对Z类不同组的亚移的研究,如Z^d,d≥2,近年来一直是深入研究的主题。 这些调查揭示了动力学和递归理论之间的显著联系。 关于这些系统动态的不同问题已经用递归理论术语回答。 在这项工作中,我们进一步探索了这种联系。 我们使用可计算分析框架来探索公制空间上有效的动态系统类别,并将这些系统与有限类型(SFT)在组上的子移位联系起来。 我们证明,一般公制空间上的每一个有效的动力系统都是拓扑尺寸为零的有效动力学系统的拓扑因素。 我们将这一结果与现有的模拟结果相结合,以获得作为SFTs因素的系统的新示例 我们还研究一种称为Medvedev度的组子移的共轭不变性。 这种不变性是算法性质的复杂性度量。 我们为任意有限生成组的子移位开发这些度的基本理论。 使用这些工具,我们能够对SFT和几个组上的其他子移类的这种不变值进行排序。 此外,我们建立了这些度与所有子移空间中隔离点的分布之间的联系。 在研究梅德韦杰夫亚移位度的激励下,我们还考虑了图形上的组的翻译类动作。 我们证明每个连接的、局部的有限和无限图形都承认Z的翻译,并且当图形有一两个端时,这个动作可以完全选择过渡。 这概括了 Seward 关于 Z 在有限生成的组上的翻译类操作的结果。
本文提供了目前最广为人知的上限,即二维欧几里得空间中的包装密度,两种类型的球体的大小比是最大的一个,允许在每个八面体孔中插入一个小球体的六边形紧凑包装的大球体。 这种上限是通过从四面体密度以上的边界获得的,该密度可以出现在此类包装的球体中心的添加剂加权Delaunay分解中。 证明依赖于在区间算术中具有挑战性的计算机计算,并且可能由他们自己感兴趣。
我们证明了，对于任何两个多面体流形 𝒫, 𝒬，都存在一个多面体流形 ℐ，使得 𝒫 和 ℐ 共享一个公共的展开图，并且 ℐ 和 𝒬 共享一个公共的展开图。换句话说，我们可以展开 𝒫，然后将该展开图重折叠（粘合）成 ℐ，展开 ℐ，然后重折叠成 𝒬。此外，如果 𝒫 和 𝒬 没有边界并且可以嵌入到 3D 空间中（没有自相交），那么 ℐ 也可以。这些结果可以推广到 n 个给定的流形 𝒫_1, 𝒫_2, …, 𝒫_n；它们都共享一个具有相同中间流形 ℐ 的公共展开图。允许超过两步的展开/重折叠，我们为两种特殊情况获得了更强的结果：对于双重覆盖的凸平面多边形，我们实现了所有中间多面体都是平面的；对于树形多立方体，我们实现了所有中间多面体都是树形多立方体。
设 (X_1,d_1),…, (X_N,d_N) 为具有各自距离函数 d_i: X_i × X_i → [0,1] 的度量空间，i=1,…,N。设 𝒳 表示集合理论积 X_1×⋯× X_N，设 𝐠∈𝒳 和 𝐡∈𝒳 表示该积空间中的两个元素。设 𝒢 = (𝒱,ℰ) 为一个有向图，其顶点为 𝒱 ={1,…, N}，且与 𝒢 的每个边 (i,j) ∈ℰ 关联一个正权重 𝒫 = {p_ij}，其中 p_ij∈ (0, 1]，i,j = 1,..,N。我们定义函数 d_𝒳,𝒢,𝒫(𝐠,𝐡) := (1 - 1/N∑_j=1^N ∏_i=1^N [1- d_i(g_i,h_i)]^1/p_ji)。在本文中，我们证明 d_𝒳,𝒢,𝒫 定义了 𝒳 上的一个度量空间，并研究了该距离在图操作下的性质，包括不相交并集和笛卡尔积。我们展示了两种极限情况：(a) 当 d_𝒳,𝒢,𝒫 定义在有限域上时，会导致对基于图的距离的广泛推广，这在纠错码理论中被广泛研究；以及 (b) 当 d_𝒳,𝒢,𝒫 扩展到测量图上的距离时。
我们提出了一种新的计算机视觉拓扑工具 - 标量函数拓扑疏离(SFTD),它测量具有共同域的两个函数的子级集合之间的多尺度拓扑学的差异性。 函数可以在任何维度的无方向图形或欧几里得空间上定义。 大多数比较拓扑结构的现有方法都是基于Wasserstein在持久性条形码之间的距离,并且它们没有考虑到拓扑特征的本地化。 SFTD的最小化确保了标量函数的相应拓扑特征位于相同的地方。 拟议的工具提供了有用的可视化,描绘了函数具有拓扑差异的区域。 我们提供3D计算机视觉方法的应用。 特别是,实验证明SFTD作为额外的损失改善了2D荧光显微镜图像的细胞3D形状的重建,并有助于识别3D分割中的拓扑错误。 此外,我们表明SFTD在2D分割问题中优于Betti匹配损失。
通过在矢量值度量和多物种PDE的分类中的应用激励,我们开发了一个理论,统一了现有的矢量价值最优迁移的概念,从动态公式(à la Benamou-Brenier)到静态公式(à la Kantorovich)。 在我们的框架中,矢量值度量被建模为产品空间 R^d × G 上的概率度量,其中 G 是有限节点集的加权图,图几何形状强烈影响相关的动态和静态距离。 我们获得了与价值最优传输的矢量的四个概念相关的尖锐的不等式,并证明距离是相互双Hölder等价的。 我们讨论了每个指标的理论和实践优势,并说明了在多物种PDE和数据分析中的潜在应用。 特别是,论文中讨论的静态公式之一是可线性化,该技术近年来进行了探索,以加速计算成对最佳传输距离。
Ehler和Gröchenig提出了寻找t设计曲线γ_tx2013curves的问题,其关联线积分在无症状最优弧度l(γ_t)≍t^d-1为t→∞的最多t polynomialsx2013S^d时平均所有度。 这项工作调查了这个问题的类似物,用于加权和ε_t近似t设计曲线,证明在加权设置中所有d∈N_+的弧长度l(γ_t)≍ t^d-1的S^d上存在γ_t(在这种情况下,这些曲线是渐近最优的)和所有奇数d∈N_+。t→∞。 介绍了d∈{2,3}的这种加权t设计曲线的公式。
本文在数学上精确表明,条件概率类似于几何中的路径提升。 提升的概念是以透镜的类别理论概念为模型的,它可以解释为箭头提升的一致选择。 我们研究的类别是给定标准Borel空间的概率测量,由耦合或运输计划给出的形态。 一旦我们装备了类别箭头的权重,几何图就更加明显了,它可以解释为“长度”或“成本”,形成一个所谓的加权类别,它统一了类别理论和度量几何的几个概念。 事实上,我们表明透镜的加权版本与几何学中的亚称量概念密切相关。 每个加权类别都会通过优化箭头产生伪准空间。 特别是,Wasserstein空间可以从概率度量及其耦合的加权类别中获得,其成本给出耦合的重量。 在这种情况下,条件允许一个人形成加权镜头,人们可以将其解释为“提升运输计划,同时保持其成本”。
我们认为二进制分类仅限于一类连续的分段线性函数,其决策边界是(可能是非凸的)星形多面集,支持在固定的多面体模拟风扇上。 我们研究这些函数类的表现力,并描述了损失景观的组合和几何结构,最突出的是子级别集,用于两个损失函数:0/1损失(离散损失)和指数损失函数。 特别是,我们给出了该模型的VC维度的明确界限,并具体描述了超平面排列中离散损失的子级集合作为腔室。 对于指数损失,我们给出足够的条件,使最优成为唯一,并在改变底层指数概率分布的速率参数时描述最优的几何形状。
我们研究多顶板刚性的新设置,其中弹性必须保持边缘长度和面部的平面性,但允许改变人脸的形状。 例如,常规立方体在这个概念中是灵活的。 我们提出了构建柔性聚体的方法,并发现灵活性似乎是一种特殊属性。 基于这一观察,我们引入了一个多面体通用实现的概念,并推测凸多顶在尺寸d≥3中是通用刚性的。 我们在 dimension d=3 中证明了这个猜想。 受我们的研究结果的激励,我们还提出了几个问题,旨在激发未来对多面刚性概念的研究。
人们越来越有兴趣开发统计估计器,即使在数据分布比指数尾更重的情况下,也能在人口目标周围实现指数集中。 最近的活动重点是将这些想法扩展到欧几里得空间以外的希尔伯特空间和黎曼流形。 在这项工作中,我们表明,在存在重尾的情况下,这种指数浓度可以在更广泛的称为CAT(κ)空间的参数空间上实现,CAT(κ)空间是一个非常通用的度量空间,为我们的目的配备了最小的基本几何结构,同时足够广泛,可以涵盖统计和机器学习中遇到的大多数典型示例。 关键技术是开发和利用CAT(κ)空间中Fréchet中位数绑定的一般浓度。 我们通过一些例子来说明我们的理论,并通过模拟研究提供经验支持。
度量图是跨不同领域复杂数据结构的重要模型。 虽然在从图形数据中提取几何和拓扑特征方面付出了很多努力,但作为抽象热带曲线的公制图形的计算方面仍然没有探索。 在本文中,我们介绍了从热带代数几何学的角度对公制图进行的第一个计算和机器学习驱动的研究。 具体来说,我们研究热带亚伯-雅各比变换,通过热带亚伯-雅各比地图将点的矢量化到其相关的平坦托鲁,热带雅各比安。 我们开发算法来计算这种变换,并研究生成的嵌入如何依赖于同一指标图的不同组合模型。 一旦嵌入,我们根据两个自然指标计算热带雅各比亚的点之间的成对距离:热带偏振距离和福斯特 - 尚距离。 计算这些距离通常是NP-hard,因为它们与计算复杂性中的经典晶格问题有关,但是,我们确定了一类度量图,其中快速和明确的计算是可行的。 对于一般情况,我们提出了使用格子基础还原和混合整数编程求解器的精确和近似距离矩阵计算的实用算法。 我们的工作为热带几何学和热带Abel-Jacobi在机器学习和数据分析中的应用奠定了基础。
The minimal spherical cap dispersion disp_𝒞(n,d) is the largest number ε∈ (0,1] such that, no matter how n points are distributed on the d-dimensional Euclidean unit sphere 𝕊^d, there is always a spherical cap with normalized area ε not containing any of the points. We study the behavior of disp_𝒞(n,d) as n and d grow to infinity. We develop connections to the problems of sphere covering and approximation of the Euclidean unit ball by inscribed polytopes. Existing and new results are presented in a unified way. Upper bounds on disp_𝒞(n,d) result from choosing the points independently and uniformly at random and possibly adding some well-separated points to close large gaps. Moreover, we study dispersion with respect to intersections of caps.
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