On Pseudospectral Concentration for Rank-1 Sampling
Kuo Gai, Bin Shi
伪光谱分析是矩阵计算和线性和非线性动态系统研究的强大工具。 在各种数值策略中,随机抽样,特别是第1级扰动的形式,提供了一种实用且计算效率的方法。 此外,由于在统一相似性下的不变性,任何复杂的矩阵都可以简化为其上三角形形式,从而简化分析。 在这项研究中,我们开发了一种定量浓度理论,用于在1级随机抽样扰动下的复杂矩阵的伪光谱,为光谱表征建立了一个严格的概率框架。 首先,对于正常的矩阵,我们得出一个正则的浓度不等式,并证明分离半径与维度缩放为 δ_d ∼ 1/√(d)。 接下来,对于零能约旦区块的等价类,我们利用经典的概率工具,特别是Hanson-Wright浓度不等式和Carbery-Wright反集中不等式,以获得奇异的浓度边界,并证明分离半径表现出相同的维度依赖缩放。 这产生了一个奇异的伪光谱浓度框架。 最后,观察到上三角形Toeplitz矩阵可以通过nilpotent Jordan块的符号多项式表示,我们使用理性函数的部分部分分解来扩展单个框架到上三角形Toeplitz矩阵的等价类。
Pseudospectral analysis serves as a powerful tool in matrix computation and the study of both linear and nonlinear dynamical systems. Among various numerical strategies, random sampling, especially in the form of rank-1 perturbations, offers a practical and computationally efficient approach. Moreover, due to invariance under unitary similarity, any complex matrix can be reduced to its upper triangular form, thereby simplifying the analysis. In this study. we develop a quantitative concentration...