量估计。 接下来,我们介绍扩散机制,其中随机波动有助于学习过程逃逸次优局部最小值。 我们分析平均退出时间(MET),并证明MET的上边界和下界。 最后,我们解决了SGD的渐近收敛,对于非凸成本函数和退化扩散矩阵,不允许使用标准方法,并且需要新技术。 为此,我们利用两种不同的方法:二元性和熵方法。 我们提供有关SGD的动态和有效性的新结果,提供了随机优化和PDE理论之间的深刻联系,以及对机器学习过程中基本问题的一些答案和见解:SGD需要多长时间才能从一个糟糕的最低限度中逃脱? 神经网络参数是否使用SGD收敛? SGD训练的第一阶段参数如何演变?
我们证明了Hunter-Saxton方程柯西问题的α-耗散解，其中α∈ W^1, ∞(ℝ, [0, 1))，可以在L^∞(ℝ)中以𝒪(Δ x^1/8+Δ x^β/4)的阶数进行数值计算，前提是存在常数C > 0和β∈ (0, 1]，使得初始空间导数u̅_x满足u̅_x(· + h) - u̅_x(·)_2 ≤ Ch^β对于所有h ∈ (0, 2]。导出的收敛速率通过大量的数值实验得到了验证。
我们开发了一种完全离散的半隐含混合有限元方法,用于近似于一类具有非全局Lipschitz和非单体非线性的四阶随机偏微分方程(SPDE)的近似解,受到空间平滑乘法高斯噪声的扰动。 提出的方案适用于一系列物理相关的非线性模型,包括随机的Landau-Lifshitz-Baryakhtar(sLLBar)方程,具有质量源的随机对流卡恩 - 希利德方程,以及随机正则化的Landau-Lifshitz-Bloch(sLLB)方程等。 为了克服非线性和随机强迫之间的相互作用所带来的困难,我们采用了“截断-然后离散”策略:非线性术语在离散由此产生的修改问题之前首先被截断。 我们表明,对截断问题的有力解决方案在概率上与原始问题趋同。 然后为截断系统提出一个完全离散的数值方案,我们为混合公式中使用的两个字段在概率和强收敛(具有定量速率)中建立收敛。
在本文中,我们对与具有孔隙度的两个刚性固体混合物的混合物的系统相关的初始边界值问题的解决方案的强稳定性和多项式衰变进行了数值分析。 这个数学模型解释了刚性组件及其多孔结构之间的复杂相互作用,为这些系统的机械行为提供了有价值的信息。 我们的主要目标是创造条件,确保稳定,并严格量化解决办法的衰变速度。 使用数值模拟,我们评估不同稳定机制的有效性,并分析关键系统参数对整体动力学的影响。
本文的目的是分析作者为比较两个图像而引入的非线性弹性模型,这些图像被视为 ^n 的有界开放性子集以及相关的矢量值强度图。 寻求图像之间的最佳转换,作为在方向保护的同态性中不可或缺的功能最小化。 在自然胁迫和多凸条件下,最小化器的存在被证明,仅假设强度函数是可测量的。 存在定理的变体也得到证实,首先在约束下,两个图像中的有限一组标志性点被映射到另一个,当一个图像要与另一个图像的未知部分进行比较时。 研究的问题是,对于由亲和映射相关的图像,唯一的最小化器是否由该亲手映射给出。 对于一个函数式集成的自然类,给出了一个示例,保证该属性具有对图像,其中第二个是按恒定因子缩放第一个图像。 然而,对于任意对相关图像的任意对属性来说,它表明,inthegrand必须依赖于变换的梯度作为其决定因素的凸函数。 这表明了一种新模型,其中integrand还依赖于转换的第二个衍生物,并且给出了一个示例,其中可以保证最小化器的存在,并且上述属性对所有与亲和相关的图像都持有。
导出了Hunter-Saxton方程的α-耗散解的收敛数值方法。 该方法基于将量身定制的投影运算符应用于初始数据,然后使用广义的特征方法准确解决。 投影步骤是唯一引入任何近似误差的步骤。 因此,至关重要的是,其设计不仅可以确保初始数据的良好近似,而且由于以后的能量耗散而导致的错误仍然很小。 此外,表明主要的兴趣量,波轮廓,在L^∞中收敛到所有t≥0,而能量密度的子序列几乎每次都收敛微弱。